Corrigé des 30 exercices sur les variations et limites de suites en 1ère à télécharger en PDF

Si \(u_n=f(n)\) et si \(f\) est croissante (resp. décroissante) sur \([a\,;\,+\infty[\), alors \((u_n)\) est croissante (resp. décroissante) à partir du rang \(a\).

1) \(f(x)=4x-7\) sur \([1\,;\,+\infty[\) : fonction affine de coefficient \(4\gt 0\), donc croissante. Ensuite, la suite est croissante (c’est même vrai dès \(n=0\) : \(u_{n+1}-u_n=4\)).

Également, 2) \(f(x)=\sqrt{x}\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \((u_n)\) est croissante.

3) \(f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\) est croissante sur \([2\,;\,+\infty[\) : \((u_n)\) est croissante à partir du rang 2. Par ailleurs, elle n’est pas croissante dès le départ : \(u_0=5\), \(u_1=2\), \(u_2=1\), \(u_3=2\).

4) \(f(x)=\dfrac{1}{4x}\) sur \([1\,;\,+\infty[\) : la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on multiplie par \(\frac{1}{4}\gt 0\), donc \(f\) est décroissante. Puis la suite (définie pour \(n\geqslant 1\)) est décroissante.

1) \(f(x)=x^2-13x+36\) : parabole tournée vers le haut, de sommet d’abscisse \(\dfrac{13}{2}=6{,}5\). \(f\) est croissante sur \([6{,}5\,;\,+\infty[\), donc \((u_n)\) est croissante à partir du rang 7. Ensuite, on peut préciser avec la différence :

\[ u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-13(n+1)+36-(n^2-13n+36)=2n-12 \]

\(2n-12\geqslant 0\iff n\geqslant 6\) : \(u_6=u_7=-6\) et la suite est croissante à partir du rang 6 (décroissante de \(u_0\) à \(u_6\)).

De plus, 2) \(f(x)=\dfrac{x+2}{3x+2}\) sur \([1\,;\,+\infty[\). Avec la formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[ f^{\prime}(x)=\frac{1\times(3x+2)-3(x+2)}{(3x+2)^2}=\frac{-4}{(3x+2)^2}\lt 0 \]

\(f\) est décroissante, donc \((u_n)\) est décroissante (et même dès \(n=0\) : \(u_0=1\gt u_1=\frac{3}{5}\)).

Pour montrer qu’une suite n’est pas monotone, un contre-exemple suffit : trois termes consécutifs qui montent puis descendent (ou l’inverse).

Ainsi, 1) \(u_n=3n^2-3^n\) (l’énoncé porte une barre parasite après l’exposant) : \(u_0=0-1=-1\), \(u_1=3-3=0\), \(u_2=12-9=3\), \(u_3=27-27=0\). Puis on a \(u_1\lt u_2\) mais \(u_2\gt u_3\) : pas monotone.

2) \(u_0=1\), \(u_1=(1-1)^2=0\), \(u_2=(0-1)^2=1\). \(u_0\gt u_1\) mais \(u_1\lt u_2\) : pas monotone (la suite alterne entre 1 et 0).

Ainsi, 3) \(u_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\) : \(u_0=1\), \(u_1=-\dfrac{1}{2}\), \(u_2=\dfrac{1}{4}\). De plus, les termes changent de signe à chaque rang : \(u_0\gt u_1\) et \(u_1\lt u_2\), pas monotone.

A. Aussi, Trois méthodes.

1) \(u_n=\sqrt{n}+2\).

• Différence : \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\gt 0\) car la racine carrée est strictement croissante.
• Également, Fonction : \(f(x)=\sqrt{x}+2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Quotient (termes positifs) : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{n+1}+2}{\sqrt{n}+2}\gt 1\) car le numérateur est plus grand que le dénominateur.

Ensuite, la suite est croissante.

2) \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\).

• Différence : \(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\lt 0\).
• Ainsi, Fonction : \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) est décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Quotient : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{n+2}\lt 1\), termes positifs.

La suite est décroissante.

3) \(u_n=3n^2+n\).

• Également, Différence : \(3(n+1)^2+(n+1)-3n^2-n=6n+4\gt 0\).
• Fonction : \(f(x)=3x^2+x\), parabole de sommet d’abscisse \(-\frac{1}{6}\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Opérations : \((3n^2)\) et \((n)\) sont croissantes, leur somme l’est aussi. (Le quotient n’est pas utilisable dès \(n=0\) car \(u_0=0\).)

Aussi, la suite est croissante.

B. Méthode adaptée.

1) \(u_n=3n^2\) : \(u_{n+1}-u_n=3(2n+1)\gt 0\), croissante.

Ainsi, 2) \(u_n=\dfrac{2n+5}{n+1}=\dfrac{2(n+1)+3}{n+1}=2+\dfrac{3}{n+1}\) ; \(\dfrac{3}{n+1}\) diminue quand \(n\) augmente : décroissante.

3) \(u_n=\sqrt{n+1}\) : fonction \(x\mapsto\sqrt{x+1}\) croissante, croissante.

Aussi, 4) \(u_n=\dfrac{0{,}5^n}{n}\), \(n\geqslant 1\), termes strictement positifs : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{0{,}5^{n+1}}{n+1}\times\dfrac{n}{0{,}5^n}=0{,}5\times\dfrac{n}{n+1}\lt 1\), décroissante.

A.

Enfin, 1) \(u_n=n-n^2\) : \(u_{n+1}-u_n=(n+1)-(n+1)^2-n+n^2=-2n\leqslant 0\). Ensuite, la suite est décroissante (\(u_0=u_1=0\), puis strictement décroissante).

Ainsi, 2) \(u_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}\) : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}\gt 0\), croissante.

3) \(u_n=3n\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), \(n\geqslant 1\), termes positifs :

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3(n+1)}{3n}\times\frac{1}{3}=\frac{n+1}{3n} \]

Également, Or \(n+1\lt 3n\iff n\gt\frac{1}{2}\), vrai pour \(n\geqslant 1\) : le quotient est inférieur à 1, décroissante (\(u_1=1\), \(u_2=\frac{2}{3}\), \(u_3=\frac{1}{3}\)…).

B.

Par ailleurs, 1) \(u_{n+1}=(u_n+1)^2\) : \(u_{n+1}-u_n=u_n^2+u_n+1=\left(u_n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\gt 0\), croissante.

2) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n+2}\). Aussi, Par récurrence immédiate, tous les termes sont strictement positifs. Alors \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{n+2}\leqslant\dfrac{1}{2}\lt 1\) : décroissante.

Également, 3) \(u_n=\dfrac{2^{2n+2}}{3^n}=\dfrac{4\times4^n}{3^n}=4\times\left(\dfrac{4}{3}\right)^n\) : suite géométrique de premier terme \(4\gt 0\) et de raison \(\dfrac{4}{3}\gt 1\), croissante.

Aussi, 1) \(u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{2^n}\) : \(u_0=0\), \(u_1=\frac{1}{2}\), \(u_2=\frac{\sqrt{2}}{4}\approx0{,}35\). Par ailleurs, pour \(n\geqslant 1\), les termes sont positifs et :

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+1}{n}}\leqslant\frac{1}{2}\sqrt{2}\lt 1 \]

car \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\leqslant 2\). Puis la suite est décroissante à partir du rang 1 (elle monte seulement de \(u_0\) à \(u_1\)).

Aussi, 2) Il faut lire \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n^2}\) avec \(u_0=4\). Si \(u_n\gt 0\), alors \(u_{n+1}\gt 0\) : tous les termes sont positifs. Puis :

\[ u_{n+1}-u_n=\frac{u_n-u_n(1+u_n^2)}{1+u_n^2}=\frac{-u_n^3}{1+u_n^2}\lt 0 \]

Enfin, la suite est décroissante.

3) \(u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}\), \(n\geqslant 1\). Quand \(n\) augmente, \(n(n+1)\) augmente, donc \(\dfrac{1}{n(n+1)}\) diminue et son opposé augmente. Par ailleurs, Par le calcul : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}\gt 0\). Croissante.

Factorielle. \(u_n=n!\gt 0\) et \(u_{n+1}=(n+1)\times u_n\), donc \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=n+1\geqslant 2\gt 1\) : la suite est strictement croissante (1, 2, 6, 24, 120…).

Donc, 1) Diminuer de \(0{,}003\,\%\), c’est multiplier par \(1-\dfrac{0{,}003}{100}=0{,}99997\) : \(m_{t+1}=0{,}99997\,m_t\).

2) On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre : \((m_t)\) est une suite géométrique de raison \(q=0{,}99997\) et de premier terme \(m_0=1\). Donc \(m_t=0{,}99997^t\) (en g).

3) \(m_{t+1}-m_t=m_t(0{,}99997-1)=-0{,}00003\,m_t\lt 0\) car \(m_t\gt 0\) : la suite est décroissante (premier terme positif et raison comprise entre 0 et 1).

4) Au tableur : en A2 l’année 0, en B2 la masse 1 ; en A3 =A2+1 et en B3 =B2*0,99997, puis on recopie vers le bas (sur plus de 23 000 lignes) et on cherche la première masse inférieure à 0,5. Ensuite, on trouve :

\[ m_{23\,104}\approx 0{,}500\,008\gt 0{,}5 \qquad m_{23\,105}\approx 0{,}499\,993\lt 0{,}5 \]

Par ailleurs, la masse est divisée par deux au bout de 23 105 ans environ (avec ce modèle ; la valeur mesurée pour le plutonium 239 est d’environ 24 000 ans).

Par ailleurs, pour une suite arithmétique, \(u_{n+1}-u_n=r\) : elle est croissante si \(r\gt 0\), décroissante si \(r\lt 0\), constante si \(r=0\). Puis le premier terme ne joue aucun rôle.

Par ailleurs, 1) \(r=0{,}4\gt 0\) : croissante.

2) \(r=-2\lt 0\) : décroissante.

3) \(r=-2\lt 0\) : décroissante (le premier terme négatif ne change rien).

Par ailleurs, 4) \(r=\dfrac{1}{4}\gt 0\) : croissante.

Ensuite, pour \(v_n=v_0q^n\) : \(v_{n+1}-v_n=v_0q^n(q-1)\). De plus, le sens dépend du signe de \(v_0\) et de la position de \(q\) par rapport à 0 et 1.

1) \(v_0=-5\), \(q=\dfrac{1}{4}\) : \(v_{n+1}-v_n=-5\times\left(\frac{1}{4}\right)^n\times\left(-\frac{3}{4}\right)\gt 0\) : croissante (\(-5\), \(-1{,}25\), \(-0{,}3125\)… les termes remontent vers 0).

De plus, 2) \(v_0=\dfrac{1}{5}\gt 0\), \(q=6\gt 1\) : \(v_{n+1}-v_n=\frac{1}{5}\times6^n\times5\gt 0\) : croissante.

3) \(v_0=5\), \(q=-\dfrac{1}{5}\lt 0\) : les termes changent de signe (\(5\), \(-1\), \(\frac{1}{5}\)…) : pas monotone.

Ensuite, 4) \(v_0=-\dfrac{1}{2}\), \(q=-\dfrac{1}{2}\lt 0\) : \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(-\frac{1}{8}\)… : pas monotone.

1) Les points montent et descendent : 1 ; environ 0,7 ; 0 ; environ \(-0{,}7\) ; \(-1\) ; \(-0{,}7\) ; 0 ; 0,7 ; 1 ; puis le motif recommence tous les 8 rangs (ces valeurs sont celles de \(\cos\frac{n\pi}{4}\)). Ensuite, la suite n’est pas monotone et, comme elle repasse indéfiniment par 1 et par \(-1\), elle n’a pas de limite.

2) Les points montent à chaque rang, de plus en plus lentement : la suite semble croissante. Donc, Ses termes s’approchent de la droite d’équation \(y=3\) sans la dépasser : on conjecture que la suite converge vers 3.

Aussi, on affiche un tableau de valeurs (mode suite ou tableur de la calculatrice) pour de grandes valeurs de \(n\) et on observe le comportement des termes.

Première partie.

1) Les termes deviennent aussi grands que l’on veut : on conjecture \(\lim u_n=+\infty\) (le terme \(2n^2\) l’emporte).

2) Les termes sont négatifs et de plus en plus grands en valeur absolue : on conjecture \(\lim u_n=-\infty\) (le terme \(-3n^3\) l’emporte).

De plus, Seconde partie.

• Donc, 1) les termes se rapprochent de 2 : \(\lim u_n=2\) (pour \(n\) grand, \(\frac{2n+1}{n-1}\) se comporte comme \(\frac{2n}{n}=2\)) ;
• 2) les termes se rapprochent de 0 : \(\lim u_n=0\) (le dénominateur \(n^2\) grandit bien plus vite que le numérateur) ;
• Aussi, 3) les termes dépassent tout nombre : \(\lim u_n=+\infty\) (comportement proche de \(\frac{2n^2}{n}=2n\)) ;
• 4) les termes se rapprochent de \(1{,}666\ldots\) : \(\lim u_n=\frac{5}{3}\) (comportement proche de \(\frac{5n}{3n}\)).

Par ailleurs, on calcule les premiers termes à la calculatrice (mode « Suite » ou touche Ans).

1) \(u_0=4\), \(u_1=8\), \(u_2=16\), \(u_3=32\), …, \(u_{10}=4\,096\), \(u_{20}=4\,194\,304\). Chaque terme est le double du précédent : les termes deviennent aussi grands que l’on veut. Par ailleurs, on conjecture \(\lim u_n=+\infty\).

2) \(u_0=2\), \(u_1=-1\), \(u_2=0{,}5\), \(u_3=-0{,}25\), \(u_4=0{,}125\), …, \(u_{10}\approx0{,}00195\). Puis les termes changent de signe mais se rapprochent de 0. Ensuite, on conjecture \(\lim u_n=0\).

3) \(u_0=1\), \(u_1=\frac{5}{1}=5\), \(u_2=\frac{5}{5}=1\), \(u_3=5\), … Les termes valent alternativement 1 et 5 : ils ne se rapprochent d’aucun nombre. Puis on conjecture que la suite n’a pas de limite.

1) Quelques valeurs à la calculatrice :

• a) \((-4)^n\) : \(1\,;\,-4\,;\,16\,;\,-64\,;\,256\ldots\) Les termes changent de signe et leur valeur absolue grandit sans limite : pas de limite.
• b) \(3^n\) : \(1\,;\,3\,;\,9\,;\,27\ldots\) et \(3^{20}\approx3{,}5\times10^9\) : \(\lim 3^n=+\infty\).
• c) \(0{,}6^n\) : \(1\,;\,0{,}6\,;\,0{,}36\,;\,0{,}216\ldots\) et \(0{,}6^{20}\approx0{,}000037\) : \(\lim 0{,}6^n=0\).
• d) \((-0{,}4)^n\) : \(1\,;\,-0{,}4\,;\,0{,}16\,;\,-0{,}064\ldots\) Les termes changent de signe mais se rapprochent de 0 : \(\lim(-0{,}4)^n=0\).
• e) \(1^n=1\) pour tout \(n\) : suite constante, \(\lim 1^n=1\).
• f) \((-1)^n\) vaut alternativement \(1\) et \(-1\) : pas de limite.

2) Conjecture générale sur \((q^n)\) :

• si \(q\gt1\) : \(\lim q^n=+\infty\) ;
• si \(q=1\) : \(q^n=1\), la limite est 1 ;
• si \(-1\lt q\lt1\) : \(\lim q^n=0\) ;
• si \(q\leqslant-1\) : la suite \((q^n)\) n’a pas de limite.

1) \(u_0=3\) et \(v_0=4\).

\[ \begin{aligned} u_1 &= \frac{3\times3+4\times4}{7}=\frac{25}{7} & v_1 &= \frac{4\times3+3\times4}{7}=\frac{24}{7} \\ u_2 &= \frac{3\times\frac{25}{7}+4\times\frac{24}{7}}{7}=\frac{75+96}{49}=\frac{171}{49} & v_2 &= \frac{4\times\frac{25}{7}+3\times\frac{24}{7}}{7}=\frac{100+72}{49}=\frac{172}{49} \end{aligned} \]

2) Pour tout entier naturel \(n\) :

\[ w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\frac{3u_n+4v_n+4u_n+3v_n}{7}=\frac{7u_n+7v_n}{7}=u_n+v_n=w_n \]

Donc \(w_{n+1}=w_n\) pour tout \(n\) : la suite \((w_n)\) est constante, égale à \(w_0=3+4=7\). Vérification : \(u_1+v_1=\frac{49}{7}=7\) et \(u_2+v_2=\frac{343}{49}=7\).

On note \(h_0\) la hauteur initiale (en cm) d’où la balle est lâchée.

1) Chaque rebond a une hauteur égale à 80 % du précédent : \(h_{n+1}=0{,}8\,h_n\). De plus, on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre : \((h_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=0{,}8\), et \(h_n=h_0\times0{,}8^n\).

2) \(h_{n+1}-h_n=0{,}8h_n-h_n=-0{,}2\,h_n\lt0\) car les hauteurs sont positives. Ensuite, la suite est strictement décroissante (ce qui est cohérent : premier terme positif et raison comprise entre 0 et 1).

3) On cherche le plus petit \(n\) tel que \(h_n\lt\frac{h_0}{5}\), c’est-à-dire \(0{,}8^n\lt0{,}2\). À la calculatrice :

\(0{,}8^7\approx0{,}21\gt0{,}2\) et \(0{,}8^8\approx0{,}17\lt0{,}2\). Comme la suite est décroissante, tous les rebonds suivants restent sous ce seuil.

On admet que les termes sont bien définis (on peut montrer que \(u_n\gt1\) pour tout \(n\), voir la remarque en 3).

1) On calcule séparément le numérateur et le dénominateur de \(v_{n+1}\) :

\[ \begin{aligned} u_{n+1}+4 &= \frac{6u_n+4+4(u_n+9)}{u_n+9}=\frac{10u_n+40}{u_n+9}=\frac{10(u_n+4)}{u_n+9} \\ u_{n+1}-1 &= \frac{6u_n+4-(u_n+9)}{u_n+9}=\frac{5u_n-5}{u_n+9}=\frac{5(u_n-1)}{u_n+9} \end{aligned} \]

Donc \(v_{n+1}=\frac{10(u_n+4)}{5(u_n-1)}=2\times\frac{u_n+4}{u_n-1}=2v_n\).

La suite \(v\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(v_0=\frac{5+4}{5-1}=\frac{9}{4}\).

2) \(v_n=\frac{9}{4}\times2^n\).

3) De \(v_n=\frac{u_n+4}{u_n-1}\), on tire \(v_n(u_n-1)=u_n+4\), soit \(u_n(v_n-1)=v_n+4\), donc :

\[ u_n=\frac{v_n+4}{v_n-1}=\frac{\frac{9}{4}\times2^n+4}{\frac{9}{4}\times2^n-1}=\frac{9\times2^n+16}{9\times2^n-4} \]

Vérification : \(u_0=\frac{25}{5}=5\) et \(u_1=\frac{34}{14}=\frac{17}{7}\), ce que donne aussi la relation de récurrence. (Remarque : \(v_n\geqslant\frac94\gt1\), donc \(v_n-1\neq0\).)

4) On écrit \(u_n=\frac{(9\times2^n-4)+20}{9\times2^n-4}=1+\frac{20}{9\times2^n-4}\). Quand \(n\) augmente, \(9\times2^n-4\) augmente et reste positif, donc \(\frac{20}{9\times2^n-4}\) diminue. Par ailleurs, la suite \((u_n)\) est strictement décroissante (\(u_0=5\), \(u_1\approx2{,}43\), \(u_2=1{,}625\)…).

1) À la calculatrice : \(u_0=1\), \(u_1=1{,}8\), \(u_2\approx2{,}143\), \(u_3\approx2{,}333\), \(u_4\approx2{,}455\), \(u_5\approx2{,}538\), \(u_6=2{,}6\)… On conjecture que \((u_n)\) est croissante et que sa limite est 3.

2) et 3) Pour tout \(n\) (les termes sont différents de 3) :

\[ v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}-3}=\frac{1}{\frac{9}{6-u_n}-3}=\frac{1}{\frac{9-18+3u_n}{6-u_n}}=\frac{6-u_n}{3(u_n-3)} \]
\[ v_{n+1}-v_n=\frac{6-u_n}{3(u_n-3)}-\frac{3}{3(u_n-3)}=\frac{3-u_n}{3(u_n-3)}=-\frac{1}{3} \]

La différence est constante : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(-\frac13\), de premier terme \(v_0=\frac{1}{1-3}=-\frac12\).

4) \(v_n=v_0+nr=-\frac12-\frac{n}{3}=-\frac{2n+3}{6}\).

Puis \(u_n-3=\frac{1}{v_n}\), donc \(u_n=3+\frac{1}{v_n}=3-\frac{6}{2n+3}\). Vérification : \(u_0=3-2=1\), \(u_1=3-\frac65=1{,}8\).

5) Quand \(n\) augmente, \(2n+3\) augmente, donc \(\frac{6}{2n+3}\) diminue et \(u_n=3-\frac{6}{2n+3}\) augmente. Puis on peut aussi calculer :

\[ u_{n+1}-u_n=\frac{6}{2n+3}-\frac{6}{2n+5}=\frac{12}{(2n+3)(2n+5)}\gt0 \]

La suite \((u_n)\) est strictement croissante, ce qui confirme la conjecture ; et comme \(\frac{6}{2n+3}\) se rapproche de 0, les termes se rapprochent bien de 3.

1) a) Si \(n\) est pair, \((-1)^n=1\) : \(w_n=\frac{n+2}{n+2}=1\).

b) Si \(n\) est impair, \((-1)^n=-1\) : \(w_n=\frac{n-2}{n+2}\).

2) a) \(2n\) est pair, donc \(p_n=w_{2n}=1\) pour tout \(n\) : la suite \((p_n)\) est constante égale à 1.

b) \(2n+1\) est impair, donc \(i_n=w_{2n+1}=\frac{2n+1-2}{2n+1+2}=\frac{2n-1}{2n+3}\) et \(i_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+3}=\frac{2n+1}{2n+5}\).

\[ i_{n+1}-i_n=\frac{(2n+1)(2n+3)-(2n-1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{(4n^2+8n+3)-(4n^2+8n-5)}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{8}{(2n+5)(2n+3)} \]

Ce quotient est strictement positif : la suite \((i_n)\) est strictement croissante.

3) \(w_0=1\), \(w_1=\frac{1-2}{3}=-\frac13\), \(w_2=1\). Ensuite, on a \(w_1\lt w_0\) mais \(w_2\gt w_1\) : la suite \((w_n)\) descend puis remonte. Puis elle n’est pas monotone (elle vaut 1 aux rangs pairs et reste strictement inférieure à 1 aux rangs impairs, car \(n-2\lt n+2\)).

1) \(u_1=1\), \(u_2=1+\frac12=\frac32\), \(u_3=\frac32+\frac13=\frac{11}{6}\), \(u_4=\frac{11}{6}+\frac14=\frac{22+3}{12}=\frac{25}{12}\).

2) \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}\gt0\) : la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Algorithme en Python qui affiche les \(n\) premiers termes :

def termes(n):
    u=0
    for k in range(1,n+1):
        u=u+1/k
        print(k,u)

4) On obtient par exemple \(u_{10}\approx2{,}93\), \(u_{100}\approx5{,}19\), \(u_{1000}\approx7{,}49\), \(u_{1\,000\,000}\approx14{,}39\). De plus, la suite croît très lentement, mais elle dépasse toujours un nouveau palier si l’on prend \(n\) assez grand. Ensuite, on conjecture \(\lim u_n=+\infty\).

5) Comme la suite est croissante, dès que \(u_N\geqslant10^3\), on a \(u_n\geqslant10^3\) pour tout \(n\geqslant N\). Par ailleurs, il suffit donc de chercher le premier rang où \(u_n\geqslant1\,000\) :

def seuil():
    n=1
    u=1
    while u<1000:
        n=n+1
        u=u+1/n
    return n

Attention : cet algorithme est correct, mais il ne s’arrêtera pas en pratique. Puis un million de termes ne donne qu’environ 14,4 ; pour atteindre 1 000, il faut un nombre de termes qui s’écrit avec plus de 400 chiffres, ce qu’aucun ordinateur ne peut calculer. Ensuite, on peut le tester avec un seuil plus petit (par exemple 10, atteint pour \(N=12\,367\)).

1) \(u_{n+1}-u_n=-3\lt0\) pour tout \(n\) : la suite est strictement décroissante (c’est une suite arithmétique de raison \(-3\)).

2) \(u_{n+1}-u_n=4^{n+1}-4^n=4^n(4-1)=3\times4^n\gt0\) : la suite est strictement croissante.

3) \(u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{n^2}\lt0\) : la suite est strictement décroissante.

Remarque : telle qu’elle est écrite, la relation ne permet pas de calculer \(u_1\) à partir de \(u_0\) (il faudrait diviser par \(0^2\)) ; elle a un sens pour \(n\geqslant1\), et la suite est décroissante à partir du rang 1. Avec l’énoncé souvent rencontré \(u_{n+1}=u_n-\frac{1}{(n+1)^2}\), la différence vaut \(-\frac{1}{(n+1)^2}\lt0\) et la conclusion est la même.

1) \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+2(n+1)-(n^2+2n)=n^2+2n+1+2n+2-n^2-2n=2n+3\gt0\) : la suite est strictement croissante.

2) \(u_{n+1}-u_n=\left(u_n+\frac12\right)^2-u_n=u_n^2+u_n+\frac14-u_n=u_n^2+\frac14\gt0\) : la suite est strictement croissante.

3) \(u_{n+1}-u_n=3n\geqslant0\) pour tout \(n\) : la suite est croissante. L’égalité n’a lieu que pour \(n=0\) (\(u_1=u_0=0\)) ; ensuite \(u_2=3\), \(u_3=9\)… elle est strictement croissante à partir du rang 1.

Cette méthode ne s’applique qu’à une suite à termes strictement positifs : on le vérifie d’abord.

1) Pour \(n\geqslant1\), \(v_n=\frac{2^n}{n}\gt0\) et :

\[ \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{2^{n+1}}{n+1}\times\frac{n}{2^n}=\frac{2n}{n+1} \]

\(\frac{2n}{n+1}\geqslant1\) équivaut à \(2n\geqslant n+1\), soit \(n\geqslant1\). Donc \(v_{n+1}\geqslant v_n\) pour tout \(n\geqslant1\) : la suite est croissante (avec égalité seulement pour \(n=1\) : \(v_1=v_2=2\) ; elle est strictement croissante à partir du rang 2).

2) Les termes sont strictement positifs : \(v_0=3\gt0\), et si \(v_n\gt0\) alors \(v_{n+1}=3v_n^3+v_n\gt0\). Donc :

\[ \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{3v_n^3+v_n}{v_n}=3v_n^2+1\gt1 \]

La suite est strictement croissante.

3) \(v_0=1\gt0\) et tous les termes sont positifs ; \(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac12\lt1\) : la suite est strictement décroissante (suite géométrique de raison \(\frac12\)).

Les trois suites sont à termes strictement positifs.

1) \(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{5}{8^{n+1}}\times\frac{8^n}{5}=\frac18\lt1\) : la suite est strictement décroissante.

2) \(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac12\lt1\) : la suite est strictement décroissante.

3) Pour \(n\geqslant1\), \(v_n=\frac{2n}{4^n}\gt0\) et :

\[ \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{2(n+1)}{4^{n+1}}\times\frac{4^n}{2n}=\frac{n+1}{4n} \]

Or \(n+1\leqslant2n\lt4n\) pour \(n\geqslant1\), donc \(\frac{n+1}{4n}\lt1\) : la suite est strictement décroissante.

Sur le dessin, chaque table a 2 chaises sur chaque grand côté, et la grande table a 1 chaise à chaque bout.

1. a. \(C_1=2+2+2=6\) ; b. \(C_3=6+6+2=14\) (ce que l’on compte sur la figure) ; c. \(C_4=8+8+2=18\) ; d. \(C_5=10+10+2=22\).

2. Avec \(n\) tables, il y a \(2n\) chaises le long du côté du haut, \(2n\) le long du côté du bas et 2 aux extrémités :

\[ C_n=2n+2n+2=4n+2 \]

Chaque table ajoutée apporte 4 chaises : \((C_n)\) est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme \(C_1=6\).

3. \(C_9=4\times9+2=38\) : avec 9 tables placées côte à côte, on peut asseoir 38 personnes.

a. La variable v part de \(-1\), puis la boucle remplace \(n\) fois v par v*v-100*v (c’est-à-dire \(v^2-100v\)). Puis la fonction calcule donc le terme \(v_n\) de la suite définie par :

\[ v_0=-1 \quad\text{et}\quad v_{n+1}=v_n^2-100\,v_n \text{ pour tout entier naturel } n \]

b. \(v_1=(-1)^2-100\times(-1)=1+100=101\) ; \(v_2=101^2-100\times101=101\times(101-100)=101\). De plus, L’exécution donne \(v(1)=101\), \(v(2)=101\) et \(v(10)=101\).

On conjecture que la suite est constante égale à 101 à partir du rang 1. C’est bien le cas : si \(v_n=101\), alors \(v_{n+1}=101\times(101-100)=101\).

a. On compte les segments : le motif n° 1 (un triangle) en a 3, le motif n° 2 (deux triangles) en a 5, le motif n° 3 (trois triangles) en a 7. Donc \(s(1)=3\), \(s(2)=5\), \(s(3)=7\).

b. Pour passer d’un motif au suivant, on accole un nouveau triangle (alternativement pointe en bas et pointe en haut) : il partage un côté avec le motif précédent et ajoute 2 segments. Ensuite, le motif n° 4 compte 4 triangles et \(s(4)=7+2=9\) segments.

c. En partant de \(s(0)=1\) et en ajoutant 2 segments à chaque étape, \((s(n))\) est une suite arithmétique de raison 2 : \(s(n)=1+2n\). Par ailleurs, on retrouve \(s(1)=3\), \(s(2)=5\), \(s(3)=7\), \(s(4)=9\). Donc \(s(100)=1+2\times100=201\).

Sur l’axe vertical, un grand carreau vaut 0,5 et il est partagé en deux : un petit carreau représente 0,25. Puis on lit :

a. Le point d’abscisse 4 a pour ordonnée 1,5 : \(u_4=1{,}5\).

b. Oui, elle peut l’être. D’un terme au suivant, on monte toujours d’un petit carreau : \(u_{n+1}-u_n=0{,}25\) pour les six termes représentés. Ensuite, les points sont alignés, ce qui est la représentation d’une suite arithmétique. Puis elle pourrait être la suite arithmétique de premier terme \(u_0=0{,}5\) et de raison \(r=0{,}25\), soit \(u_n=0{,}5+0{,}25n\). (On ne peut pas l’affirmer avec certitude : le graphique ne montre que les six premiers termes.)

On note \(x\) le nombre choisi et on écrit le résultat de chaque programme. De plus, une fonction est affine si elle s’écrit \(f(x)=ax+b\).

• Programme 1 : \(x\to-5x\to-5x+3\). \(f_1(x)=-5x+3\) : affine (\(a=-5\), \(b=3\)).
• Programme 2 : \(x\to\frac{x}{2}\to\frac{x}{2}-6\). \(f_2(x)=0{,}5x-6\) : affine (\(a=0{,}5\), \(b=-6\)).
• Programme 3 : \(x\to x+3\to6(x+3)\). \(f_3(x)=6x+18\) : affine (\(a=6\), \(b=18\)).
• Programme 4 : \(x\to x^2\to x^2+3\). \(f_4(x)=x^2+3\) n’est pas affine : à cause du carré, l’accroissement n’est pas proportionnel (\(f_4(0)=3\), \(f_4(1)=4\), \(f_4(2)=7\) : les écarts 1 puis 3 ne sont pas égaux).

On compte les boutons : motif n° 0 : 1 ; motif n° 1 : 4 ; motif n° 2 : 7 ; motif n° 3 : 10.

Chaque motif est formé d’un bouton central et de trois branches (deux en haut, une en bas). Ensuite, dans le motif n° \(n\), chaque branche compte \(n\) boutons. Par ailleurs, pour passer d’un motif au suivant, on ajoute un bouton au bout de chaque branche, soit 3 boutons.

Le nombre de boutons \(b_n\) du motif n° \(n\) forme donc une suite arithmétique de premier terme \(b_0=1\) et de raison 3 :

\[ b_n=1+3n \qquad b_{50}=1+3\times50=151 \]

a. Les 10 héqats d’orge sont entièrement partagés entre les 10 hommes : la somme des dix parts est égale au total, donc \(P_1+P_2+\dots+P_{10}=10\).

b. On range les parts de la plus petite à la plus grande. Deux voisins diffèrent de \(\frac18\) de héqat : chaque part s’obtient en ajoutant \(\frac18\) à la précédente. Puis les parts forment une suite arithmétique de raison \(\frac18\) :

\[ P_2=P_1+\frac18,\quad P_3=P_1+\frac28,\quad \dots,\quad P_{10}=P_1+\frac98 \]

De façon générale, \(P_k=P_1+\frac{k-1}{8}\).

c. En remplaçant dans la somme, \(P_1\) apparaît 10 fois :

\[ P_1+\left(P_1+\frac18\right)+\dots+\left(P_1+\frac98\right)=10P_1+\left(\frac18+\frac28+\dots+\frac98\right)=10 \]

d. \(\frac18+\frac28+\dots+\frac98=\frac{1+2+\dots+9}{8}=\frac{45}{8}\). Donc :

\[ 10P_1=10-\frac{45}{8}=\frac{35}{8} \qquad\text{donc}\qquad P_1=\frac{35}{80}=\frac{7}{16} \]

Les parts, de \(\frac{2}{16}\) en \(\frac{2}{16}\) (car \(\frac18=\frac{2}{16}\)), sont :

Vérification : \(\frac{7+9+11+\dots+25}{16}=\frac{160}{16}=10\) héqats.