Statistiques en première : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On écrit les sommes en extension, puis on simplifie les termes communs.

\[ \sum_{i=1}^{5} x_i – \sum_{i=2}^{3} x_i = \left(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\right) – \left(x_2 + x_3\right) = x_1 + x_4 + x_5. \]

Le nom de l’indice (\(i\) ou \(k\)) n’a pas d’importance : \(\sum_{k=6}^{9} n_k = n_6 + n_7 + n_8 + n_9\).

\[ \sum_{i=7}^{12} n_i – \sum_{k=6}^{9} n_k = \left(n_7 + n_8 + n_9 + n_{10} + n_{11} + n_{12}\right) – \left(n_6 + n_7 + n_8 + n_9\right) = n_{10} + n_{11} + n_{12} – n_6. \]

1) Les extrémités des « moustaches » donnent le minimum et le maximum ; les bords de la boîte donnent \(Q_1\) et \(Q_3\) ; le trait intérieur donne la médiane.

Minimum : 2 ; \(Q_1 = \) 6 ; médiane : 7 ; \(Q_3 = \) 8 ; maximum : 9.

2) L’intervalle interquartile est \([Q_1\,;Q_3] = [6\,;8]\) ; il contient au moins la moitié des valeurs. Sa longueur, l’écart interquartile, vaut \(Q_3 – Q_1 = 8 – 6 = 2\).

Sur le début du diagramme, on lit le minimum 7 (bout de la moustache) et \(Q_1 = 8\) (début de la boîte).

• Étendue : \(\max – \min = 11\), donc \(\max = 7 + 11 = 18\).
• Médiane : \(12\).
• Écart interquartile : \(Q_3 – Q_1 = 5\), donc \(Q_3 = 8 + 5 = 13\).

1) On calcule les effectifs cumulés croissants (\(N = 65\)) :

• \(Q_1\) : \(\frac{65}{4} = 16{,}25\), on prend la 17e valeur. Les valeurs de rang 9 à 18 valent 4, donc \(Q_1 = 4\).
• Médiane : \(N\) est impair, c’est la valeur de rang \(\frac{65 + 1}{2} = 33\), donc \(Me = 5\).
• \(Q_3\) : \(\frac{3 \times 65}{4} = 48{,}75\), on prend la 49e valeur. Les rangs 34 à 55 valent 6, donc \(Q_3 = 6\).

2) Avec le minimum 2 et le maximum 10 :

1) On range les 10 valeurs dans l’ordre croissant : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12.

• \(Q_1\) : \(\frac{10}{4} = 2{,}5\), on prend la 3e valeur : \(Q_1 = 2\).
• Médiane : \(N = 10\) est pair, c’est la moyenne des 5e et 6e valeurs : \(\frac{5 + 6}{2} = \) 5,5.
• \(Q_3\) : \(\frac{3 \times 10}{4} = 7{,}5\), on prend la 8e valeur : \(Q_3 = 10\).

2) Minimum 0, maximum 12 :

3) Le diagramme en boîte oublie l’ordre chronologique : il ne montre pas que Loïc a acheté de plus en plus de jeux pendant cinq ans (jusqu’à 12), puis de moins en moins, jusqu’à 0 la dernière année. L’évolution dans le temps (une forte baisse d’intérêt) disparaît.

4) Une courbe chronologique (nuage de points reliés, année en abscisse, nombre de jeux en ordonnée) ou un diagramme en bâtons ordonné par année rend compte de ce phénomène.

1) 1re S 1 : \(5 + 4 + 0 + 0 + 3 + 1 + 6 + 5 + 6 + 5 = 35\) élèves. 1re S 2 : \(0 + 3 + 2 + 6 + 8 + 4 + 5 + 2 + 0 + 1 = 31\) élèves.

2) Effectifs cumulés croissants :

• 1re S 1 (\(N = 35\)) : \(Q_1\) = 9e valeur (\(35/4 = 8{,}75\)) \(= 2\) ; médiane = 18e valeur \(= 7\) ; \(Q_3\) = 27e valeur (\(26{,}25\)) \(= 9\) ; min 1, max 10.
• 1re S 2 (\(N = 31\)) : \(Q_1\) = 8e valeur (\(7{,}75\)) \(= 4\) ; médiane = 16e valeur \(= 5\) ; \(Q_3\) = 24e valeur (\(23{,}25\)) \(= 7\) ; min 2, max 10.

3) La 1re S 1 a de meilleurs résultats : sa médiane (7) est plus élevée, et au moins la moitié de la classe a 7 ou plus, contre 5 en 1re S 2. Mais elle est beaucoup plus hétérogène : écart interquartile \(9 – 2 = 7\) contre \(7 – 4 = 3\) ; un quart de la classe a 2 ou moins. La 1re S 2 est plus homogène, avec des notes regroupées autour de la moyenne.

1) À première vue, la série d’écart interquartile \(e\) (avec \(e \gt 0\)) paraît la plus homogène, puisque \(e \lt 100e\) : ses valeurs centrales sont moins dispersées.

2) Notons \(t_1 \leqslant t_2 \leqslant \dots \leqslant t_n\) les tailles en mètres, rangées dans l’ordre croissant. En centimètres, les tailles sont \(100t_1, 100t_2, \dots, 100t_n\). Comme \(100 \gt 0\), la multiplication par 100 conserve l’ordre : \(100t_1 \leqslant 100t_2 \leqslant \dots \leqslant 100t_n\). Les quartiles sont donc atteints aux mêmes rangs dans les deux séries :

\[ Q_1^{\text{cm}} = 100\,Q_1 \quad\text{et}\quad Q_3^{\text{cm}} = 100\,Q_3, \quad\text{donc}\quad Q_3^{\text{cm}} – Q_1^{\text{cm}} = 100\left(Q_3 – Q_1\right). \]

L’écart interquartile de la série en cm est bien 100 fois celui de la série en m.

3) La réponse du 1) est à nuancer : ces deux séries décrivent exactement les mêmes tailles, elles sont aussi homogènes l’une que l’autre, et pourtant les écarts interquartiles sont \(e\) et \(100e\). Pour comparer deux séries avec l’écart interquartile, il faut :

• que les séries soient exprimées dans la même unité ;
• qu’elles aient des ordres de grandeur comparables (sinon, on peut comparer l’écart interquartile rapporté à la médiane, \(\frac{Q_3 – Q_1}{Me}\), qui ne dépend pas de l’unité) ;
• qu’elles portent sur des grandeurs de même nature.

On repère l’échelle : une petite graduation vaut 100 €. On lit la médiane (trait intérieur de la boîte) et les quartiles (bords de la boîte), puis on calcule \(Q_3 – Q_1\).

• Femmes : \(Q_1 \approx 1\,260\) €, \(Me \approx 1\,530\) €, \(Q_3 \approx 2\,050\) €. Écart interquartile \(\approx 2\,050 – 1\,260 = 790\) €.
• Hommes : \(Q_1 \approx 1\,420\) €, \(Me \approx 1\,780\) €, \(Q_3 \approx 2\,500\) €. Écart interquartile \(\approx 2\,500 – 1\,420 = 1\,080\) €.

Les salaires des hommes sont à la fois plus élevés (médiane supérieure d’environ 250 €) et plus dispersés.

1) L’algorithme demande l’effectif \(n\), puis fait saisir les valeurs une à une tant que \(i \lt \frac{n}{4} + 1\). Il fait donc saisir les valeurs de rang 1, 2, … jusqu’au plus petit entier supérieur ou égal à \(\frac{n}{4}\), et affiche la dernière valeur saisie. Si la série est entrée dans l’ordre croissant, cette valeur est celle de rang « \(\frac{n}{4}\) arrondi à l’entier supérieur » : l’algorithme affiche le premier quartile \(Q_1\).

Exemple : pour \(n = 10\), la boucle tourne pour \(i = 1, 2, 3\) (car \(3 \lt 3{,}5\) mais \(4 \gt 3{,}5\)) ; la 3e valeur est bien \(Q_1\).

Améliorations possibles : faire saisir toutes les valeurs dans une liste, puis trier la liste automatiquement au lieu de compter sur l’utilisateur ; ou au moins vérifier à chaque saisie que la valeur est supérieure ou égale à la précédente (voir exercice 10).

2) Pour le troisième quartile (rang : \(\frac{3n}{4}\) arrondi à l’entier supérieur), il suffit de changer la condition de la ligne 7 :

Tant que (i < 3n/4 + 1) faire

Le reste est inchangé : la dernière valeur saisie, affichée à la ligne 13, est alors \(Q_3\).

La série est ordonnée (dans l’ordre croissant) si chaque valeur est supérieure ou égale à la précédente. Il faut donc afficher le message dès qu’une valeur est strictement plus petite que la précédente.

Ligne 9 complétée :

Si L(i) < L(i − 1) Alors

En effet, à l’étape \(i\), on vient de saisir \(L(i)\) et on la compare à \(L(i-1)\), saisie juste avant ; la boucle commence à \(i = 2\) justement parce que \(L(1)\) a été saisie à la ligne 5.