Corrigé des 36 exercices sur les fonctions usuelles en 1ère : solutions détaillées à télécharger en PDF

On exprime chaque fonction puis on repère le sommet et l’orientation de la parabole.

• \(u(x)=x^2-1\) : sommet \((0\,;\,-1)\), tournée vers le haut, coupe l’axe des abscisses en \(-1\) et \(1\). C’est la parabole de sommet \((0\,;\,-1)\) (en orange sur la fiche).
• \(-u(x)=-x^2+1\) : sommet \((0\,;\,1)\), tournée vers le bas, passe aussi par \((-1\,;\,0)\) et \((1\,;\,0)\). C’est la parabole « en cloche » qui descend rapidement.
• \((u+2)(x)=x^2+1\) : c’est la courbe de \(u\) translatée de 2 unités vers le haut, de sommet \((0\,;\,1)\), tournée vers le haut ; elle ne coupe pas l’axe des abscisses.
• \(-\dfrac{1}{4}u(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{4}\) : sommet \(\left(0\,;\,\dfrac{1}{4}\right)\), tournée vers le bas et très aplatie ; elle passe par \((\pm1\,;\,0)\) et par \((\pm3\,;\,-2)\). C’est la courbe rouge.

De plus, Remarque : \(u\), \(-u\) et \(-\dfrac{1}{4}u\) s’annulent toutes en \(-1\) et \(1\) : multiplier par un réel ne change pas les points où la fonction vaut 0.

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1) a) Dans GeoGebra : on saisit f(x)=sqrt(x), on place A=(2,0), puis un point M sur la courbe (« Point sur objet ») et on affiche Distance(A,M).

Par ailleurs, b) En déplaçant \(M\), la distance \(AM\) passe par une plus petite valeur, environ \(1{,}32\), lorsque l’abscisse de \(M\) est voisine de \(1{,}5\).

Ainsi, 2) Avec \(A(2\,;\,0)\) et \(M(x\,;\,\sqrt{x})\), \(x\geqslant 0\), dans un repère orthonormé :

\[ \begin{aligned} AM^2 &= (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \\ &= x^2-4x+4+x \\ &= x^2-3x+4 \end{aligned} \]

Une distance est positive, donc \(AM=\sqrt{x^2-3x+4}\).

Donc, 3) La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(AM\) est minimale quand \(g(x)=x^2-3x+4\) l’est. Forme canonique :

\[ g(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4} \]

Également, \(g\) atteint son minimum \(\dfrac{7}{4}\) en \(x=\dfrac{3}{2}\) (qui appartient bien à \([0\,;\,+\infty[\)). Alors \(AM=\sqrt{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1{,}32\) et \(M\left(\dfrac{3}{2}\,;\,\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\).

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D’après le tableau : \(f\) décroît de 3 à \(-2\) sur \([-4\,;\,-1]\), croît de \(-2\) à 1 sur \([-1\,;\,2]\), décroît de 1 à \(-5\) sur \([2\,;\,5]\). Par ailleurs, on suppose les variations strictes, comme l’indiquent les flèches.

De même, 1) \(f(0)\lt f(1)\) : vrai. \(0\) et \(1\) sont dans \([-1\,;\,2]\) où \(f\) est croissante, et \(0\lt 1\).

2) \(f(-3)\lt f(4)\) : on ne peut pas savoir. \(f(-3)\in\,]-2\,;\,3[\) et \(f(4)\in\,]-5\,;\,1[\) : les intervalles se chevauchent, les deux ordres sont possibles.

Également, 3) \(f(0)\gt f(5)\) : vrai. Sur \([-1\,;\,2]\), \(f\) croît donc \(f(0)\gt f(-1)=-2\), et \(-2\gt -5=f(5)\).

4) \(f(3)\lt f(5)\) : faux. \(f\) est décroissante sur \([2\,;\,5]\) et \(3\lt 5\), donc \(f(3)\gt f(5)\).

Par ailleurs, 5) \(f(2)\gt f(-3)\) : on ne peut pas savoir. \(f(2)=1\), mais \(f(-3)\) est seulement compris entre \(-2\) et \(3\) : il peut être plus petit ou plus grand que 1.

6) \(f(3)\lt f(4)\) : faux. Même raison qu’au 4) : \(f(3)\gt f(4)\).

1) \(f(x)=-2x+5\) est affine de coefficient directeur \(-2\lt 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Donc, 2) \(g(x)=x^2\) est la fonction carré : décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Justification : si \(0\leqslant a\lt b\), \(b^2-a^2=(b-a)(b+a)\gt 0\) ; si \(a\lt b\leqslant 0\), \(b-a\gt 0\) et \(b+a\lt 0\) donc \(b^2-a^2\lt 0\).

Également, 3) \(h(x)=3x-7\) est affine de coefficient directeur \(3\gt 0\) : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

Par conséquent, 4) \(l(x)=\dfrac{1}{x}\) est la fonction inverse. Puis pour \(a\) et \(b\) non nuls de même signe, \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}\) ; si \(a\lt b\), le numérateur est négatif et \(ab\gt 0\), donc \(\dfrac{1}{b}\lt\dfrac{1}{a}\). \(l\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\) (mais pas sur leur réunion).

1) \(0\lt 1{,}15\lt 1{,}3\) et la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(1{,}15^2\lt 1{,}3^2\).

En effet, 2) \(-2{,}05\lt -1{,}99\lt 0\) et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) : l’ordre est inversé, \((-2{,}05)^2\gt(-1{,}99)^2\).

Ensuite, 3) \(0\lt\sqrt{2}+1\lt\sqrt{2}+3\) et la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\gt\dfrac{1}{\sqrt{2}+3}\).

4) \(0\lt 0{,}7\lt 0{,}8\), donc par décroissance de la fonction inverse \(\dfrac{1}{0{,}7}\gt\dfrac{1}{0{,}8}\). Ensuite, en multipliant par \(-1\), l’ordre change encore : \(-\dfrac{1}{0{,}8}\gt-\dfrac{1}{0{,}7}\).

A. Équations (avec \(x\neq 0\)).

De plus, 1) \(\dfrac{1}{x}=-2\iff x=-\dfrac{1}{2}\). 2) \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{4}\iff x=\dfrac{4}{3}\). 3) \(\dfrac{-3}{x}=\dfrac{1}{5}\iff x=-15\).

De même, B. Encadrements de \(\dfrac{1}{x}\). La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et sur \(]-\infty\,;\,0[\) : sur chacun, elle renverse l’ordre.

Ainsi, 1) \(2\leqslant x\leqslant 5\Rightarrow \dfrac{1}{5}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{2}\).

Donc, 2) \(-4\lt x\lt-\dfrac{1}{2}\Rightarrow -2\lt\dfrac{1}{x}\lt-\dfrac{1}{4}\).

Également, 3) \(10^2\leqslant x\leqslant10^4\Rightarrow 10^{-4}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant10^{-2}\).

Par conséquent, 4) \(-1\lt x\lt-10^{-2}\Rightarrow -10^{2}\lt\dfrac{1}{x}\lt-1\), soit \(-100\lt\dfrac{1}{x}\lt-1\).

C. Inéquations graphiques.

Ensuite, 1) \(x^2\gt 1\) : la parabole est strictement au-dessus de la droite \(y=1\) à l’extérieur de ses points d’intersection \((-1\,;\,1)\) et \((1\,;\,1)\) : \(S=\,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[\).

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De plus, 2) \(x^2\leqslant 4\) : la parabole est sous la droite \(y=4\) entre \(-2\) et \(2\) : \(S=[-2\,;\,2]\).

Par ailleurs, 3) \(\dfrac{1}{x}\gt 2\) : l’hyperbole est au-dessus de \(y=2\) seulement pour \(0\lt x\lt\dfrac{1}{2}\) (pour \(x\lt 0\), \(\frac{1}{x}\) est négatif) : \(S=\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right[\).

Ainsi, 4) \(\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{2}\) : vrai pour tout \(x\lt 0\) (\(\frac{1}{x}\) négatif) et pour \(x\geqslant 2\) : \(S=\,]-\infty\,;\,0[\,\cup\,[2\,;\,+\infty[\).

A. Images par la fonction racine carrée.

Donc, \(\sqrt{49}=7\) ; \(\sqrt{100}=10\) ; \(\sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{2}{5}\) ; \(\sqrt{10^8}=10^4\) ; \(\sqrt{4\times10^{-6}}=2\times10^{-3}\).

B. Antécédents. \(\sqrt{x}=k\) a une solution si et seulement si \(k\geqslant 0\), et c’est \(x=k^2\).

Par conséquent, 3 a pour antécédent 9 ; 0 a pour antécédent 0 ; \(\sqrt{5}\) a pour antécédent 5 ; \(-1\) n’a aucun antécédent (une racine carrée est positive) ; \(10^{-2}\) a pour antécédent \(10^{-4}\).

C. Calculs de valeurs absolues. \(|a|=a\) si \(a\geqslant 0\) et \(|a|=-a\) si \(a\lt 0\).

Ensuite, \(|8|=8\) ; \(|0|=0\) ; \(|-2^2|=|-4|=4\) (attention : \(-2^2=-4\)) ; \(|6-2\pi|=2\pi-6\) car \(2\pi\approx6{,}28\gt 6\) ; \(|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\) car \(\sqrt{2}\gt 1\).

D. Valeurs absolues.

Par ailleurs, \(|-4|=4\) ; \(|(-3)^2|=|9|=9\) ; \(|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}\) car \(\sqrt{5}\lt\sqrt{9}=3\) ; \(|1-\pi|=\pi-1\) ; \(|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\) car \(\sqrt{2}\lt 2\) ; \(|(-1)^5|=|-1|=1\).

A. Équations. \(|x|\) est la distance de \(x\) à 0.

Ainsi, 1) \(|x|=5\iff x=-5\) ou \(x=5\). 2) \(|x|=\sqrt{2}\iff x=-\sqrt{2}\) ou \(x=\sqrt{2}\). 3) \(|x|=-\pi\) : aucune solution, une valeur absolue est positive.

Donc, B. Comparaisons avec \(0\lt a\lt b\lt 3\).

1. La racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(\sqrt{a}\lt\sqrt{b}\).
2. Puis l’inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\gt\dfrac{1}{\sqrt{b}}\).
3. \(a\) et \(b\) sont positifs : \(|a|=a\), \(|b|=b\), donc \(|a|\lt|b|\).
4. Le carré est croissant sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(a^2\lt b^2\).
5. Puis l’inverse décroît : \(\dfrac{1}{a^2}\gt\dfrac{1}{b^2}\).
6. En multipliant par \(-4\lt 0\), l’ordre s’inverse : \(\dfrac{-4}{a^2}\lt\dfrac{-4}{b^2}\).
7. Ajouter \(-1\) conserve l’ordre : \(\sqrt{a}-1\lt\sqrt{b}-1\).
8. \(a-3\lt 0\) et \(b-3\lt 0\), donc \(|a-3|=3-a\) et \(|b-3|=3-b\) ; comme \(a\lt b\), \(3-a\gt 3-b\) : \(|a-3|\gt|b-3|\).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

• \(|3-a|=|a-3|\) : même résultat, \(|3-a|\gt|3-b|\).
• \(|a|\lt|b|\) et on multiplie par \(-2\lt 0\) : \(-2|a|\gt-2|b|\).

A. \(u\) est croissante sur \(I\) : si \(a\lt b\) dans \(I\), alors \(u(a)\leqslant u(b)\).

• Ajouter une constante ne change pas le sens : \(u-2\) et \(u+3\) sont croissantes.
• Multiplier par un réel négatif inverse le sens : \(-3u\) et \(-7u\) sont décroissantes.
• \(-2u+8\) : on multiplie par \(-2\) (le sens s’inverse) puis on ajoute 8 : décroissante.
• \(4u-1\) : on multiplie par \(4\gt 0\) puis on ajoute \(-1\) : croissante.

Également, B. \(u\) est strictement positive et décroissante sur \(I\) : si \(a\lt b\), alors \(u(a)\geqslant u(b)\gt 0\).

• La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\dfrac{1}{u(a)}\leqslant\dfrac{1}{u(b)}\), donc \(\dfrac{1}{u}\) est croissante.
• \(-\dfrac{2}{u}=-2\times\dfrac{1}{u}\) : on multiplie une fonction croissante par \(-2\), donc \(-\dfrac{2}{u}\) est décroissante.
• La racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(\sqrt{u(a)}\geqslant\sqrt{u(b)}\), donc \(\sqrt{u}\) est décroissante (même sens que \(u\)).

A. Comparer sans calculatrice. Si \(0\lt x\lt 1\), alors \(x^2\lt x\lt\sqrt{x}\) ; si \(x\gt 1\), alors \(\sqrt{x}\lt x\lt x^2\).

Par conséquent, 1) \(0\lt 0{,}3\lt 1\) : \(0{,}3^2\lt 0{,}3\lt\sqrt{0{,}3}\). 2) \(1{,}2\gt 1\) : \(\sqrt{1{,}2}\lt 1{,}2\lt 1{,}2^2\).

En effet, Justification pour \(0\lt x\lt 1\) : \(x-x^2=x(1-x)\gt 0\), et en appliquant ce résultat à \(\sqrt{x}\) : \(\sqrt{x}\gt(\sqrt{x})^2=x\).

Ensuite, B. Encadrer \(\sqrt{x}\) (la racine carrée est croissante, elle conserve l’ordre).

De plus, 1) \(0\lt x\lt 4\Rightarrow 0\lt\sqrt{x}\lt 2\). 2) \(0\leqslant x\leqslant 0{,}04\Rightarrow 0\leqslant\sqrt{x}\leqslant 0{,}2\). 3) \(1\leqslant x\lt 9\times10^6\Rightarrow 1\leqslant\sqrt{x}\lt 3\times10^3=3\,000\).

C. Avec \(0\leqslant x\leqslant 9\), donc \(0\leqslant\sqrt{x}\leqslant 3\) :

Pour bien réussir corrigé fonctions usuelles, on retient que par ailleurs, 1) \(-5\leqslant\sqrt{x}-5\leqslant-2\).

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Ainsi, 2) \(-6\leqslant-2\sqrt{x}\leqslant 0\) (ordre inversé), donc \(-5\leqslant-2\sqrt{x}+1\leqslant 1\).

3) \(-9\leqslant-x\leqslant 0\), donc \(1\leqslant 10-x\leqslant 10\) et \(1\leqslant\sqrt{10-x}\leqslant\sqrt{10}\).

Donc, 4) \(1\leqslant\sqrt{x}+1\leqslant 4\), donc \(1\leqslant\sqrt{\sqrt{x}+1}\leqslant 2\).

Également, 5) \(0\leqslant x^2\leqslant 81\) (carré croissant sur \([0\,;\,+\infty[\)), \(19\leqslant x^2+19\leqslant 100\), \(\sqrt{19}\leqslant\sqrt{x^2+19}\leqslant 10\), donc \(-10\leqslant-\sqrt{x^2+19}\leqslant-\sqrt{19}\).

Par conséquent, D. 1) \(Y-X=(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab\). Comme \(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\), \(2ab\geqslant 0\), donc \(X\leqslant Y\).

En effet, 2) \(0\leqslant X\leqslant Y\) et la fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(\sqrt{X}\leqslant\sqrt{Y}\), c’est-à-dire \(\sqrt{a^2+b^2}\leqslant\sqrt{(a+b)^2}=a+b\) (car \(a+b\geqslant 0\)).

Rappel utile : \(\sqrt{X}\) n’existe que si \(X \geqslant 0\), et une racine carrée est toujours positive ou nulle. Puis pour \(k \geqslant 0\), on a \(\sqrt{X}=k \iff X=k^2\).

De même, Équations.

• 1) \(\sqrt{x}=4 \iff x=4^2=16\). S = {16}.
• 2) \(\sqrt{x}=-3\) : impossible, car une racine carrée n’est jamais négative. S = ∅.
• 3) \(\sqrt{-3x}=3 \iff -3x=9 \iff x=-3\). On vérifie : \(-3 \times (-3)=9 \geqslant 0\) et \(\sqrt{9}=3\). S = {−3}.
• 4) \(\sqrt{2x-5}=9 \iff 2x-5=81 \iff 2x=86 \iff x=43\). S = {43}.

Inéquations (premier groupe). On utilise le fait que la fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : pour \(x \geqslant 0\), \(\sqrt{x} \gt 3 \iff x \gt 9\).

• 1) \(\sqrt{x} \gt 3 \iff x \gt 3^2=9\). S = ]9 ; +∞[.
• 2) \(\sqrt{x} \leqslant 10^2=100 \iff 0 \leqslant x \leqslant 100^2=10\,000\). S = [0 ; 10 000] (sans oublier la condition \(x \geqslant 0\)).

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• 3) \(\sqrt{x} \leqslant -2\) : impossible, une racine carrée est positive. S = ∅.

Également, Inéquations (second groupe).

• 1) Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\). Donc \(\sqrt{x^2} \lt 1 \iff |x| \lt 1 \iff -1 \lt x \lt 1\). S = ]−1 ; 1[.
• 2) Condition : \(x-1 \geqslant 0\), soit \(x \geqslant 1\). Puis \(\sqrt{x-1} \leqslant 2 \iff x-1 \leqslant 4 \iff x \leqslant 5\). S = [1 ; 5].
• 3) Condition : \(x \geqslant -2\). Puis \(\sqrt{x+2} \gt 3 \iff x+2 \gt 9 \iff x \gt 7\) (qui vérifie bien la condition). S = ]7 ; +∞[.

Supprimer la racine carrée du dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine elle-même, ou par l’expression conjuguée (on change le signe entre les deux termes), pour utiliser \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1 \\ \frac{2}{\sqrt{3}-1} &= \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1 \\ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} \end{aligned} \]

La propriété clé. Soit \(X\) un réel positif.

• Si \(0 \lt X \lt 1\) : \(X^2-X=X(X-1) \lt 0\) donc \(X^2 \lt X\) ; et en appliquant ce résultat à \(\sqrt{X}\) (qui est aussi entre 0 et 1) : \(X=(\sqrt{X})^2 \lt \sqrt{X}\). Donc \(X^2 \lt X \lt \sqrt{X}\).
• Si \(X \gt 1\) : \(X^2-X=X(X-1) \gt 0\) donc \(X^2 \gt X\) ; de même \(X=(\sqrt{X})^2 \gt \sqrt{X}\). Donc \(\sqrt{X} \lt X \lt X^2\).

Il suffit donc de savoir si le nombre est entre 0 et 1 ou plus grand que 1.

Donc, Premier groupe, 1) \(x=\sqrt{2}-1\). Comme \(1 \lt 2 \lt 4\) et que la fonction racine carrée est croissante, \(1 \lt \sqrt{2} \lt 2\), donc \(0 \lt \sqrt{2}-1 \lt 1\). Ainsi \(0 \lt x \lt 1\) et \(x^2 \lt x \lt \sqrt{x}\).

Également, 2) \(y=\sqrt{5}-1\). Comme \(4 \lt 5 \lt 9\), on a \(2 \lt \sqrt{5} \lt 3\), donc \(1 \lt \sqrt{5}-1 \lt 2\). Ainsi \(y \gt 1\) et \(\sqrt{y} \lt y \lt y^2\).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

De même, Second groupe. On sait que \(1 \leqslant a \leqslant 2\).

En effet, 1) En retranchant 1 : \(0 \leqslant a-1 \leqslant 1\). De plus, le nombre \(X=a-1\) est entre 0 et 1 (bornes comprises), donc \((a-1)^2 \leqslant a-1 \leqslant \sqrt{a-1}\), avec égalité des trois nombres lorsque \(a=1\) (ils valent 0) ou \(a=2\) (ils valent 1).

2) En multipliant par 2 puis en retranchant 1 : \(2 \leqslant 2a \leqslant 4\), donc \(1 \leqslant 2a-1 \leqslant 3\). Ensuite, le nombre \(X=2a-1\) est supérieur ou égal à 1, donc \(\sqrt{2a-1} \leqslant 2a-1 \leqslant (2a-1)^2\), avec égalité seulement pour \(a=1\) (les trois valent 1).

Méthode : pour comparer \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\), on étudie le signe de la différence \(f(x)-g(x)\). Là où elle est positive, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ; là où elle est nulle, les courbes se coupent.

Également, Premier énoncé. \(f(x)=x^2-3x-5\) et \(g(x)=-x^2+x+1\).

De plus, 1)

\[ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= x^2-3x-5-(-x^2+x+1) \\ &= 2x^2-4x-6 \\ &= 2(x^2-2x-3) \\ &= 2(x+1)(x-3) \end{aligned} \]

Par ailleurs, (On vérifie en développant : \((x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3\).) C’est un trinôme de coefficient \(2 \gt 0\) et de racines \(-1\) et \(3\) : il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

Ainsi, 2) On en déduit :

• sur \(]-\infty\,;\,-1[\) et sur \(]3\,;\,+\infty[\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
• sur \(]-1\,;\,3[\), \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) ;

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

• les courbes se coupent en \(x=-1\) et \(x=3\) : \(f(-1)=1+3-5=-1\) et \(f(3)=9-9-5=-5\), soit les points \((-1\,;\,-1)\) et \((3\,;\,-5)\).

De même, Second énoncé. \(f(x)=-3x^2+5x+2\) et \(g(x)=-x+2\).

\[ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= -3x^2+5x+2+x-2 \\ &= -3x^2+6x \\ &= -3x(x-2) \end{aligned} \]

Également, trinôme de coefficient \(-3 \lt 0\), de racines \(0\) et \(2\) : il est positif entre les racines, négatif à l’extérieur.

• sur \(]0\,;\,2[\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
• sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]2\,;\,+\infty[\), \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) ;
• points d’intersection : \(g(0)=2\) et \(g(2)=0\), soit \((0\,;\,2)\) et \((2\,;\,0)\).

Premier énoncé. \(f(x)=\dfrac{2-x}{x+1}\) (définie pour \(x \neq -1\)) et \(g(x)=-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{x+2}{3}\).

Par conséquent, On réduit la différence au même dénominateur \(3(x+1)\) :

\[ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= \frac{2-x}{x+1}+\frac{x+2}{3} \\ &= \frac{3(2-x)+(x+2)(x+1)}{3(x+1)} \\ &= \frac{6-3x+x^2+3x+2}{3(x+1)} \\ &= \frac{x^2+8}{3(x+1)} \end{aligned} \]

En effet, le numérateur \(x^2+8\) est toujours strictement positif (un carré plus 8). Par ailleurs, le signe de la différence est donc celui de \(x+1\) :

• pour \(x \gt -1\) : \(f(x)-g(x) \gt 0\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
• pour \(x \lt -1\) : \(f(x)-g(x) \lt 0\), \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) ;
• la différence ne s’annule jamais : les courbes ne se coupent pas.

Par ailleurs, Second énoncé. Sur \([0\,;\,2]\), \(f(x)=\dfrac{1}{3}(2x+1)\) et \(g(x)=\sqrt{x}\).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

1) On pose \(X=\sqrt{x}\), de sorte que \(x=X^2\) avec \(X \geqslant 0\) :

\[ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= \frac{2x+1}{3}-\sqrt{x}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{3} \\ &= \frac{2X^2-3X+1}{3}=\frac{(2X-1)(X-1)}{3} \end{aligned} \]

De plus, (On vérifie : \((2X-1)(X-1)=2X^2-2X-X+1=2X^2-3X+1\).) Ce trinôme en \(X\) a pour racines \(X=\dfrac{1}{2}\) et \(X=1\), et il est positif à l’extérieur des racines. Or \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2} \iff x=\dfrac{1}{4}\) et \(\sqrt{x}=1 \iff x=1\), et la fonction racine carrée est croissante. Donc :

• sur \(\left[0\,;\,\dfrac{1}{4}\right[\) et sur \(]1\,;\,2]\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
• sur \(\left]\dfrac{1}{4}\,;\,1\right[\) : \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) ;
• les courbes se coupent aux points \(A\left(\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) et \(B(1\,;\,1)\) (en effet \(f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}=\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}\) et \(f(1)=1=\sqrt{1}\)).

Exercice 14 (suite 3)

Par ailleurs, 2) \(\mathcal{C}_f\) est une droite passant par \((0\,;\,\frac{1}{3})\) et \((2\,;\,\frac{5}{3})\). Puis pour \(\mathcal{C}_g\), un petit tableau de valeurs aide : \(g(0)=0\), \(g(0{,}25)=0{,}5\), \(g(1)=1\), \(g(2)=\sqrt{2}\approx 1{,}41\). Avec une unité de 4 cm, le point \(B(1\,;\,1)\) est à 4 cm de chaque axe et \((2\,;\,\frac{5}{3})\) est à 8 cm à droite et environ 6,7 cm au-dessus de l’origine.

Rappel : \(|A|=A\) si \(A \geqslant 0\) et \(|A|=-A\) si \(A \lt 0\). Ensuite, on détermine donc d’abord le signe de ce qui est entre les barres.

• Dans corrigé fonctions usuelles, 1) \(10^{-5} \lt 10^{-3}\), donc \(10^{-5}-10^{-3} \lt 0\) et \(\left|10^{-5}-10^{-3}\right|=10^{-3}-10^{-5}=0{,}001-0{,}000\,01=\mathbf{0{,}000\,99}\) (soit \(9{,}9\times10^{-4}\)).
• 2) \(9\times10^4-10^5=90\,000-100\,000=-10\,000\), donc \(\left|9\times10^4-10^5\right|=\mathbf{10\,000}=10^4\).
• 3) \(\left|-10^{-3}\right|=\mathbf{10^{-3}}=0{,}001\).
• 4) \(\pi\approx3{,}14 \lt 4\), donc \(\pi-4 \lt 0\) et \(|\pi-4|=\mathbf{4-\pi}\).
• 5) \(-2-\sqrt{2} \lt 0\), donc \(\left|-2-\sqrt{2}\right|=\mathbf{2+\sqrt{2}}\).
• 6) \(3\pi\approx9{,}42 \lt 10\), donc \(10-3\pi \gt 0\) et \(|10-3\pi|=\mathbf{10-3\pi}\).

Distances. La distance entre deux réels \(a\) et \(b\) est \(|a-b|=|b-a|\) : c’est l’écart entre leurs points sur la droite graduée.

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

• 1) \(|7-(-5)|=|12|=\mathbf{12}\).
• 2) \(|-3-(-8)|=|5|=\mathbf{5}\).
• 3) \(|-5{,}1-2{,}3|=|-7{,}4|=\mathbf{7{,}4}\).
• 4) \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), donc \(\left|\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})\right|=\left|3\sqrt{2}\right|=\mathbf{3\sqrt{2}}\).
• 5) \(2\pi\approx6{,}28 \gt 6\), donc \(6-2\pi \lt 0\) et \(|6-2\pi|=\mathbf{2\pi-6}\).

Calcul de A.

\[ \begin{aligned} A &= |2{,}4-0{,}8|+|7{,}38+0{,}5|+|1{,}2-5{,}08| \\ &= |1{,}6|+|7{,}88|+|-3{,}88| \\ &= 1{,}6+7{,}88+3{,}88 \\ &= 13{,}36 \end{aligned} \]

Également, Calcul de B.

\[ \begin{aligned} B &= \left|\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right|+\left|\frac{2}{3}-1\right|-\left|\frac{4}{3}-1\right| \\ &= \left|-\frac{1}{3}\right|+\left|-\frac{1}{3}\right|-\left|\frac{1}{3}\right| \\ &= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \end{aligned} \]

Également, Attention au signe « − » devant la troisième valeur absolue : il est à l’extérieur des barres, il reste.

Par ailleurs, Traduction avec le mot « distance ». \(|x-a|\) est la distance entre \(x\) et \(a\) ; et \(|x+3|=|x-(-3)|\).

• 1) \(|x-8|=2\) : la distance entre \(x\) et 8 est égale à 2 (donc \(x=6\) ou \(x=10\)).
• 2) \(|x| \gt 1\) : la distance entre \(x\) et 0 est strictement supérieure à 1 (donc \(x \lt -1\) ou \(x \gt 1\)).
• 3) \(|x+3|=4\) : la distance entre \(x\) et −3 est égale à 4 (donc \(x=-7\) ou \(x=1\)).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

• 4) \(|x-0{,}8| \leqslant 4\) : la distance entre \(x\) et 0,8 est inférieure ou égale à 4 (donc \(-3{,}2 \leqslant x \leqslant 4{,}8\)).

L’algorithme teste le signe de \(x-3\) : il affiche \(x-3\) si ce nombre est positif ou nul, et \(3-x\), c’est-à-dire \(-(x-3)\), sinon.

En effet, 1)

• \(x=-8\) : \(-8-3=-11 \lt 0\), on affiche \(3-(-8)=\mathbf{11}\).
• \(x=\dfrac{1}{3}\) : \(\dfrac{1}{3}-3 \lt 0\), on affiche \(3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{1}{3}=\mathbf{\dfrac{8}{3}}\).
• \(x=0\) : \(0-3 \lt 0\), on affiche \(3-0=\mathbf{3}\).
• \(x=\pi\) : \(\pi\approx3{,}14\), donc \(\pi-3 \geqslant 0\), on affiche \(\mathbf{\pi-3}\).
• \(x=-3\) : \(-3-3=-6 \lt 0\), on affiche \(3-(-3)=\mathbf{6}\).

Ensuite, 2) L’algorithme affiche \(x-3\) si \(x-3 \geqslant 0\) et \(-(x-3)\) sinon : c’est exactement la définition de la valeur absolue. Puis il affiche donc \(|x-3|\), c’est-à-dire la distance entre \(x\) et 3.

De plus, 3) Pour obtenir \(|-2x+5|\), on teste le signe de \(-2x+5\) :

• 1. Variable : x réel
• 2. Entrée
• 3. Saisir x
• 4. Traitement
• 5. Si −2x + 5 ≥ 0
• 6. Alors afficher −2x + 5
• 7. Sinon afficher 2x − 5
• 8. Fin Si

Propriété : ajouter une constante \(k\) à une fonction ne change pas son sens de variation. De plus, les fonctions \(u-2\) et \(u+3\) ont donc les mêmes variations que \(u\) : décroissantes sur \([-2\,;\,0]\), croissantes sur \([0\,;\,4]\). Seules les valeurs changent : on retire 2 (ou on ajoute 3) à chaque valeur du tableau.

Également, Pour \(f=u-2\) : \(f(-2)=0-2=-2\), \(f(0)=-2-2=-4\), \(f(4)=3-2=1\).

Pour \(g=u+3\) : \(g(-2)=0+3=3\), \(g(0)=-2+3=1\), \(g(4)=3+3=6\).

Lecture de la courbe de \(f\) (un carreau = 1 unité) : sur \([-1\,;\,1]\), un demi-cercle de centre \(O\) et de rayon 1, passant par \((-1\,;\,0)\), \((0\,;\,1)\) et \((1\,;\,0)\) ; puis un segment de \((1\,;\,0)\) à \((3\,;\,-2)\) ; puis un segment de \((3\,;\,-2)\) à \((5\,;\,2)\), qui passe par \((4\,;\,0)\).

On transforme les points remarquables puis on les relie de la même façon.

Par ailleurs, Courbe de \(f+2\) : c’est la courbe de \(f\) translatée de 2 unités vers le haut (le demi-cercle reste un demi-cercle, de centre \((0\,;\,2)\)).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Courbe de \(\frac{1}{2}f\) : chaque ordonnée est divisée par 2, les abscisses ne changent pas. Ensuite, les points de l’axe des abscisses restent en place ; le demi-cercle devient une demi-ellipse aplatie de hauteur 0,5.

De même, Courbe de \(-2f\) : chaque ordonnée est multipliée par −2 : la courbe est étirée verticalement d’un facteur 2 puis retournée par symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Par ailleurs, le demi-cercle devient une demi-ellipse vers le bas, de profondeur 2.

On lit sur le quadrillage (un carreau = 1 unité) la valeur de chaque courbe en \(x=0\). Puis la courbe \(\mathcal{C}\) de \(u\) passe par \((0\,;\,2)\) : \(u(0)=2\). Ensuite, elle s’approche de 0 quand \(x\) s’éloigne de 0.

• \(\mathcal{C}_1\) passe par \((0\,;\,4)\) et, comme \(\mathcal{C}\), s’approche de 0 sur les bords. Une translation vers le haut ne ferait pas cela (elle s’approcherait de 2) : c’est \(k\,u\) avec \(k \times 2=4\), soit \(k=2\). \(\mathcal{C}_1\) représente \(2u\).
• \(\mathcal{C}_2\) passe par \((0\,;\,-1)\), est retournée (sous l’axe) et s’approche de 0 : \(k \times 2=-1\), soit \(k=-\dfrac{1}{2}\). \(\mathcal{C}_2\) représente \(-\dfrac{1}{2}u\).
• \(\mathcal{C}_3\) passe par \((0\,;\,0)\) et a exactement la même forme que \(\mathcal{C}\), mais s’approche de \(-2\) sur les bords : c’est \(\mathcal{C}\) descendue de 2 unités. \(\mathcal{C}_3\) représente \(u-2\).
• \(\mathcal{C}_4\) passe par \((0\,;\,-4)\), est retournée et s’approche de 0 : \(k \times 2=-4\), soit \(k=-2\). \(\mathcal{C}_4\) représente \(-2u\).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

En effet, On peut contrôler avec un deuxième point : en \(x=1\), \(\mathcal{C}\) vaut environ 1,5 ; \(\mathcal{C}_1\) vaut environ 3 (le double) et \(\mathcal{C}_3\) environ \(-0{,}5\) (1,5 − 2), ce qui confirme.

Question 1. \(|x+2|=|x-(-2)|\) est la distance entre \(x\) et \(-2\). Puis L’inéquation \(|x+2| \lt 5\) signifie donc que \(x\) est à une distance strictement inférieure à 5 de \(-2\) :

\[ |x+2| \lt 5 \iff -5 \lt x+2 \lt 5 \iff -7 \lt x \lt 3 \]

Ensuite, L’ensemble des solutions est l’intervalle ouvert \(]-7\,;\,3[\) : réponse b. (La réponse a ne donne que les deux bornes, où l’on a \(|x+2|=5\) ; la réponse c correspond à \(|x+2| \gt 5\).)

Question 2. On factorise \(12-3(x+1)^2\) en mettant 3 en facteur puis en utilisant \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\[ \begin{aligned} f(x) &= 3\left[4-(x+1)^2\right]=3\left[2^2-(x+1)^2\right] \\ &= 3\,(2-x-1)(2+x+1) \\ &= 3\,(1-x)(x+3) \end{aligned} \]

Par ailleurs, Or \(3(1-x)(x+3)=-3(x-1)(x+3)\) : c’est la réponse d. Vérification par développement : \(-3(x-1)(x+3)=-3(x^2+2x-3)=-3x^2-6x+9\) et \(12-3(x^2+2x+1)=-3x^2-6x+9\).

Question 1. \(f(x)=-5-(x-1)^2=-(x-1)^2-5\) est sous forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(a=-1\), \(\alpha=1\), \(\beta=-5\). Comme \(a \lt 0\), la parabole est tournée vers le bas, de sommet \((1\,;\,-5)\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\) puis décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\).

Ainsi, la bonne réponse attendue est la réponse a. Remarque : la réponse c (croissante sur \(]-\infty\,;\,-5]\)) est aussi exacte, puisque \(]-\infty\,;\,-5]\) est inclus dans \(]-\infty\,;\,1]\), mais elle est moins complète ; les réponses b et d sont fausses. Attention à ne pas confondre l’abscisse du sommet (1) avec son ordonnée (−5).

De même, Question 2. \(f(x)=2(5-x)(-x-1)\). De plus, on a \((5-x)(-x-1)=(x-5)(x+1)\) (on a changé deux signes). Donc \(f(x)=2(x-5)(x+1)\), trinôme de coefficient \(2 \gt 0\) et de racines \(-1\) et \(5\) : il est positif à l’extérieur des racines.

Également, \(f\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-1] \cup [5\,;\,+\infty[\) : réponse b.

Dans ce QCM, plusieurs réponses peuvent être justes : on examine chaque proposition.

Également, Question 1. L’ensemble \(]-\infty\,;\,-3] \cup [5\,;\,+\infty[\) est formé des nombres situés à une distance au moins égale à 4 du milieu \(\dfrac{-3+5}{2}=1\) (car \(5-1=4\) et \(1-(-3)=4\)). Ensuite, il s’écrit donc \(|x-1| \geqslant 4\).

\[ |x-1| \geqslant 4 \iff x-1 \leqslant -4 \text{ ou } x-1 \geqslant 4 \iff x \leqslant -3 \text{ ou } x \geqslant 5 \]

• a. \(|x-1| \geqslant 4\) : juste.
• b. \(|x-1| \leqslant 4\) donne l’intervalle \([-3\,;\,5]\) : faux.
• c. \(|1-x|=|x-1|\) (deux nombres opposés ont la même valeur absolue), donc \(|1-x| \geqslant 4\) est la même inéquation que a : juste.
• d. \(|x+1| \leqslant 4\) donne \([-5\,;\,3]\) : faux.

Question 2. \(f(x)=-2x^2-4x+6\). Par ailleurs, on développe chaque proposition :

• a. \(-2(x+3)(x-1)=-2(x^2+2x-3)=-2x^2-4x+6\) : juste.
• b. \(2(x+3)(1-x)=-2(x+3)(x-1)\), la même expression que a : juste.

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

• c. \(-2(x+1)^2+8=-2(x^2+2x+1)+8=-2x^2-4x+6\) : juste (c’est la forme canonique).
• Pour progresser en corrigé fonctions usuelles, d. \(-2(x-1)^2+8=-2x^2+4x+6\) : faux (le coefficient de \(x\) a le mauvais signe).

Par ailleurs, Question 3. Si la courbe de \(f\) est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses, alors \(f(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\).

• La parabole ne peut pas être tournée vers le bas (elle finirait sous l’axe), donc \(a \gt 0\) : réponse a juste, réponse b fausse.
• En particulier \(f(0)=c \gt 0\) : réponse c juste, réponse d fausse.

Dans chaque QCM, on justifie chaque proposition : plusieurs peuvent être vraies.

De plus, QCM 1 : \( f(x)=4x-1 \) et \( g(x)=(x+5)^2-17 \).

Par ailleurs, pour comparer deux courbes, on étudie le signe de la différence \( g(x)-f(x) \) :

Ainsi :\[ \begin{aligned} g(x)-f(x) &= x^2+10x+25-17-4x+1 \\ &= x^2+6x+9 \\ &= (x+3)^2 \end{aligned} \]

Donc, un carré est toujours positif : \( g(x)-f(x) \geqslant 0 \) pour tout réel \( x \), avec égalité seulement pour \( x=-3 \). Donc \( C_f \) est en dessous de \( C_g \) sur tout \( \mathbb{R} \) (les deux courbes se touchent au point d’abscisse \( -3 \)).

• a. \( C_f \) est en dessous de \( C_g \) sur \( [-3\,;+\infty[ \) : vrai.
• b. \( C_g \) est en dessous de \( C_f \) sur \( [-3\,;+\infty[ \) : faux (c’est le contraire).
• c. \( C_f \) est en dessous de \( C_g \) sur \( ]-\infty\,;-3] \) : vrai.
• d. \( C_f \) est au-dessus de \( C_g \) sur \( ]-\infty\,;-3] \) : faux.

Également, QCM 2 : parabole passant par \( (-5\,;0) \), \( (0\,;15) \), \( (3\,;0) \), de sommet \( S(-1\,;16) \).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Les racines de \( f \) sont \( -5 \) et \( 3 \), donc \( f(x)=a(x+5)(x-3) \). Avec \( f(0)=15 \) : \( a \times 5 \times (-3)=15 \), soit \( -15a=15 \) et \( a=-1 \).

• a. Faux : \( a=-1\lt 0 \), la parabole est tournée vers le bas. \( f \) admet un maximum, égal à 16 (l’ordonnée du sommet), et pas de minimum.
• b. Vrai : \( f(x)=-(x+5)(x-3)=-(x^2+2x-15)=-x^2-2x+15 \).
• c. Faux : \( C_f \) coupe l’axe des abscisses en \( x=-5 \) et \( x=3 \). La valeur 15 est l’ordonnée à l’origine : \( C_f \) coupe l’axe des ordonnées en 15.
• d. Vrai : c’est la forme canonique, avec \( a=-1 \) et le sommet \( (-1\,;16) \) : \( 16-(x+1)^2=16-x^2-2x-1=-x^2-2x+15 \).

Partie 1 : sans valeur absolue. On rappelle que \( |A|=A \) si \( A\geqslant 0 \) et \( |A|=-A \) si \( A\lt 0 \).

1. \( |-5|=5 \).
2. \( \sqrt{3}\gt\sqrt{1}=1 \), donc \( 1-\sqrt{3}\lt 0 \) et \( |1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1 \).
3. Si \( x\geqslant 8 \), alors \( x-8\geqslant 0 \) et \( |x-8|=x-8 \). Si \( x\lt 8 \), alors \( x-8\lt 0 \) et \( |x-8|=8-x \).

Par ailleurs, Partie 2 : équations et inéquations.

1. \( |x|=-2 \) : une valeur absolue est toujours positive, elle ne peut pas valoir \( -2 \). \( S=\varnothing \).
2. \( |x|\geqslant 3 \) : la distance de \( x \) à 0 est au moins 3, donc \( x\leqslant -3 \) ou \( x\geqslant 3 \). \( S=]-\infty\,;-3]\cup[3\,;+\infty[ \).
3. \( 3(x+1)^2-5=1 \iff 3(x+1)^2=6 \iff (x+1)^2=2 \iff x+1=\sqrt{2} \) ou \( x+1=-\sqrt{2} \). \( S=\{-1-\sqrt{2}\,;-1+\sqrt{2}\} \).
4. \( 3(x+1)^2-1\geqslant 11 \iff (x+1)^2\geqslant 4 \iff |x+1|\geqslant 2 \iff x+1\leqslant -2 \) ou \( x+1\geqslant 2 \), soit \( x\leqslant -3 \) ou \( x\geqslant 1 \). \( S=]-\infty\,;-3]\cup[1\,;+\infty[ \).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Partie 3 : \( f(x)=7(x+1)^2-3 \). C’est une forme canonique \( a(x-\alpha)^2+\beta \) avec \( a=7 \), \( \alpha=-1 \) et \( \beta=-3 \).

• \( a=7\gt 0 \) : la courbe est une parabole tournée vers le haut, de sommet \( S(-1\,;-3) \) et d’axe de symétrie la droite d’équation \( x=-1 \).
• Comme \( 7(x+1)^2\geqslant 0 \), on a \( f(x)\geqslant -3 \) : \( f \) admet un minimum égal à \( -3 \), atteint en \( x=-1 \).
• \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty\,;-1] \) et croissante sur \( [-1\,;+\infty[ \).
• Ordonnée à l’origine : \( f(0)=7-3=4 \). La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points, car \( (x+1)^2=\dfrac{3}{7} \) donne \( x=-1-\sqrt{\dfrac{3}{7}} \) et \( x=-1+\sqrt{\dfrac{3}{7}} \) (environ \( -1{,}65 \) et \( -0{,}35 \)).

1. On utilise le signe du coefficient \( a \), puis des points faciles à lire (racines, sommet, ordonnée à l’origine).

• \( f(x)=-(x-2)(x+3) \) : \( a=-1\lt 0 \), c’est la seule parabole tournée vers le bas. Ses racines sont 2 et \( -3 \). La courbe verte \( C_3 \) est la seule tournée vers le bas et coupe bien l’axe des abscisses en \( -3 \) et en 2 : \( C_3 \) représente \( f \).
• \( h(x)=7(x-1)^2+2 \) : forme canonique, sommet \( (1\,;2) \). La courbe orange \( C_2 \) a son sommet au point \( (1\,;2) \) : \( C_2 \) représente \( h \).
• \( g(x)=3x^2+5x-1 \) : \( a=3\gt 0 \) et \( g(0)=-1 \). La courbe bleue \( C_1 \) coupe l’axe des ordonnées en \( -1 \) : \( C_1 \) représente \( g \). (Son sommet a pour abscisse \( -\dfrac{5}{6} \) et pour ordonnée \( -\dfrac{37}{12}\approx -3{,}08 \), ce qui correspond au creux de \( C_1 \).)

Ensuite, 2. Le point d’intersection de \( C_2 \) avec l’axe des ordonnées a pour abscisse 0, donc pour ordonnée \( h(0)=7\times(0-1)^2+2=7+2=9 \). Puis il est hors du cadre de la figure.

Les trois fonctions sont écrites sous forme canonique \( a(x-\alpha)^2+\beta \) : le sommet de la parabole est le point \( (\alpha\,;\beta) \). Ensuite, les trois ont \( a=6\gt 0 \), la même « ouverture » : seul le sommet les distingue.

• \( f(x)=6(x-1)^2+1 \) : sommet \( (1\,;1) \).
• \( g(x)=6(x+1)^2+1=6(x-(-1))^2+1 \) : sommet \( (-1\,;1) \).
• \( h(x)=6(x+1)^2-1 \) : sommet \( (-1\,;-1) \).

De plus, On lit les sommets sur le graphique : \( C_1 \) a son sommet en \( (-1\,;1) \), \( C_2 \) en \( (-1\,;-1) \) et \( C_3 \) en \( (1\,;1) \).

On utilise l’interprétation en distance : \( |x-a| \) est la distance entre \( x \) et \( a \) sur la droite graduée, et \( |x|=|x-0| \).

1. \( |x|\lt 2 \) : les nombres à moins de 2 de 0, soit \( -2\lt x\lt 2 \). \( S=]-2\,;2[ \).
2. \( 3\leqslant |x|\leqslant 4 \) : la distance à 0 est entre 3 et 4, donc \( 3\leqslant x\leqslant 4 \) ou \( -4\leqslant x\leqslant -3 \). \( S=[-4\,;-3]\cup[3\,;4] \).
3. \( |x-3|\leqslant 5 \iff -5\leqslant x-3\leqslant 5 \iff -2\leqslant x\leqslant 8 \). \( S=[-2\,;8] \) (les nombres à au plus 5 de 3).
4. \( |x+4|\gt 5 \iff |x-(-4)|\gt 5 \) : \( x+4\gt 5 \) ou \( x+4\lt -5 \), soit \( x\gt 1 \) ou \( x\lt -9 \). \( S=]-\infty\,;-9[\cup]1\,;+\infty[ \).

1. On distingue trois cas pour l’équation \( |x|=k \) :

• si \( k\lt 0 \) : une valeur absolue est positive, il n’y a pas de solution ;
• si \( k=0 \) : \( |x|=0 \iff x=0 \), il y a une seule solution, 0 ;
• si \( k\gt 0 \) : les nombres à la distance \( k \) de 0 sont \( -k \) et \( k \).

Par ailleurs, algorithme complété :

Définir Solution(k) :
  Si k < 0 alors :
    Retourner « Pas de solution »
  Sinon
    Si k = 0 alors :
      Retourner 0
    Sinon m ← −k
      n ← k
      Retourner m et n
    Fin Si
  Fin Si

2. a. Une programmation possible en Python :

Donc, def solution(k):
    if k < 0:
        return « Pas de solution »
    elif k == 0:
        return 0
    else:
        m = -k
        n = k
        return m, n

Également, b. Tests :

• \( k=4 \) : \( 4\gt 0 \), l’algorithme renvoie \( -4 \) et 4 (en Python : (-4, 4)). En effet \( |-4|=|4|=4 \).
• \( k=0 \) : l’algorithme renvoie 0.
• \( k=-3 \) : l’algorithme renvoie « Pas de solution ».

1. a. et b. Exemples :

• \( x=-3 \) et \( y=5 \) : \( |x|\times|y|=3\times5=15 \) et \( |xy|=|-15|=15 \).
• \( x=-2 \) et \( y=-7 \) : \( |x|\times|y|=2\times7=14 \) et \( |xy|=|14|=14 \).
• \( x=4 \) et \( y=2{,}5 \) : \( |x|\times|y|=10 \) et \( |xy|=|10|=10 \).

Par conséquent, c. Conjecture : pour tous réels \( x \) et \( y \), \( |x|\times|y|=|xy| \).

En effet, 2. On utilise la définition : \( |A|=A \) si \( A\geqslant 0 \), \( |A|=-A \) si \( A\lt 0 \), et la règle des signes pour \( xy \).

• a. \( x=0 \) ou \( y=0 \) : alors \( xy=0 \), donc \( |xy|=0 \) ; et l’un des facteurs \( |x| \) ou \( |y| \) est nul, donc \( |x|\times|y|=0 \). Égalité.
• b. \( x\lt 0 \) et \( y\lt 0 \) : \( |x|\times|y|=(-x)\times(-y)=xy \). Et \( xy\gt 0 \) (produit de deux négatifs), donc \( |xy|=xy \). Égalité.
• c. \( x\lt 0 \) et \( y\gt 0 \) : \( |x|\times|y|=(-x)\times y=-xy \). Et \( xy\lt 0 \), donc \( |xy|=-xy \). Égalité.
• d. \( x\gt 0 \) et \( y\gt 0 \) : \( |x|\times|y|=xy \) et \( xy\gt 0 \), donc \( |xy|=xy \). Égalité.

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Ensuite, le cas \( x\gt 0 \) et \( y\lt 0 \) se traite comme le cas c. en échangeant les rôles de \( x \) et \( y \).

De plus, 3. Tous les cas possibles ont été étudiés : la conjecture est démontrée. La valeur absolue d’un produit est égale au produit des valeurs absolues.

1. a. \( C_f \) est une parabole tournée vers le haut (\( a=3\gt 0 \)) qui passe par l’origine ; \( C_g \) est une droite passant par l’origine (fonction linéaire de coefficient \( \dfrac{2}{3} \)). Puis pour bien voir les points communs, on règle la fenêtre de la calculatrice sur \( -0{,}5\leqslant x\leqslant 1 \) et \( -0{,}5\leqslant y\leqslant 1{,}2 \) environ.

Par ailleurs, b. On observe deux points d’intersection : l’origine \( O(0\,;0) \) et un point \( A \) d’abscisse environ \( 0{,}56 \) et d’ordonnée environ \( 0{,}37 \).

Ainsi, 2. Les abscisses des points d’intersection sont les solutions de \( f(x)=g(x) \) :

Donc :\[ \begin{aligned} 3x^2-x=\frac{2}{3}x &\iff 3x^2-x-\frac{2}{3}x=0 \\ &\iff 3x^2-\frac{5}{3}x=0 \\ &\iff x\left(3x-\frac{5}{3}\right)=0 \end{aligned} \]

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Également, un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \( x=0 \) ou \( 3x=\dfrac{5}{3} \), soit \( x=\dfrac{5}{9} \).

Par conséquent, Ordonnées : \( g(0)=0 \) et \( g\left(\dfrac{5}{9}\right)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{9}=\dfrac{10}{27} \). Vérification : \( f\left(\dfrac{5}{9}\right)=3\times\dfrac{25}{81}-\dfrac{5}{9}=\dfrac{75}{81}-\dfrac{45}{81}=\dfrac{30}{81}=\dfrac{10}{27} \).

En effet, Comme \( \dfrac{5}{9}\approx 0{,}556 \) et \( \dfrac{10}{27}\approx 0{,}370 \), la conjecture est confirmée.

On lit dans le tableau \( f(2)=3 \) et \( f(4)=3 \) : deux nombres ont la même image. De plus, la parabole est symétrique par rapport à la droite d’équation \( x=\dfrac{2+4}{2}=3 \). Donc deux nombres symétriques par rapport à 3 ont la même image : \( f(3-h)=f(3+h) \).

• \( 4{,}6=3+1{,}6 \), son symétrique est \( 3-1{,}6=1{,}4 \) : \( f(1{,}4)=f(4{,}6)=4{,}56 \). La case manquante du premier tableau est \( x=1{,}4 \).
• \( 7=3+4 \), son symétrique est \( 3-4=-1 \) : \( f(7)=f(-1)=18 \).
• \( 11=3+8 \), son symétrique est \( 3-8=-5 \) : \( f(11)=f(-5)=66 \).

Ensuite, Remarque : on peut vérifier que \( f(x)=(x-3)^2+2 \) convient (\( f(2)=3 \), \( f(-1)=18 \), \( f(-5)=66 \), \( f(4{,}6)=4{,}56 \)), mais l’énoncé demandait de s’en passer.

1. a. La parabole est tournée vers le bas, donc \( a\lt 0 \).

Pour progresser en corrigé fonctions usuelles, de plus, b. Lectures graphiques (une graduation vaut 1 sur chaque axe) :

• \( c=f(0) \) est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées : \( c=6 \).
• \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les abscisses des points d’intersection avec l’axe des abscisses : \( x_1=-3 \) et \( x_2=1 \).
• \( (\alpha\,;\beta) \) sont les coordonnées du sommet : \( \alpha=-1 \) et \( \beta=8 \). On vérifie que \( \alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=-1 \).

Par ailleurs, 2. Avec la forme factorisée \( f(x)=a(x+3)(x-1) \) et \( f(0)=6 \) :

Ainsi :\[ a\times(0+3)\times(0-1)=6 \iff -3a=6 \iff a=-2 \]

Donc, Vérification avec la forme canonique : \( f(0)=a(0+1)^2+8=a+8=6 \) donne aussi \( a=-2 \), qui est bien négatif. Ensuite, on en déduit \( f(x)=-2(x+3)(x-1)=-2(x+1)^2+8=-2x^2-4x+6 \).

Le tableau indique : \( f(x)\gt 0 \) sur \( ]-\infty\,;-8[ \) et sur \( ]2\,;+\infty[ \), \( f(x)\lt 0 \) sur \( ]-8\,;2[ \), et \( f(-8)=f(2)=0 \).

1. \( f(-10)\lt 0 \) : faux. \( -10\lt -8 \), donc \( f(-10)\gt 0 \). Affirmation rectifiée : \( f(-10)\gt 0 \).
2. \( f(-9)\geqslant f(1) \) : vrai. \( -9\lt -8 \) donc \( f(-9)\gt 0 \), et \( 1\in]-8\,;2[ \) donc \( f(1)\lt 0 \). Un positif est plus grand qu’un négatif.
3. \( f(0)=2 \) : faux. \( 0\in]-8\,;2[ \), donc \( f(0)\lt 0 \) : \( f(0) \) ne peut pas valoir 2. Affirmation rectifiée : \( f(0)\lt 0 \).
4. \( a\lt 0 \) : faux. Un trinôme est du signe de \( a \) à l’extérieur de ses racines ; ici \( f \) est positive à l’extérieur de \( [-8\,;2] \), donc \( a\gt 0 \).
5. \( S=\{-8\,;2\} \) pour \( f(x)=0 \) : vrai, ce sont les deux valeurs où le tableau indique 0.
6. \( S=[-8\,;2] \) pour \( f(x)\lt 0 \) : faux, car \( f(-8)=f(2)=0 \) et l’inégalité est stricte. Rectification : \( S=]-8\,;2[ \).

1. a. On développe la forme factorisée :

Également :\[ \begin{aligned} f(x) &= 3(x-1)\left(x-\frac{7}{3}\right) \\ &= 3\left(x^2-\frac{7}{3}x-x+\frac{7}{3}\right) \\ &= 3x^2-7x-3x+7 \\ &= 3x^2-10x+7 \end{aligned} \]

Par conséquent, b. On développe l’expression proposée :

En effet :\[ \begin{aligned} 3\left(x-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{4}{3} &= 3\left(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}\right)-\frac{4}{3} \\ &= 3x^2-10x+\frac{25}{3}-\frac{4}{3} \\ &= 3x^2-10x+7=f(x) \end{aligned} \]

De même, 2. a. \( f(x)\leqslant 0 \) : on choisit la forme factorisée, qui donne directement les racines 1 et \( \dfrac{7}{3} \). Comme \( a=3\gt 0 \), \( f \) est négative entre ses racines.

De plus, \( S=\left[1\,;\dfrac{7}{3}\right] \).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Par ailleurs, b. \( f(x)\gt 7 \) : on choisit la forme développée, car le 7 se simplifie :

Ainsi :\[ 3x^2-10x+7\gt 7 \iff 3x^2-10x\gt 0 \iff x(3x-10)\gt 0 \]

Donc, le produit a pour racines 0 et \( \dfrac{10}{3} \) ; c’est un trinôme de coefficient \( 3\gt 0 \), positif à l’extérieur des racines. \( S=]-\infty\,;0[\cup\left]\dfrac{10}{3}\,;+\infty\right[ \).

Également, c. \( f(x)\leqslant 6 \) : on choisit la forme canonique, car \( x \) n’y apparaît qu’une fois :

Par conséquent :\[ \begin{aligned} 3\left(x-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{4}{3}\leqslant 6 &\iff 3\left(x-\frac{5}{3}\right)^2\leqslant \frac{22}{3} \\ &\iff \left(x-\frac{5}{3}\right)^2\leqslant \frac{22}{9} \\ &\iff -\frac{\sqrt{22}}{3}\leqslant x-\frac{5}{3}\leqslant \frac{\sqrt{22}}{3} \end{aligned} \]

En effet, \( S=\left[\dfrac{5-\sqrt{22}}{3}\,;\dfrac{5+\sqrt{22}}{3}\right] \), soit environ \( [-0{,}23\,;3{,}23] \).

1. a. \( x^2-2x \) est le début de \( (x-1)^2=x^2-2x+1 \), donc \( x^2-2x=(x-1)^2-1 \) :

\[ g(x)=(x-1)^2-1+4 \qquad\text{puis}\qquad g(x)=(x-1)^2+3 \]

Ensuite, b. \( g(x)=19 \iff (x-1)^2+3=19 \iff (x-1)^2=16 \iff x-1=4 \) ou \( x-1=-4 \). Par ailleurs, les antécédents de 19 par \( g \) sont \( -3 \) et 5.

2. a. On met \( -3 \) en facteur, puis on reconnaît le début de \( (x-1)^2 \) :

De plus :\[ \begin{aligned} -3x^2+6x+45 &= -3(x^2-2x-15) \\ &= -3\left[(x-1)^2-1-15\right] \\ &= -3\left[(x-1)^2-4^2\right] \end{aligned} \]

Par ailleurs, avec l’identité \( A^2-B^2=(A-B)(A+B) \) : \( -3x^2+6x+45=-3(x-1-4)(x-1+4)=-3(x-5)(x+3) \).

Ainsi, b. On étudie le signe de la différence : \( f(x)-g(x)=-2x^2+4x+49-x^2+2x-4=-3x^2+6x+45=-3(x-5)(x+3) \).

Suite du corrigé corrigé fonctions usuelles

Donc, Ce trinôme a pour racines \( -3 \) et 5 et un coefficient \( -3\lt 0 \) : il est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.

• Sur \( ]-3\,;5[ \) : \( f(x)-g(x)\gt 0 \), \( C_f \) est au-dessus de \( C_g \).
• Sur \( ]-\infty\,;-3[ \) et sur \( ]5\,;+\infty[ \) : \( C_f \) est en dessous de \( C_g \).
• En \( -3 \) et en 5 les courbes se coupent, aux points \( C(-3\,;19) \) et \( D(5\,;19) \) (d’après 1. b., \( g(-3)=g(5)=19 \)).

Également, 3. Le parterre est la zone entre les deux courbes, de \( C \) à \( D \).

• A est le sommet de \( C_g \) : d’après 1. a., \( A(1\,;3) \).
• B est le sommet de \( C_f \) : \( f(x)=-2(x^2-2x)+49=-2\left[(x-1)^2-1\right]+49=-2(x-1)^2+51 \), donc \( B(1\,;51) \).
• A et B ont la même abscisse : \( AB=51-3=48 \). C et D ont la même ordonnée : \( CD=5-(-3)=8 \).

Le parterre mesure donc 48 m de long (de A à B) et 8 m de large (de C à D).