Angles orientés et trigonométrie en première : corrigé des exercices 1 à 10

Deux réels ont le même point-image sur le cercle trigonométrique lorsqu’ils diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) : les réels associés à \(x\) sont les \(x + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). On ajoute ou on retranche donc \(2\pi\) (un ou plusieurs tours).

Première partie (quelques exemples, en prenant \(k = 1\), \(k = -1\) et \(k = 2\)) :

• 1) \(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{8\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3} – 2\pi = -\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{14\pi}{3}\).
• 2) \(-\dfrac{\pi}{5} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{5}\), \(-\dfrac{\pi}{5} – 2\pi = -\dfrac{11\pi}{5}\), \(-\dfrac{\pi}{5} + 4\pi = \dfrac{19\pi}{5}\).
• 3) \(-\dfrac{27\pi}{4} + 6\pi = -\dfrac{3\pi}{4}\), \(-\dfrac{27\pi}{4} + 8\pi = \dfrac{5\pi}{4}\), \(-\dfrac{27\pi}{4} + 4\pi = -\dfrac{11\pi}{4}\).
• 4) \(\dfrac{3\pi}{10} + 2\pi = \dfrac{23\pi}{10}\), \(\dfrac{3\pi}{10} – 2\pi = -\dfrac{17\pi}{10}\), \(\dfrac{3\pi}{10} + 4\pi = \dfrac{43\pi}{10}\).

Seconde partie (tous les réels) :

• 1) Les réels qui ont le même point-image que \(\dfrac{\pi}{3}\) sont les nombres \(\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
• 2) Ceux qui ont le même point-image que \(-\dfrac{3\pi}{5}\) sont les nombres \(-\dfrac{3\pi}{5} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Attention : \(-\dfrac{\pi}{3}\) n’a pas le même point-image que \(\dfrac{\pi}{3}\) (c’est le point symétrique par rapport à l’axe des abscisses).

1) Comme \(\pi\) radians correspondent à \(180^\circ\), on remplace \(\pi\) par \(180^\circ\) :

\[ \begin{aligned} \frac{5\pi}{6} &\to \frac{5 \times 180}{6} = 150^\circ & \frac{3\pi}{4} &\to \frac{3 \times 180}{4} = 135^\circ & \frac{\pi}{5} &\to \frac{180}{5} = 36^\circ \\ \frac{5\pi}{8} &\to \frac{5 \times 180}{8} = 112{,}5^\circ & \frac{2\pi}{3} &\to \frac{2 \times 180}{3} = 120^\circ & & \end{aligned} \]

2) Tous ces nombres sont entre \(0\) et \(\pi\) : leurs points-images sont sur le demi-cercle supérieur. On part du point \(I\) (angle nul) et on tourne dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre) de l’angle trouvé. \(\frac{\pi}{5}\) est dans le premier quart de cercle, les quatre autres dans le deuxième.

1) Même méthode : \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\).

\[ \begin{aligned} \frac{\pi}{3} &\to 60^\circ & \frac{3\pi}{10} &\to \frac{3 \times 180}{10} = 54^\circ & \frac{2\pi}{5} &\to \frac{2 \times 180}{5} = 72^\circ \\ \frac{7\pi}{8} &\to \frac{7 \times 180}{8} = 157{,}5^\circ & \frac{\pi}{4} &\to 45^\circ & & \end{aligned} \]

2) Les points \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{10}\), \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{5}\) sont dans le premier quart de cercle, rangés dans cet ordre (45°, 54°, 60°, 72°) ; \(\frac{7\pi}{8}\) est dans le deuxième quart, tout près du point d’abscisse \(-1\).

Un réel négatif se place en tournant dans le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre). Pour un réel hors de \(]-\pi\,;\pi]\), on se ramène d’abord à cet intervalle en retranchant des tours complets.

• \(-\dfrac{\pi}{3}\) : on tourne de \(60^\circ\) dans le sens indirect (quatrième quart de cercle).
• \(-\dfrac{\pi}{2}\) : c’est le point \(J^{\prime}\), en bas du cercle, de coordonnées \((0\,;-1)\).
• \(\dfrac{11\pi}{8} – 2\pi = -\dfrac{5\pi}{8}\) : les réels \(\dfrac{11\pi}{8}\) et \(-\dfrac{5\pi}{8}\) ont donc le même point-image, à \(112{,}5^\circ\) dans le sens indirect (troisième quart).
• \(\dfrac{17\pi}{6} – 2\pi = \dfrac{5\pi}{6}\) : même point-image que \(\dfrac{5\pi}{6}\), soit \(150^\circ\) dans le sens direct.

On parcourt le cercle dans le sens direct, de la borne de gauche vers la borne de droite de chaque intervalle.

• 1) \(\left[-\frac{\pi}{4}\,;0\right]\) : arc de \(-45^\circ\) à \(0^\circ\), dans le quatrième quart de cercle (longueur \(\frac{\pi}{4}\)).
• 2) \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{4}\right]\) : arc de \(90^\circ\) à \(135^\circ\), dans le deuxième quart (longueur \(\frac{\pi}{4}\)).
• 3) \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{5\pi}{4}\right]\) : arc de \(90^\circ\) à \(225^\circ\) (tout le deuxième quart et la moitié du troisième) ; \(\left[\frac{7\pi}{4}\,;2\pi\right]\) : arc de \(315^\circ\) à \(360^\circ\), c’est-à-dire de \(-45^\circ\) jusqu’au point \(I\).
• 4) \(\left[-\frac{2\pi}{3}\,;-\frac{\pi}{6}\right]\) : arc de \(-120^\circ\) à \(-30^\circ\) dans la moitié inférieure ; \(\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\) : tout le premier quart de cercle, de \(I\) à \(J\).

Si \(M\) et \(N\) sont les points-images de \(a\) et \(b\), alors une mesure de \(\left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}\right)\) est \(b – a\) (relation de Chasles avec \(\overrightarrow{OI}\)). Ici \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) sont associés à \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\), \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{\pi}{4}\).

\[ \begin{aligned} 1)\ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) &= \frac{\pi}{4} – 0 = \frac{\pi}{4} \\ 2)\ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) &= \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi – 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \\ 3)\ \left(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OA}\right) &= \frac{\pi}{4} – \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi – 10\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \\ 4)\ \left(\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OB}\right) &= \frac{2\pi}{3} – \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{8\pi + 9\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} \\ 5)\ \left(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OE}\right) &= -\frac{\pi}{4} – \frac{5\pi}{6} = \frac{-3\pi – 10\pi}{12} = -\frac{13\pi}{12} \\ 6)\ \left(\overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OD}\right) &= -\frac{3\pi}{4} – \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \end{aligned} \]

Les mesures des questions 4 et 5 sont justes mais pas principales : \(\frac{17\pi}{12} – 2\pi = -\frac{7\pi}{12}\) et \(-\frac{13\pi}{12} + 2\pi = \frac{11\pi}{12}\).

On suppose le carré \(ABCD\) direct : ses sommets se suivent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, de même longueur, et se coupent en leur milieu \(O\) ; elles forment un angle de \(\frac{\pi}{4}\) avec les côtés.

• 1) Pour passer de \(\overrightarrow{OA}\) à \(\overrightarrow{OB}\), on tourne d’un quart de tour dans le sens direct : \(\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = \frac{\pi}{2}\).
• 2) \(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}\) (\(O\) milieu de \([AC]\)) : \(\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}\right) = \pi\).
• 3) \(\left(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}\right) = -\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = -\frac{\pi}{2}\).
• 4) \(\overrightarrow{AO}\) suit la diagonale \([AC]\) et \(\overrightarrow{AD}\) le côté \([AD]\) ; on tourne de \(45^\circ\) dans le sens direct : \(\left(\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AD}\right) = \frac{\pi}{4}\).
• 5) En \(C\), on passe de \(\overrightarrow{CB}\) à \(\overrightarrow{CD}\) par un quart de tour dans le sens indirect : \(\left(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}\right) = -\frac{\pi}{2}\).
• 6) De la diagonale \(\overrightarrow{CA}\) au côté \(\overrightarrow{CB}\), on tourne de \(45^\circ\) dans le sens direct : \(\left(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\right) = \frac{\pi}{4}\).

Si le carré était indirect, toutes ces mesures changeraient de signe (sauf \(\pi\)).

La mesure principale est l’unique mesure appartenant à \(]-\pi\,;\pi]\). On ajoute ou on retranche le bon nombre de fois \(2\pi\).

\[ \begin{aligned} 1)\ -\frac{7\pi}{5} + 2\pi &= \frac{-7\pi + 10\pi}{5} = \frac{3\pi}{5} \\ 2)\ \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} \text{ et } \frac{9\pi}{2} – 4\pi &= \frac{9\pi – 8\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \\ 3)\ \frac{4\pi}{3} – 2\pi &= \frac{4\pi – 6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \\ 4)\ \frac{7\pi}{10} &\in \left]-\pi\,;\pi\right] \end{aligned} \]

On vérifie chaque fois : \(-\pi \lt \frac{3\pi}{5} \leqslant \pi\), etc.

Astuce : on écrit le numérateur comme un multiple de \(2 \times \text{dénominateur}\) plus un reste proche de 0.

\[ \begin{aligned} 1)\ -\frac{21\pi}{4} &= -\frac{24\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -6\pi + \frac{3\pi}{4} \quad\text{donc } \frac{3\pi}{4} \\ 2)\ \frac{37\pi}{7} &= \frac{42\pi}{7} – \frac{5\pi}{7} = 6\pi – \frac{5\pi}{7} \quad\text{donc } -\frac{5\pi}{7} \\ 3)\ -\frac{2\pi}{3} &\in \left]-\pi\,;\pi\right] \quad\text{donc } -\frac{2\pi}{3} \\ 4)\ \frac{23\pi}{10} &= \frac{20\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} = 2\pi + \frac{3\pi}{10} \quad\text{donc } \frac{3\pi}{10} \end{aligned} \]

Comme \(6\pi = 3 \times 2\pi\), retirer ou ajouter \(6\pi\) ne change pas le point-image.

On utilise les propriétés : \(\left(-\vec{u}, -\vec{v}\right) = \left(\vec{u}, \vec{v}\right)\), \(\left(\vec{v}, \vec{u}\right) = -\left(\vec{u}, \vec{v}\right)\) et \(\left(-\vec{u}, \vec{v}\right) = \left(\vec{u}, \vec{v}\right) + \pi\) (remplacer un seul vecteur par son opposé ajoute un demi-tour).

• 1) \(\left(-\vec{u}, -\vec{v}\right) = \left(\vec{u}, \vec{v}\right) = \frac{\pi}{6}\).
• 2) \(\left(\vec{v}, \vec{u}\right) = -\frac{\pi}{6}\).
• 3) \(\left(-\vec{v}, -\vec{u}\right) = \left(\vec{v}, \vec{u}\right) = -\frac{\pi}{6}\).
• 4) \(\left(-\vec{v}, \vec{u}\right) = \left(\vec{v}, \vec{u}\right) + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}\), qui appartient bien à \(]-\pi\,;\pi]\).