Corrigé des 32 exercices de statistiques en première : solutions détaillées à télécharger en PDF

On écrit les sommes en extension, puis on simplifie les termes communs.

\[ \sum_{i=1}^{5} x_i – \sum_{i=2}^{3} x_i = \left(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\right) – \left(x_2 + x_3\right) = x_1 + x_4 + x_5. \]

Ainsi, De plus, le nom de l’indice (\(i\) ou \(k\)) n’a pas d’importance : \(\sum_{k=6}^{9} n_k = n_6 + n_7 + n_8 + n_9\).

\[ \sum_{i=7}^{12} n_i – \sum_{k=6}^{9} n_k = \left(n_7 + n_8 + n_9 + n_{10} + n_{11} + n_{12}\right) – \left(n_6 + n_7 + n_8 + n_9\right) = n_{10} + n_{11} + n_{12} – n_6. \]

Donc, De plus, 1) Les extrémités des « moustaches » donnent le minimum et le maximum ; les bords de la boîte donnent \(Q_1\) et \(Q_3\) ; le trait intérieur donne la médiane.

Donc, Minimum : 2 ; \(Q_1 = \) 6 ; médiane : 7 ; \(Q_3 = \) 8 ; maximum : 9.

Aussi, 2) L’intervalle interquartile est \([Q_1\,;Q_3] = [6\,;8]\) ; il contient au moins la moitié des valeurs. De plus, Sa longueur, l’écart interquartile, vaut \(Q_3 – Q_1 = 8 – 6 = 2\).

Ainsi, Sur le début du diagramme, on lit le minimum 7 (bout de la moustache) et \(Q_1 = 8\) (début de la boîte).

• Étendue : \(\max – \min = 11\), donc \(\max = 7 + 11 = 18\).
• Médiane : \(12\).
• Écart interquartile : \(Q_3 – Q_1 = 5\), donc \(Q_3 = 8 + 5 = 13\).

Ainsi, 1) On calcule les effectifs cumulés croissants (\(N = 65\)) :

• \(Q_1\) : \(\frac{65}{4} = 16{,}25\), on prend la 17e valeur. Les valeurs de rang 9 à 18 valent 4, donc \(Q_1 = 4\).
• Médiane : \(N\) est impair, c’est la valeur de rang \(\frac{65 + 1}{2} = 33\), donc \(Me = 5\).
• \(Q_3\) : \(\frac{3 \times 65}{4} = 48{,}75\), on prend la 49e valeur. Les rangs 34 à 55 valent 6, donc \(Q_3 = 6\).

Donc, 2) Avec le minimum 2 et le maximum 10 :

Enfin, 1) On range les 10 valeurs dans l’ordre croissant : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12.

• \(Q_1\) : \(\frac{10}{4} = 2{,}5\), on prend la 3e valeur : \(Q_1 = 2\).
• Par ailleurs, Médiane : \(N = 10\) est pair, c’est la moyenne des 5e et 6e valeurs : \(\frac{5 + 6}{2} = \) 5,5.
• \(Q_3\) : \(\frac{3 \times 10}{4} = 7{,}5\), on prend la 8e valeur : \(Q_3 = 10\).

Ensuite, 2) Minimum 0, maximum 12 :

3) Le diagramme en boîte oublie l’ordre chronologique : il ne montre pas que Loïc a acheté de plus en plus de jeux pendant cinq ans (jusqu’à 12), puis de moins en moins, jusqu’à 0 la dernière année. L’évolution dans le temps (une forte baisse d’intérêt) disparaît.

Exercice 5 : Déterminer la médiane et jeux vidéos (suite)

Par ailleurs, 4) Une courbe chronologique (nuage de points reliés, année en abscisse, nombre de jeux en ordonnée) ou un diagramme en bâtons ordonné par année rend compte de ce phénomène.

Également, De plus, 1) 1re S 1 : \(5 + 4 + 0 + 0 + 3 + 1 + 6 + 5 + 6 + 5 = 35\) élèves. 1re S 2 : \(0 + 3 + 2 + 6 + 8 + 4 + 5 + 2 + 0 + 1 = 31\) élèves.

2) Effectifs cumulés croissants :

• Par ailleurs, De plus, 1re S 1 (\(N = 35\)) : \(Q_1\) = 9e valeur (\(35/4 = 8{,}75\)) \(= 2\) ; médiane = 18e valeur \(= 7\) ; \(Q_3\) = 27e valeur (\(26{,}25\)) \(= 9\) ; min 1, max 10.
• Donc, 1re S 2 (\(N = 31\)) : \(Q_1\) = 8e valeur (\(7{,}75\)) \(= 4\) ; médiane = 16e valeur \(= 5\) ; \(Q_3\) = 24e valeur (\(23{,}25\)) \(= 7\) ; min 2, max 10.

Exercice 6 : Tracer les diagrammes en boîtes des séries (corrigé (suite)

Ainsi, 3) La 1re S 1 a de meilleurs résultats : sa médiane (7) est plus élevée, et au moins la moitié de la classe a 7 ou plus, contre 5 en 1re S 2. Mais elle est beaucoup plus hétérogène : écart interquartile \(9 – 2 = 7\) contre \(7 – 4 = 3\) ; un quart de la classe a 2 ou moins. Puis la 1re S 2 est plus homogène, avec des notes regroupées autour de la moyenne.

1) À première vue, la série d’écart interquartile \(e\) (avec \(e \gt 0\)) paraît la plus homogène, puisque \(e \lt 100e\) : ses valeurs centrales sont moins dispersées.

Également, 2) Notons \(t_1 \leqslant t_2 \leqslant \dots \leqslant t_n\) les tailles en mètres, rangées dans l’ordre croissant. Ainsi, De plus, en centimètres, les tailles sont \(100t_1, 100t_2, \dots, 100t_n\). De plus, Comme \(100 \gt 0\), la multiplication par 100 conserve l’ordre : \(100t_1 \leqslant 100t_2 \leqslant \dots \leqslant 100t_n\). Ensuite, les quartiles sont donc atteints aux mêmes rangs dans les deux séries :

\[ Q_1^{\text{cm}} = 100\,Q_1 \quad\text{et}\quad Q_3^{\text{cm}} = 100\,Q_3, \quad\text{donc}\quad Q_3^{\text{cm}} – Q_1^{\text{cm}} = 100\left(Q_3 – Q_1\right). \]

Exercice 7 : Une étude de séries statistiques (suite)

Également, L’écart interquartile de la série en cm est bien 100 fois celui de la série en m.

3) La réponse du 1) est à nuancer : ces deux séries décrivent exactement les mêmes tailles, elles sont aussi homogènes l’une que l’autre, et pourtant les écarts interquartiles sont \(e\) et \(100e\). Par ailleurs, pour comparer deux séries avec l’écart interquartile, il faut :

• Ainsi, que les séries soient exprimées dans la même unité ;
• qu’elles aient des ordres de grandeur comparables (sinon, on peut comparer l’écart interquartile rapporté à la médiane, \(\frac{Q_3 – Q_1}{Me}\), qui ne dépend pas de l’unité) ;
• qu’elles portent sur des grandeurs de même nature.

Ainsi, on repère l’échelle : une petite graduation vaut 100 €. Puis on lit la médiane (trait intérieur de la boîte) et les quartiles (bords de la boîte), puis on calcule \(Q_3 – Q_1\).

• Donc, Femmes : \(Q_1 \approx 1\,260\) €, \(Me \approx 1\,530\) €, \(Q_3 \approx 2\,050\) €. Écart interquartile \(\approx 2\,050 – 1\,260 = 790\) €.
• Également, Hommes : \(Q_1 \approx 1\,420\) €, \(Me \approx 1\,780\) €, \(Q_3 \approx 2\,500\) €. Également, Écart interquartile \(\approx 2\,500 – 1\,420 = 1\,080\) €.

Les salaires des hommes sont à la fois plus élevés (médiane supérieure d’environ 250 €) et plus dispersés.

1) L’algorithme demande l’effectif \(n\), puis fait saisir les valeurs une à une tant que \(i \lt \frac{n}{4} + 1\). Ensuite, il fait donc saisir les valeurs de rang 1, 2, … jusqu’au plus petit entier supérieur ou égal à \(\frac{n}{4}\), et affiche la dernière valeur saisie. Ainsi, Si la série est entrée dans l’ordre croissant, cette valeur est celle de rang « \(\frac{n}{4}\) arrondi à l’entier supérieur » : l’algorithme affiche le premier quartile \(Q_1\).

Exemple : pour \(n = 10\), la boucle tourne pour \(i = 1, 2, 3\) (car \(3 \lt 3{,}5\) mais \(4 \gt 3{,}5\)) ; la 3e valeur est bien \(Q_1\).

Améliorations possibles : faire saisir toutes les valeurs dans une liste, puis trier la liste automatiquement au lieu de compter sur l’utilisateur ; ou au moins vérifier à chaque saisie que la valeur est supérieure ou égale à la précédente (voir exercice 10).

Exercice 9 : Algorithme et quartiles (suite)

Par ailleurs, 2) Pour le troisième quartile (rang : \(\frac{3n}{4}\) arrondi à l’entier supérieur), il suffit de changer la condition de la ligne 7 :

Tant que (i < 3n/4 + 1) faire

Le reste est inchangé : la dernière valeur saisie, affichée à la ligne 13, est alors \(Q_3\).

Ensuite, la série est ordonnée (dans l’ordre croissant) si chaque valeur est supérieure ou égale à la précédente. Puis il faut donc afficher le message dès qu’une valeur est strictement plus petite que la précédente.

Donc, Ligne 9 complétée :

Si L(i) < L(i − 1) Alors

En effet, à l’étape \(i\), on vient de saisir \(L(i)\) et on la compare à \(L(i-1)\), saisie juste avant ; la boucle commence à \(i = 2\) justement parce que \(L(1)\) a été saisie à la ligne 5.

Ainsi, 1) On additionne les points de chaque joueuse.

• Également, Ana Dabovic (7 matches) : \( 12+24+6+21+2+11+19=95 \) : 95 points.
• Maya Moore (6 matches) : \( 15+17+16+10+16+18=92 \) : 92 points.

2) Moyenne \( \overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i \) et variance \( V=\frac{1}{n}\sum x_i^2-\overline{x}^2 \), puis écart-type \( \sigma=\sqrt{V} \).

Par ailleurs, Ana Dabovic : \( \overline{x}=\frac{95}{7}\approx 13{,}57 \). Aussi, Somme des carrés : \( 144+576+36+441+4+121+361=1\,683 \).

\[ V=\frac{1\,683}{7}-\left(\frac{95}{7}\right)^2\approx 56{,}24 \qquad \sigma=\sqrt{V}\approx 7{,}50 \]

Par ailleurs, Maya Moore : \( \overline{y}=\frac{92}{6}\approx 15{,}33 \). Par ailleurs, Somme des carrés : \( 225+289+256+100+256+324=1\,450 \).

Exercice 11 : Championnat du monde basket et statistiques (corrigé (suite)

\[ V=\frac{1\,450}{6}-\left(\frac{92}{6}\right)^2\approx 6{,}56 \qquad \sigma=\sqrt{V}\approx 2{,}56 \]

Donc, 3) À la calculatrice (menu statistiques, liste des points), on obtient bien \( \overline{x}\approx 13{,}57 \) et \( \sigma_x\approx 7{,}50 \) pour Dabovic, \( \overline{x}\approx 15{,}33 \) et \( \sigma_x\approx 2{,}56 \) pour Moore. Également, Attention à lire \( \sigma_x \) (écart-type de la série) et non \( s_x \).

4) Maya Moore a la meilleure moyenne par match (15,33 contre 13,57) : elle est la plus efficace, même si Dabovic a marqué plus de points au total, car elle a joué un match de plus. Son écart-type est aussi beaucoup plus petit (2,56 contre 7,50) : ses scores sont resserrés autour de la moyenne, elle est la plus régulière.

De plus, 1) Effectif total : \( N=1+1+2+10+8+7+1=30 \) jours. De plus, on complète le tableau avec les produits \( n_ix_i \) et \( n_ix_i^2 \) :

\[ \overline{x}=\frac{138}{30}=4{,}6 \qquad V=\frac{684}{30}-4{,}6^2=22{,}8-21{,}16=1{,}64 \qquad \sigma=\sqrt{1{,}64}\approx 1{,}3 \]

Ensuite, Boujémaa a mangé en moyenne 4,6 fruits et légumes par jour, avec un écart-type d’environ 1,3.

Donc, 2) À la calculatrice, on entre les valeurs en liste 1 et les effectifs en liste 2 (en indiquant la liste 2 comme effectifs) : on lit \( \overline{x}=4{,}6 \) et \( \sigma_x\approx 1{,}28 \), ce qui confirme les calculs.

Donc, 1) On range les 6 salaires : 1 024 ; 1 467 ; 1 524 ; 1 726 ; 1 874 ; 2 167 (en €).

• Aussi, Médiane : effectif pair, c’est la moyenne des valeurs de rangs 3 et 4 : \( \frac{1\,524+1\,726}{2}=1\,625 \) €.
• Q₁ : \( \frac{6}{4}=1{,}5 \), on prend le rang 2 : Q₁ = 1 467 €. Q₃ : \( \frac{3\times 6}{4}=4{,}5 \), on prend le rang 5 : Q₃ = 1 874 €.
• Par ailleurs, Écart interquartile : \( 1\,874-1\,467=407 \) €.
• Ensuite, Moyenne : \( \overline{x}=\frac{9\,782}{6}\approx 1\,630{,}33 \) €.
• Écart-type (calculatrice ou \( V=\frac{1}{6}\sum x_i^2-\overline{x}^2 \)) : \( V\approx 127\,026{,}89 \), donc \( \sigma\approx 356{,}41 \) €.

Ensuite, Couples : (médiane ; EI) = (1 625 ; 407) et (moyenne ; σ) ≈ (1 630,33 ; 356,41).

Ainsi, 2) Le salaire de 2 167 € devient 2 667 €. Ensuite, la série rangée devient 1 024 ; 1 467 ; 1 524 ; 1 726 ; 1 874 ; 2 667.

• Également, la médiane (rangs 3 et 4), Q₁ (rang 2) et Q₃ (rang 5) ne changent pas : médiane 1 625 €, EI = 407 €.
• Aussi, Moyenne : \( \overline{x}=\frac{9\,782+500}{6}=\frac{10\,282}{6}\approx 1\,713{,}67 \) € ; écart-type : \( \sigma\approx 501{,}19 \) €.

Exercice 13 : La répartition des salaires mensuels dans une (suite)

3) Une seule valeur extrême modifiée ne change pas le couple médiane-écart interquartile, mais fait augmenter la moyenne de plus de 83 € et l’écart-type de près de 145 €. Par ailleurs, ces questions illustrent que la médiane et l’écart interquartile sont peu sensibles aux valeurs extrêmes, alors que la moyenne et l’écart-type y sont très sensibles.

1) Gani vise un salaire intermédiaire, c’est-à-dire un salaire « du milieu ». Puis le couple médiane-écart interquartile (1 689 ; 353) lui est le plus utile :

• Donc, la médiane indique qu’au moins la moitié des salariés gagne 1 689 € ou moins (et la moitié au moins, 1 689 € ou plus) : c’est exactement le salaire central ;
• Ainsi, l’écart interquartile indique que la moitié centrale des salaires (entre Q₁ et Q₃) tient dans un intervalle de largeur 353 € seulement : les salaires intermédiaires sont assez proches les uns des autres.

Ainsi, la moyenne de 2 087 € ne correspond pas à un salaire « typique » : elle est bien au-dessus de la médiane.

Ainsi, 2) La moyenne (2 087 €) est nettement supérieure à la médiane (1 689 €) et l’écart-type (1 153 €) est plus de trois fois plus grand que l’écart interquartile. Ensuite, une explication possible : quelques salaires très élevés (dirigeants, cadres supérieurs) tirent la moyenne vers le haut et augmentent fortement l’écart-type, alors qu’ils ne modifient presque pas la médiane ni les quartiles, peu sensibles aux valeurs extrêmes.

1) a) Pour chaque série, on place sur un même axe le minimum, Q₁, la médiane, Q₃ et le maximum : la boîte va de Q₁ à Q₃, le trait intérieur est la médiane, les « moustaches » vont jusqu’aux extrêmes.

Également, b) On compare médianes, écarts interquartiles (EI = Q₃ − Q₁) et étendues.

• Aussi, Promotion 2013 : français (Me = 11, EI = 4, étendue 10) et histoire (Me = 12, EI = 4, étendue 10). Également, les deux boîtes ont la même forme, celle d’histoire est décalée d’un point vers la droite : les résultats sont meilleurs en histoire, avec la même dispersion.
• Également, Promotion 2014 : français (Me = 11, EI = 2, étendue 8) et histoire (Me = 13, EI = 4, étendue 13). Les résultats sont meilleurs en histoire (médiane plus haute de 2 points), mais plus dispersés ; en français, les notes sont très regroupées.

Exercice 15 : Une école de journalisme et étude statistique (corrigé (suite)

c)

• Français : même médiane 11 dans les deux promotions, mais l’EI passe de 4 à 2 et l’étendue de 10 à 8 : niveau médian identique, promotion 2014 plus homogène.
• Histoire : médiane 12 en 2013 et 13 en 2014, mêmes quartiles (10 et 14), étendue 10 puis 13 : promotion 2014 un peu meilleure mais plus hétérogène.

Donc, 2) Couples moyenne-écart-type : français 2013 (11 ; 2,5), histoire 2013 (12 ; 2,3), français 2014 (11 ; 1,8), histoire 2014 (12,5 ; 3,0).

• En 2013, l’histoire a une meilleure moyenne avec un écart-type voisin ; en 2014, l’histoire a une meilleure moyenne et un écart-type bien plus grand.
• En français, même moyenne 11 et écart-type en baisse (2,5 puis 1,8) ; en histoire, moyenne en hausse (12 puis 12,5) et écart-type en hausse (2,3 puis 3,0).

Exercice 15 : Une école de journalisme et étude statistique (corrigé (suite)

Les conclusions sont donc confirmées par le couple moyenne-écart-type.

Dans un histogramme, c’est l’aire des rectangles qui représente l’effectif. D’après la légende, un petit carreau = 5 élèves ; un carreau a une largeur de 0,5 centaine d’euros.

• Également, [0 ; 2[ : 4 carreaux de large et 4 de haut, soit 16 carreaux : \( 16\times 5=80 \) élèves.
• [2 ; 4[ : 4 carreaux de large et 5 de haut, soit 20 carreaux : \( 20\times 5=100 \) élèves.
• Également, [4 ; 6[ : 4 carreaux de large et 9 de haut, soit 36 carreaux : \( 36\times 5=180 \) élèves.
• [8 ; 9[ : 2 carreaux de large et 4 de haut, soit 8 carreaux : \( 8\times 5=40 \) élèves.

Enfin, Contrôle : \( 80+100+180+40=400 \), c’est bien le nombre d’élèves interrogés.

La fréquence d’une classe est \( \frac{\text{effectif}}{400} \) :

De plus, 1) On écrit la somme en entier et on regroupe les termes :

\[ \sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)=(x_1+y_1)+\dots+(x_n+y_n)=(x_1+\dots+x_n)+(y_1+\dots+y_n)=\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}y_i \]

Également, 2) a) Le terme a ne dépend pas de i : on additionne n fois le même nombre.

\[ \sum_{i=1}^{n}a=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ termes}}=na \]

b) Avec la question 1 puis la question 2 a :

\[ \sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}a=\sum_{i=1}^{n}x_i+na \]

Donc, pour la seconde somme, on met a en facteur (factorisation) :

\[ \sum_{i=1}^{n}ax_i=ax_1+ax_2+\dots+ax_n=a(x_1+\dots+x_n)=a\sum_{i=1}^{n}x_i \]

Donc, 1) La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

\[ V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2 \qquad \text{avec } n=\sum_{i=1}^{p}n_i \text{ et } \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i \]

2) On développe \( (x_i-\overline{x})^2=x_i^2-2\overline{x}x_i+\overline{x}^2 \) (identité remarquable), puis on sépare en trois sommes grâce aux règles de l’exercice précédent (\( \overline{x} \) ne dépend pas de i, on peut le sortir des sommes) :

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2-2\overline{x}\times\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i+\overline{x}^2\times\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2-2\overline{x}\times\overline{x}+\overline{x}^2\times\frac{n}{n} \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2-2\overline{x}^2+\overline{x}^2 \\ &= \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2\right)-\overline{x}^2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, on a utilisé \( \frac{1}{n}\sum n_ix_i=\overline{x} \) et \( \sum n_i=n \).

Première partie. On lit sur le diagramme, en descendant chaque trait vertical sur l’axe gradué de 5 en 5 :

• Par ailleurs, minimum : 100 ; Q₁ (bord gauche de la boîte) : 105 ; médiane : 110 ; Q₃ (bord droit de la boîte) : 135 ; maximum : 145.

L’intervalle interquartile est \( [Q_1 ; Q_3]=[105 ; 135] \) et l’écart interquartile vaut \( Q_3-Q_1=135-105=30 \).

De plus, Deuxième partie. On note \( x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant x_4 \leqslant x_5 \) les 5 valeurs rangées.

• Médiane : rang 3, donc \( x_3=12 \). Maximum : \( x_5=36 \).
• Étendue : \( x_5-x_1=34 \), donc \( x_1=36-34=2 \).
• Q₁ : \( \frac{5}{4}=1{,}25 \), rang 2, donc \( x_2=9 \).
• Q₃ : \( \frac{3\times 5}{4}=3{,}75 \), rang 4, donc \( x_4=Q_3 \). Or \( Q_3-Q_1=15 \), donc \( Q_3=9+15=24 \) et \( x_4=24 \).

De plus, la série est 2 ; 9 ; 12 ; 24 ; 36. Vérification : médiane 12, maximum 36, Q₁ = 9, étendue 36 − 2 = 34, EI = 24 − 9 = 15.

Ainsi, Première série (10 valeurs). Puis on saisit les valeurs dans une liste puis on lance le calcul statistique à une variable :

• somme : \( 2+4+8+16+32+64+128+256+512+512=1\,534 \), donc \( \overline{x}=153{,}4 \) ;
• Donc, variance : \( V=37\,635{,}24 \) ; écart-type : \( \sigma_x=\sqrt{37\,635{,}24}\approx 194{,}00 \).

L’écart-type est plus grand que la moyenne : les valeurs sont très dispersées (de 2 à 512).

Deuxième série. De plus, on saisit les valeurs en liste 1 et les effectifs en liste 2, qu’on déclare comme liste des effectifs.

• De plus, effectif total : \( 9+2+1+8+7+6=33 \) ;
• \( \sum n_ix_i=54+14+8+72+70+72=290 \), donc \( \overline{x}=\frac{290}{33}\approx 8{,}79 \) ;
• la calculatrice affiche \( \sigma_x\approx 2{,}13 \) (variance ≈ 4,53).

Par ailleurs, 1) Il suffit d’un exemple. Prenons la série 0 ; 0 ; 10 ; 10.

• Q₁ : \( \frac{4}{4}=1 \), rang 1 : Q₁ = 0. Q₃ : \( \frac{3\times 4}{4}=3 \), rang 3 : Q₃ = 10. Ensuite, Écart interquartile : 10.
• Moyenne : 5. Chaque valeur est à 5 de la moyenne, donc \( V=\frac{25+25+25+25}{4}=25 \) et \( \sigma=5 \).

On a bien \( \sigma=5 \lt 10 \) : l’écart-type est inférieur à l’écart interquartile.

2) Moyenne annuelle (trimestres de même poids) :

\[ \overline{x}=\frac{11+9+16}{3}=\frac{36}{3}=12 \]
\[ V=\frac{(11-12)^2+(9-12)^2+(16-12)^2}{3}=\frac{1+9+16}{3}=\frac{26}{3}\approx 8{,}67 \qquad \sigma=\sqrt{\frac{26}{3}}\approx 2{,}94 \]

Par ailleurs, 3) Sans calcul : les valeurs de la première série vont de 1 à 13 (étendue 12), celles de la seconde de 311 à 314 (étendue 3) et sont toutes très proches les unes des autres. Ensuite, la première série est beaucoup plus dispersée, c’est elle qui a le plus grand écart-type. Enfin, (Le fait que les valeurs de la seconde soient grandes ne compte pas : l’écart-type mesure les écarts à la moyenne. Par ailleurs, pour info : environ 5,00 contre 0,96.)

a. Le taux de réussite est la proportion d’admis parmi les candidats :

\[ \frac{371\,705}{381\,132} \approx 0{,}9753 \]

Ensuite, le taux de réussite 2021 est d’environ 97,5 %.

b. Les filles représentent 56,2 % des candidats :

\[ 381\,132 \times \frac{56{,}2}{100} = 214\,196{,}184 \approx 214\,196 \]

De plus, il y avait environ 214 196 filles candidates.

c. 98,1 % des filles ont été admises :

\[ 214\,196 \times \frac{98{,}1}{100} \approx 210\,126{,}3 \approx 210\,126 \]

Ainsi, Environ 210 126 filles ont été admises. Puis on complète ensuite le tableau par différences :

• filles refusées : \(214\,196 – 210\,126 = 4\,070\) ;
• Donc, garçons candidats : \(381\,132 – 214\,196 = 166\,936\) ;
• garçons admis : \(371\,705 – 210\,126 = 161\,579\) ;
• garçons refusés : \(166\,936 – 161\,579 = 5\,357\) ;
• Enfin, total des refusés : \(381\,132 – 371\,705 = 9\,427\) (et on vérifie \(4\,070 + 5\,357 = 9\,427\)).

Exercice 22 : Résultats du baccalauréat général (corrigé statistiques (suite)

Aussi, Remarque : le taux de réussite des garçons est \(\dfrac{161\,579}{166\,936} \approx 96{,}8\) %, un peu plus faible que celui des filles.

Dans un diagramme en barres cumulées, on trace une barre par colonne du tableau (Café, Pas de café) ; chaque barre est découpée en morceaux empilés, un par type de menu, et sa hauteur totale est l’effectif total de la colonne.

• Barre « Café » : 24 menus Entrée + Plat en bas, puis 46 menus Plat + Dessert au-dessus, soit une hauteur totale de \(24 + 46 = 70\).
• Barre « Pas de café » : 50 menus Entrée + Plat, puis 30 menus Plat + Dessert, soit une hauteur totale de \(50 + 30 = 80\).

On lit bien sur le diagramme que les clients qui prennent un café choisissent surtout le dessert, alors que ceux qui n’en prennent pas choisissent surtout l’entrée.

a. On place les points de coordonnées \((v\,;\,E)\) : \((1\,;\,15)\), \((2\,;\,60)\), \((2{,}5\,;\,94)\), \((3\,;\,135)\) et \((5\,;\,375)\), avec la vitesse en abscisse et l’énergie en ordonnée.

b. Le nuage montre un lien entre les deux grandeurs : quand la vitesse augmente, l’énergie cinétique augmente. Mais les points ne sont pas alignés : l’énergie augmente de plus en plus vite. Ensuite, ce n’est pas une situation de proportionnalité : quand la vitesse double (de 1 à 2), l’énergie est multipliée par 4 (de 15 à 60).

Exercice 24 : L énergie cinétique d un vélo (corrigé statistiques (suite)

Ainsi, on remarque que \(\dfrac{E}{v^2}\) est constant :

\[ \frac{15}{1^2} = 15 \qquad \frac{60}{2^2} = 15 \qquad \frac{94}{2{,}5^2} = 15{,}04 \qquad \frac{135}{3^2} = 15 \qquad \frac{375}{5^2} = 15 \]

L’énergie cinétique est donc proportionnelle au carré de la vitesse : \(E \approx 15v^2\) (94 est l’arrondi de \(15 \times 6{,}25 = 93{,}75\)). Ensuite, C’est la formule de physique \(E = \dfrac{1}{2}mv^2\) avec une masse de 30 kg (enfant et vélo).

Les données sont en milliers de ménages.

a. Propriétaires : \(13\,881 + 3\,230 = 17\,111\). Puis il y a 17 111 milliers de ménages propriétaires, soit environ 17,1 millions.

b. Ainsi, on complète en commençant par les cases où il ne manque qu’un nombre :

• total de la colonne \(F \geqslant 4\) : \(29\,752 – 24\,651 = 5\,101\) ;
• logés gratuitement avec \(F \geqslant 4\) : \(5\,101 – 3\,230 – 1\,776 = 95\) ;
• Enfin, logés gratuitement avec \(1 \leqslant F \leqslant 3\) : \(666 – 95 = 571\) ;
• locataires avec \(1 \leqslant F \leqslant 3\) : \(24\,651 – 13\,881 – 571 = 10\,199\) ;
• Par ailleurs, total des locataires : \(10\,199 + 1\,776 = 11\,975\).

Exercice 25 : Répartition des résidences principales (suite)

Par ailleurs, Vérification : \(17\,111 + 11\,975 + 666 = 29\,752\).

c. Quelques commentaires :

• la majorité des ménages sont propriétaires : \(\dfrac{17\,111}{29\,752} \approx 57{,}5\) %, contre environ 40,2 % de locataires et 2,2 % de ménages logés gratuitement ;
• Par ailleurs, les petits ménages dominent : \(\dfrac{24\,651}{29\,752} \approx 82{,}9\) % des ménages comptent de 1 à 3 personnes ;
• les grands ménages sont plus souvent propriétaires : \(\dfrac{3\,230}{5\,101} \approx 63\) % des ménages de 4 personnes ou plus, contre \(\dfrac{13\,881}{24\,651} \approx 56\) % des ménages de 1 à 3 personnes.

Toutes les fréquences sont calculées par rapport à l’ensemble des aliments de la semaine (le total général vaut 100 %).

a. Donc, on complète par différences :

• total des dîners : \(100 – 60 = 40\) % ;
• total des légumes : \(100 – 40 – 25 = 35\) % ;
• viande ou poisson au déjeuner : \(25 – 5 = 20\) % ;
• Ensuite, légumes au déjeuner : \(35 – 25 = 10\) % ;
• féculents au dîner : \(40 – 25 – 5 = 10\) % ;
• féculents au déjeuner : \(40 – 10 = 30\) % (contrôle : \(30 + 10 + 20 = 60\) %).

b.

• Aussi, Affirmation 1 : vraie. Le total de la colonne Dîner est 40 %.
• Affirmation 2 : fausse. Les féculents pris au déjeuner représentent 30 % des aliments ; 40 % est la part de tous les féculents (déjeuner et dîner).
• Affirmation 3 : vraie. La case Légumes / Déjeuner vaut 10 %.
• Affirmation 4 : fausse. 5 % est une fréquence par rapport à tous les aliments de la semaine. Parmi les aliments des dîners seulement, la fréquence de viande ou poisson est une fréquence conditionnelle : \(\dfrac{5}{40} = 0{,}125\), soit 12,5 %.

Dans un diagramme en barres cumulées, la fréquence d’une catégorie est la hauteur de son morceau : on la calcule en faisant la différence entre l’ordonnée du haut et celle du bas du morceau. Lectures (à 1 ou 2 % près) :

a. Refusés : environ 4 % en général, 9 % en technologique et 18 % en professionnel. De plus, la fréquence de refusés est bien la plus faible pour le bac général : vrai.

b. Admis sans mention (morceau violet) : de 4 à 31 environ en général, soit 27 % ; de 9 à 55 en technologique, soit 46 % ; de 18 à 50 en professionnel, soit 32 %. Ensuite, la plus forte fréquence est celle du bac technologique : vrai.

c. Mention Très bien au bac général : le morceau vert va d’environ 85 à 100, soit environ 15 %, et non 20 % : faux. (Il ne faut pas lire l’ordonnée du bas du morceau, mais sa hauteur.)

d. Mention Assez bien (morceau magenta) : de 31 à 61 en général (30 %), de 55 à 86 en technologique (31 %), de 50 à 80 en professionnel (30 %). Par ailleurs, les trois fréquences sont proches de 30 % : vrai.

a. La couronne extérieure représente les 21 femmes, la couronne intérieure les 21 hommes.

• Similitude : chez les femmes comme chez les hommes, la tranche 40 à 60 ans est de loin la plus nombreuse (57 % des femmes, 62 % des hommes), soit plus de la moitié dans les deux cas.
• Différences : les femmes sont plus souvent âgées de 60 à 80 ans (24 % contre 14 % des hommes) ; les hommes sont un peu plus souvent jeunes, de 20 à 40 ans (24 % contre 19 % des femmes). Les femmes du gouvernement sont donc globalement un peu plus âgées.

b. On applique chaque pourcentage à l’effectif 21, puis on arrondit à l’unité :

\[ \begin{aligned} \text{Femmes : } &21 \times 0{,}19 = 3{,}99 \approx 4 \quad 21 \times 0{,}57 = 11{,}97 \approx 12 \quad 21 \times 0{,}24 = 5{,}04 \approx 5 \\ \text{Hommes : } &21 \times 0{,}24 = 5{,}04 \approx 5 \quad 21 \times 0{,}62 = 13{,}02 \approx 13 \quad 21 \times 0{,}14 = 2{,}94 \approx 3 \end{aligned} \]

Exercice 28 : Diagramme circulaire des membres du gouvernement (suite)

Contrôle : \(4 + 12 + 5 = 21\) et \(5 + 13 + 3 = 21\).

Sur l’axe vertical, les étiquettes vont de 400 en 400 et il y a une ligne du quadrillage entre deux étiquettes : une ligne correspond à 200 morts. Puis la ligne au-dessus de 3 700 correspond donc à 3 900, et la suivante à 4 100.

a. Le point de 2010 est situé à peu près à mi-chemin entre la ligne 3 900 et la ligne 4 100 : il y a eu environ 4 000 morts sur les routes en 2010.

b. La valeur 3 000 est à mi-hauteur entre les lignes 2 900 et 3 100. Seuls deux points sont en dessous : ceux de 2020 (environ 2 540) et de 2021 (environ 2 940). Ensuite, l’année 2020 correspond aux confinements, avec beaucoup moins de circulation.

c. En 2014, le point est à environ 3 380 ; en 2018, à environ 3 250. Puis le point de 2014 est plus haut : oui, il y a eu plus de morts sur les routes en 2014 qu’en 2018 (environ 130 de plus).

a. On lit : 59 % en 2014, 59 % en 2015, 58 % en 2016 et 57 % en 2017. De plus, la part de produits bio est stable puis diminue légèrement (de 2 points en 3 ans) : l’évolution est une lente baisse.

b. On ajoute les points \((2018\,;\,61)\) et \((2019\,;\,65)\). Ensuite, le point de 2019 se place sur la ligne qui suit 64, tout en haut du graphique.

c. Non. Après 2017, la part de produits bio remonte nettement : elle gagne 4 points en 2018 puis encore 4 points en 2019, et dépasse le niveau de 2014. Par ailleurs, la baisse observée entre 2014 et 2017 n’était que passagère : sur toute la période, la tendance n’est pas à la baisse. Puis une conclusion tirée de quelques années seulement peut être démentie par la suite.

On lit la hauteur de chaque morceau (à 1 ou 2 % près) :

a. En mobilité locale, le cas le plus fréquent est de voyager seul : environ 54 % pour moins de 20 km, 53 % de 20 à 50 km et 49 % de 50 à 100 km. Ensuite, le nombre de kilomètres n’influence pas la réponse (« seul » reste nettement en tête), même si la part des conducteurs seuls diminue un peu quand la distance augmente.

b. Pour les trajets de 100 à moins de 200 km, les trois morceaux ont presque la même hauteur : environ 32 % seul, 32 % à deux et 36 % à trois ou plus. Puis la répartition y est à peu près identique.

c. Plus la distance est longue, plus la voiture est remplie : la part des conducteurs seuls passe d’environ 54 % à 10 %, tandis que celle des voitures à trois occupants ou plus passe d’environ 17 % à 58 %. De plus, la part des voitures à deux reste comprise entre 25 % et 37 %. Ensuite, pour les trajets de 500 km et plus, le cas le plus fréquent est d’être au moins trois (vacances en famille, covoiturage).

Les véhicules hybrides regroupent trois catégories de la légende : diesel hybride non rechargeable, essence hybride non rechargeable et hybride rechargeable.

\[ 2{,}1 + 15{,}5 + 8{,}4 = 26 \,\% \]

Les hybrides représentent 26 % des voitures neuves. Par ailleurs, la moitié des hybrides correspond donc à \(26 \div 2 = 13\) % des voitures neuves. Or les hybrides rechargeables ne représentent que 8,4 %, et \(8{,}4 \lt 13\).

Autre façon de conclure, avec une proportion de proportion : parmi les hybrides, la part des rechargeables est

\[ \frac{8{,}4}{26} \approx 0{,}323 \]

soit environ 32 %, moins de la moitié. Puis en nombre de voitures : \(1{,}6 \text{ million} \times 0{,}084 \approx 134\,400\) hybrides rechargeables pour \(1{,}6 \text{ million} \times 0{,}26 = 416\,000\) hybrides.