Corrigé des 41 exercices sur les angles orientés et la trigonométrie en 1re à télécharger en PDF

Par ailleurs, Deux réels ont le même point-image sur le cercle trigonométrique lorsqu’ils diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) : les réels associés à \(x\) sont les \(x + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Ensuite, on ajoute ou on retranche donc \(2\pi\) (un ou plusieurs tours).

Par ailleurs, De plus, Première partie (quelques exemples, en prenant \(k = 1\), \(k = -1\) et \(k = 2\)) :

• Ensuite, 1) \(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{8\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3} – 2\pi = -\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{14\pi}{3}\).
• Aussi, 2) \(-\dfrac{\pi}{5} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{5}\), \(-\dfrac{\pi}{5} – 2\pi = -\dfrac{11\pi}{5}\), \(-\dfrac{\pi}{5} + 4\pi = \dfrac{19\pi}{5}\).
• Aussi, 3) \(-\dfrac{27\pi}{4} + 6\pi = -\dfrac{3\pi}{4}\), \(-\dfrac{27\pi}{4} + 8\pi = \dfrac{5\pi}{4}\), \(-\dfrac{27\pi}{4} + 4\pi = -\dfrac{11\pi}{4}\).
• Enfin, 4) \(\dfrac{3\pi}{10} + 2\pi = \dfrac{23\pi}{10}\), \(\dfrac{3\pi}{10} – 2\pi = -\dfrac{17\pi}{10}\), \(\dfrac{3\pi}{10} + 4\pi = \dfrac{43\pi}{10}\).

Exercice 1 : Donner plusieurs nombres réels ayant le même point-image (suite)

Donc, Seconde partie (tous les réels) :

• Ensuite, 1) Les réels qui ont le même point-image que \(\dfrac{\pi}{3}\) sont les nombres \(\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
• Enfin, De plus, 2) Ceux qui ont le même point-image que \(-\dfrac{3\pi}{5}\) sont les nombres \(-\dfrac{3\pi}{5} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Attention : \(-\dfrac{\pi}{3}\) n’a pas le même point-image que \(\dfrac{\pi}{3}\) (c’est le point symétrique par rapport à l’axe des abscisses).

Ainsi, 1) Comme \(\pi\) radians correspondent à \(180^\circ\), on remplace \(\pi\) par \(180^\circ\) :

\[ \begin{aligned} \frac{5\pi}{6} &\to \frac{5 \times 180}{6} = 150^\circ & \frac{3\pi}{4} &\to \frac{3 \times 180}{4} = 135^\circ & \frac{\pi}{5} &\to \frac{180}{5} = 36^\circ \\ \frac{5\pi}{8} &\to \frac{5 \times 180}{8} = 112{,}5^\circ & \frac{2\pi}{3} &\to \frac{2 \times 180}{3} = 120^\circ & & \end{aligned} \]

Également, 2) Tous ces nombres sont entre \(0\) et \(\pi\) : leurs points-images sont sur le demi-cercle supérieur. Par ailleurs, on part du point \(I\) (angle nul) et on tourne dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre) de l’angle trouvé. \(\frac{\pi}{5}\) est dans le premier quart de cercle, les quatre autres dans le deuxième.

Ainsi, 1) Même méthode : \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\).

\[ \begin{aligned} \frac{\pi}{3} &\to 60^\circ & \frac{3\pi}{10} &\to \frac{3 \times 180}{10} = 54^\circ & \frac{2\pi}{5} &\to \frac{2 \times 180}{5} = 72^\circ \\ \frac{7\pi}{8} &\to \frac{7 \times 180}{8} = 157{,}5^\circ & \frac{\pi}{4} &\to 45^\circ & & \end{aligned} \]

Également, 2) Les points \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{10}\), \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{5}\) sont dans le premier quart de cercle, rangés dans cet ordre (45°, 54°, 60°, 72°) ; \(\frac{7\pi}{8}\) est dans le deuxième quart, tout près du point d’abscisse \(-1\).

Par ailleurs, un réel négatif se place en tournant dans le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre). Puis pour un réel hors de \(]-\pi\,;\pi]\), on se ramène d’abord à cet intervalle en retranchant des tours complets.

• \(-\dfrac{\pi}{3}\) : on tourne de \(60^\circ\) dans le sens indirect (quatrième quart de cercle).
• \(-\dfrac{\pi}{2}\) : c’est le point \(J^{\prime}\), en bas du cercle, de coordonnées \((0\,;-1)\).
• \(\dfrac{11\pi}{8} – 2\pi = -\dfrac{5\pi}{8}\) : les réels \(\dfrac{11\pi}{8}\) et \(-\dfrac{5\pi}{8}\) ont donc le même point-image, à \(112{,}5^\circ\) dans le sens indirect (troisième quart).
• \(\dfrac{17\pi}{6} – 2\pi = \dfrac{5\pi}{6}\) : même point-image que \(\dfrac{5\pi}{6}\), soit \(150^\circ\) dans le sens direct.

Ainsi, on parcourt le cercle dans le sens direct, de la borne de gauche vers la borne de droite de chaque intervalle.

• Ensuite, De plus, 1) \(\left[-\frac{\pi}{4}\,;0\right]\) : arc de \(-45^\circ\) à \(0^\circ\), dans le quatrième quart de cercle (longueur \(\frac{\pi}{4}\)).
• Ensuite, 2) \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{4}\right]\) : arc de \(90^\circ\) à \(135^\circ\), dans le deuxième quart (longueur \(\frac{\pi}{4}\)).
• 3) \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{5\pi}{4}\right]\) : arc de \(90^\circ\) à \(225^\circ\) (tout le deuxième quart et la moitié du troisième) ; \(\left[\frac{7\pi}{4}\,;2\pi\right]\) : arc de \(315^\circ\) à \(360^\circ\), c’est-à-dire de \(-45^\circ\) jusqu’au point \(I\).
• Également, 4) \(\left[-\frac{2\pi}{3}\,;-\frac{\pi}{6}\right]\) : arc de \(-120^\circ\) à \(-30^\circ\) dans la moitié inférieure ; \(\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\) : tout le premier quart de cercle, de \(I\) à \(J\).

Si \(M\) et \(N\) sont les points-images de \(a\) et \(b\), alors une mesure de \(\left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}\right)\) est \(b – a\) (relation de Chasles avec \(\overrightarrow{OI}\)). Ensuite, Ici \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) sont associés à \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\), \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{\pi}{4}\).

\[ \begin{aligned} 1)\ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) &= \frac{\pi}{4} – 0 = \frac{\pi}{4} \\ 2)\ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) &= \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi – 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \\ 3)\ \left(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OA}\right) &= \frac{\pi}{4} – \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi – 10\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \\ 4)\ \left(\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OB}\right) &= \frac{2\pi}{3} – \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{8\pi + 9\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} \\ 5)\ \left(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OE}\right) &= -\frac{\pi}{4} – \frac{5\pi}{6} = \frac{-3\pi – 10\pi}{12} = -\frac{13\pi}{12} \\ 6)\ \left(\overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OD}\right) &= -\frac{3\pi}{4} – \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \end{aligned} \]

Exercice 6 : Donner la mesure des angles orientés (corrigé angles (suite)

Les mesures des questions 4 et 5 sont justes mais pas principales : \(\frac{17\pi}{12} – 2\pi = -\frac{7\pi}{12}\) et \(-\frac{13\pi}{12} + 2\pi = \frac{11\pi}{12}\).

Enfin, on suppose le carré \(ABCD\) direct : ses sommets se suivent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ensuite, les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, de même longueur, et se coupent en leur milieu \(O\) ; elles forment un angle de \(\frac{\pi}{4}\) avec les côtés.

• Enfin, 1) Pour passer de \(\overrightarrow{OA}\) à \(\overrightarrow{OB}\), on tourne d’un quart de tour dans le sens direct : \(\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = \frac{\pi}{2}\).
• Ensuite, 2) \(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}\) (\(O\) milieu de \([AC]\)) : \(\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}\right) = \pi\).
• Également, 3) \(\left(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA}\right) = -\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = -\frac{\pi}{2}\).
• Également, 4) \(\overrightarrow{AO}\) suit la diagonale \([AC]\) et \(\overrightarrow{AD}\) le côté \([AD]\) ; on tourne de \(45^\circ\) dans le sens direct : \(\left(\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AD}\right) = \frac{\pi}{4}\).
• Ensuite, 5) En \(C\), on passe de \(\overrightarrow{CB}\) à \(\overrightarrow{CD}\) par un quart de tour dans le sens indirect : \(\left(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}\right) = -\frac{\pi}{2}\).
• Enfin, 6) De la diagonale \(\overrightarrow{CA}\) au côté \(\overrightarrow{CB}\), on tourne de \(45^\circ\) dans le sens direct : \(\left(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\right) = \frac{\pi}{4}\).

Si le carré était indirect, toutes ces mesures changeraient de signe (sauf \(\pi\)).

Donc, la mesure principale est l’unique mesure appartenant à \(]-\pi\,;\pi]\). Puis on ajoute ou on retranche le bon nombre de fois \(2\pi\).

\[ \begin{aligned} 1)\ -\frac{7\pi}{5} + 2\pi &= \frac{-7\pi + 10\pi}{5} = \frac{3\pi}{5} \\ 2)\ \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} \text{ et } \frac{9\pi}{2} – 4\pi &= \frac{9\pi – 8\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \\ 3)\ \frac{4\pi}{3} – 2\pi &= \frac{4\pi – 6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \\ 4)\ \frac{7\pi}{10} &\in \left]-\pi\,;\pi\right] \end{aligned} \]

Donc, on vérifie chaque fois : \(-\pi \lt \frac{3\pi}{5} \leqslant \pi\), etc.

Par ailleurs, De plus, Astuce : on écrit le numérateur comme un multiple de \(2 \times \text{dénominateur}\) plus un reste proche de 0.

\[ \begin{aligned} 1)\ -\frac{21\pi}{4} &= -\frac{24\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -6\pi + \frac{3\pi}{4} \quad\text{donc } \frac{3\pi}{4} \\ 2)\ \frac{37\pi}{7} &= \frac{42\pi}{7} – \frac{5\pi}{7} = 6\pi – \frac{5\pi}{7} \quad\text{donc } -\frac{5\pi}{7} \\ 3)\ -\frac{2\pi}{3} &\in \left]-\pi\,;\pi\right] \quad\text{donc } -\frac{2\pi}{3} \\ 4)\ \frac{23\pi}{10} &= \frac{20\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} = 2\pi + \frac{3\pi}{10} \quad\text{donc } \frac{3\pi}{10} \end{aligned} \]

Aussi, Comme \(6\pi = 3 \times 2\pi\), retirer ou ajouter \(6\pi\) ne change pas le point-image.

Ensuite, on utilise les propriétés : \(\left(-\vec{u}, -\vec{v}\right) = \left(\vec{u}, \vec{v}\right)\), \(\left(\vec{v}, \vec{u}\right) = -\left(\vec{u}, \vec{v}\right)\) et \(\left(-\vec{u}, \vec{v}\right) = \left(\vec{u}, \vec{v}\right) + \pi\) (remplacer un seul vecteur par son opposé ajoute un demi-tour).

• Enfin, 1) \(\left(-\vec{u}, -\vec{v}\right) = \left(\vec{u}, \vec{v}\right) = \frac{\pi}{6}\).
• Donc, 2) \(\left(\vec{v}, \vec{u}\right) = -\frac{\pi}{6}\).
• De plus, 3) \(\left(-\vec{v}, -\vec{u}\right) = \left(\vec{v}, \vec{u}\right) = -\frac{\pi}{6}\).
• Ainsi, 4) \(\left(-\vec{v}, \vec{u}\right) = \left(\vec{v}, \vec{u}\right) + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}\), qui appartient bien à \(]-\pi\,;\pi]\).

Également, on part de \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) = -\frac{\pi}{5} \) et on utilise deux propriétés : changer un vecteur en son opposé ajoute \( \pi \) à la mesure, et échanger les deux vecteurs change la mesure en son opposée.

Donc, 1) \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \) :

\[ \left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \pi = -\frac{\pi}{5} + \pi = \frac{4\pi}{5} \]

\( \frac{4\pi}{5} \) est dans \( ]-\pi \,;\, \pi] \) : c’est la mesure principale.

Enfin, 2) \( \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BA} \right) = -\left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC} \right) = -\frac{4\pi}{5} \).

Également, 3) \( \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \right) = -\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) = \frac{\pi}{5} \).

4) \( \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} \), donc \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \pi = \frac{4\pi}{5} \).

Également, Première partie. D’après la relation de Chasles :

\[ \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \]

Aussi, les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AD} \) forment un angle droit : le triangle ABD est rectangle en A.

Ensuite, Seconde partie. Il suffit de montrer que \( \left( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC} \right) = 0 \) ou \( \pi \) (à \( 2\pi \) près) : les vecteurs \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont alors colinéaires, donc A, C et D sont alignés.

Enfin, le triangle BCA est rectangle en B et son angle en C mesure \( \frac{\pi}{3} \) (60°). Enfin, De plus, la somme des angles d’un triangle valant \( \pi \), l’angle en A mesure \( \pi – \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \). Comme le triangle est direct, ses trois angles orientés \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) \), \( \left( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA} \right) \) et \( \left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} \right) \) sont positifs, donc :

Exercice 12 : Démontrer qu un triangle est rectangle (suite)

\[ \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) = \frac{\pi}{6} \]

Ensuite, Par la relation de Chasles :

\[ \left( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC} \right) = \left( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB} \right) + \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \pi \]

Enfin, les vecteurs \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires et de sens contraires : A, C et D sont alignés (A est entre C et D).

Également, Remarque : l’énoncé écrit \( \left( \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA} \right) = \frac{\pi}{3} \). Ensuite, pour un triangle BCA direct, l’angle orienté en C dans le sens direct est \( \left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} \right) = \frac{\pi}{3} \) : on a utilisé la mesure géométrique de 60° avec l’orientation imposée par « direct ».

1) a) D est diamétralement opposé à A, donc \( \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA} \) et \( \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} \right) = \pi \). Enfin, Par la relation de Chasles :

\[ \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OD} \right) = \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA} \right) + \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} \right) = -\left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right) + \pi \]

donc \( \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OD} \right) = \pi – \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right) \).

Aussi, b) Dans le triangle AOB, la somme des angles orientés vaut \( \pi \) :

\[ \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right) + \left( \overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA} \right) + \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) = \pi \]

Aussi, De plus, c) OA = OB (rayons du cercle) : le triangle AOB est isocèle en O, ses angles à la base sont égaux, et comme ils sont orientés dans le même sens, \( \left( \overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) \). Par ailleurs, la relation du b) devient :

Exercice 13 : Relation de Chasles et somme des angles d un triangle (suite)

\[ \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right) + 2\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) = \pi \quad \text{donc} \quad 2\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) = \pi – \left( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right) \]

Donc, Avec le a), on obtient \( \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OD} \right) = 2\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) \).

2) Par la relation de Chasles, puis les deux égalités :

\[ \begin{aligned} \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} \right) &= \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OD} \right) + \left( \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OC} \right) \\ &= 2\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) + 2\left( \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AC} \right) \\ &= 2\left[ \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AO} \right) + \left( \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AC} \right) \right] \\ &= 2\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) \end{aligned} \]

Également, (la dernière ligne est encore la relation de Chasles).

Enfin, 3) « L’angle au centre est égal au double de l’angle inscrit interceptant le même arc. Ensuite, » C’est le théorème de l’angle inscrit : \( \left( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} \right) \) est l’angle au centre, \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) \) l’angle inscrit, et tous deux interceptent l’arc BC.

Par ailleurs, on oriente le plan dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre).

Aussi, 1) On trace la demi-droite d’origine A qui fait un angle de \( \frac{\pi}{4} \) (45°) avec \( \overrightarrow{AB} \), dans le sens direct, et on y place C à 4 cm de A (compas).

Donc, 2) D est à 4 cm de A et de C (triangle équilatéral de côté AC = 4 cm). Des deux points possibles, on choisit celui tel que l’on tourne de 60° dans le sens indirect pour passer de \( \overrightarrow{CA} \) à \( \overrightarrow{CD} \) : c’est le point situé « au-dessus » de (AC) sur la figure, du côté opposé à B.

Ensuite, 3) On trace la demi-droite d’origine D qui fait avec \( \overrightarrow{DC} \) un angle de \( \frac{11\pi}{12} \) (165°) : pour passer de \( \overrightarrow{DE} \) à \( \overrightarrow{DC} \), on tourne de 165° dans le sens direct. Puis on place E sur cette demi-droite à 3 cm de D.

Exercice 14 : Construire des points avec des angles orientés (suite)

Par ailleurs, 4) On calcule \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DE} \right) \) par la relation de Chasles, en utilisant \( \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA} \right) = \pi \) et \( \left( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DC} \right) = \pi \) :

\[ \begin{aligned} \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DE} \right) &= \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA} \right) + \left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD} \right) + \left( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DC} \right) + \left( \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DE} \right) \\ &= \frac{\pi}{4} + \pi – \frac{\pi}{3} + \pi – \frac{11\pi}{12} \\ &= \frac{3\pi + 12\pi – 4\pi + 12\pi – 11\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi \end{aligned} \]

Également, De plus, les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{DE} \) sont colinéaires (de sens contraires) : les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

Ensuite, 5) On sait que \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA} \right) + \left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD} \right) = \frac{\pi}{4} + \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{12} \). Ensuite, pour construire F, on trace la demi-droite d’origine B telle que \( \left( \overrightarrow{BF}, \overrightarrow{CD} \right) = \frac{5\pi}{12} \) (le calcul du 6) montre que c’est la perpendiculaire à (AB) en B, vers le haut) ; F est son point d’intersection avec la droite (AC).

Exercice 14 : Construire des points avec des angles orientés (suite)

Enfin, 6) Par la relation de Chasles :

\[ \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BF} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right) + \left( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{BF} \right) = \frac{11\pi}{12} – \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2} \]

Enfin, les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires. Le triangle ABF est même rectangle isocèle en B (angle de 45° en A), donc BF = AB = 4 cm.

Ainsi, 1) Sur \( \left] -\frac{\pi}{2} \,;\, 0 \right[ \), la fonction sinus est strictement croissante et prend toutes les valeurs de \( ]-1 \,;\, 0[ \) (le point image parcourt le quart de cercle entre J′ et I). Comme \( -1 \lt -0{,}8 \lt 0 \), il existe un unique réel \( x \) dans cet intervalle tel que \( \sin x = -0{,}8 \). Puis la calculatrice (touche \( \sin^{-1} \) en mode radian) donne :

\[ x \approx -0{,}927 \text{ rad} \]

Pour ce réel, \( \cos x \gt 0 \) et \( \cos^2 x = 1 – 0{,}64 = 0{,}36 \), donc \( \cos x = 0{,}6 \).

Également, 2) Pour tout réel \( x \), \( -1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \). Or \( 1{,}2 \gt 1 \) : il n’existe aucun réel \( x \) tel que \( \sin x = 1{,}2 \), dans \( \left] 0 \,;\, \frac{\pi}{2} \right[ \) ni ailleurs.

Ensuite, on lit chaque inéquation sur le cercle trigonométrique, pour \( x \in ]-\pi \,;\, \pi] \).

Première inéquation. \( \cos x = \frac{1}{2} \) pour \( x = -\frac{\pi}{3} \) et \( x = \frac{\pi}{3} \). \( \cos x \geqslant \frac{1}{2} \) lorsque le point image est à droite de la droite d’équation \( x = \frac{1}{2} \) (abscisse du point image supérieure ou égale à \( \frac{1}{2} \)) :

\[ \cos x \geqslant \frac{1}{2} \iff x \in \left[ -\frac{\pi}{3} \,;\, \frac{\pi}{3} \right] \]

Seconde inéquation. \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) pour \( x = \frac{\pi}{3} \) et \( x = \frac{2\pi}{3} \). \( \sin x \gt \frac{\sqrt{3}}{2} \) seulement sur l’arc situé au-dessus de la droite \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \), donc :

\[ \sin x \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2} \iff x \in \left] -\pi \,;\, \frac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \frac{2\pi}{3} \,;\, \pi \right] \]

Également, Intersection. Enfin, L’intervalle \( \left[ -\frac{\pi}{3} \,;\, \frac{\pi}{3} \right] \) est entièrement contenu dans \( \left] -\pi \,;\, \frac{\pi}{3} \right] \) : sur cet arc, le sinus est compris entre \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), la seconde inéquation est toujours vérifiée.

Conversion radian → degré. \( \pi \text{ rad} = 180° \), donc on remplace \( \pi \) par 180 :

• \( \frac{\pi}{5} = \frac{180}{5} = 36° \) ; \( \frac{\pi}{3} = 60° \) ; \( \frac{2\pi}{5} = 2 \times 36 = 72° \) ; \( \frac{4\pi}{5} = 4 \times 36 = 144° \) ; \( \pi = 180° \) ; \( \frac{4\pi}{3} = 4 \times 60 = 240° \).

Ainsi, Remarque : un angle géométrique mesure au plus 180° ; 240° correspond à un angle géométrique de \( 360 – 240 = 120° \).

Ainsi, Conversion degré → radian. On multiplie par \( \frac{\pi}{180} \) et on simplifie :

• \( 30° = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \) ; \( 45° = \frac{\pi}{4} \) ; \( 75° = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12} \) ; \( 90° = \frac{\pi}{2} \) ; \( 135° = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \) ; \( 150° = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \).

Exercice 17 : Mesure d un angle géométrique (corrigé angles orientés) (suite)

Ensuite, Vrai ou faux. Deux réels ont le même point image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de \( 2\pi \).

• Donc, 1) \( \frac{\pi}{5} – \left( -\frac{4\pi}{5} \right) = \frac{5\pi}{5} = \pi \), qui n’est pas un multiple de \( 2\pi \) : Faux (les points sont diamétralement opposés).
• Par ailleurs, 2) \( \frac{21\pi}{5} – \frac{\pi}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi = 2 \times 2\pi \) : Vrai.
• Enfin, 3) \( \frac{7\pi}{5} – \left( -\frac{3\pi}{5} \right) = \frac{10\pi}{5} = 2\pi \) : Vrai.
• De plus, 4) \( -\frac{18\pi}{5} – \left( -\frac{3\pi}{5} \right) = -\frac{15\pi}{5} = -3\pi \), qui n’est pas un multiple de \( 2\pi \) : Faux.

Donc, la mesure principale est la mesure qui appartient à \( ]-\pi \,;\, \pi] \) ; on l’obtient en ajoutant ou en retirant un multiple de \( 2\pi \).

De plus, Première partie, 1)

• \( 15\pi = \pi + 7 \times 2\pi \) : mesure principale \( \pi \).
• \( -3\pi = \pi – 2 \times 2\pi \) : \( \pi \) (et non \( -\pi \), exclu de l’intervalle).
• \( -6\pi = 0 – 3 \times 2\pi \) : 0.
• \( 28\pi = 0 + 14 \times 2\pi \) : 0.
• \( -\pi = \pi – 2\pi \) : \( \pi \).

2)

• \( -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} \) : \( \frac{\pi}{2} \).
• \( -\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2} \) : \( \frac{\pi}{2} \).
• \( -\frac{\pi}{2} \) est déjà dans \( ]-\pi \,;\, \pi] \) : \( -\frac{\pi}{2} \).
• \( \frac{8\pi}{2} = 4\pi = 2 \times 2\pi \) : 0.
• \( \frac{26\pi}{2} = 13\pi = \pi + 6 \times 2\pi \) : \( \pi \).

Exercice 18 : Mesure principale d un angle et vecteurs (suite)

Ainsi, Deuxième partie, avec \( \left( \vec{u}, \vec{v} \right) = \frac{\pi}{4} \) :

• Aussi, 1) \( \left( \vec{v}, \vec{u} \right) = -\left( \vec{u}, \vec{v} \right) = -\frac{\pi}{4} \).
• Également, 2) \( \left( \vec{u}, -\vec{v} \right) = \left( \vec{u}, \vec{v} \right) + \pi = \frac{5\pi}{4} \) (mesure principale \( -\frac{3\pi}{4} \)).
• Donc, 3) \( \left( -\vec{u}, -\vec{v} \right) = \left( \vec{u}, \vec{v} \right) + \pi + \pi = \frac{\pi}{4} \) (à \( 2\pi \) près).
• Ensuite, 4) \( \left( \vec{v}, -\vec{u} \right) = \left( \vec{v}, \vec{u} \right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \).

Également, Troisième partie, avec \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right) = \frac{2\pi}{3} \), \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} \) :

• Aussi, 1) \( \left( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{DC} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right) = \frac{2\pi}{3} \) (les deux vecteurs changent de sens).
• Donc, 2) \( \left( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{AB} \right) = -\frac{2\pi}{3} \).
• 3) \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC} \right) = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} \), soit \( -\frac{\pi}{3} \) en mesure principale.
• Ensuite, 4) \( \left( \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{AB} \right) = -\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC} \right) = \frac{\pi}{3} \).

Exercice 18 : Mesure principale d un angle et vecteurs (suite)

Ensuite, la relation de Chasles pour les angles orientés s’écrit \( \left( \vec{a}, \vec{b} \right) + \left( \vec{b}, \vec{c} \right) = \left( \vec{a}, \vec{c} \right) \) : le second vecteur du premier angle est le premier vecteur du second.

Ensuite, Première partie.

• 1) \( \left( \vec{u}, \vec{v} \right) + \left( \vec{v}, \vec{w} \right) = \left( \vec{u}, \vec{w} \right) \).
• Ainsi, 2) \( \left( \vec{v}, \vec{w} \right) + \left( \vec{w}, \vec{t} \right) = \left( \vec{v}, \vec{t} \right) \).
• 3) \( \left( \vec{t}, \vec{w} \right) + \left( \vec{v}, \vec{t} \right) = \left( \vec{v}, \vec{t} \right) + \left( \vec{t}, \vec{w} \right) = \left( \vec{v}, \vec{w} \right) \) : le vecteur manquant est \( \vec{v} \).

Ainsi, Deuxième partie.

• 1) \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right) \).
• Enfin, 2) \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right) + \left( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AD} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right) \) : on complète par B et D.
• Ainsi, 3) \( \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB} \right) \) : on complète par C et C.

On utilise les valeurs remarquables et le quadrant du point image.

• \( x = \frac{\pi}{3} \) : \( \cos x = \frac{1}{2} \) et \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \cos x = -\frac{1}{2} \) et \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) : les deux sont négatifs, le point image est dans le quart inférieur gauche, symétrique de celui de \( \frac{\pi}{3} \) par rapport à O : \( x = -\frac{2\pi}{3} \) (ou \( \frac{4\pi}{3} \)).
• \( x = -\frac{\pi}{4} \) : \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \cos x = 0 \) et \( \sin x = -1 \) : le point image est J′, \( x = -\frac{\pi}{2} \).
• \( x = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \) : \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( \sin x = -\frac{1}{2} \).
• \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) : quart supérieur gauche, \( x = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).

1) Avec le rapporteur, on mesure l’angle entre \( \overrightarrow{OI} \) et le rayon vers chaque point, positif au-dessus de (II′), négatif au-dessous, puis on convertit (180° = π) :

• De plus, A : 45° sous (OI), soit \( -\frac{\pi}{4} \).
• B : 150° sous (OI), soit \( -\frac{5\pi}{6} \).
• Ainsi, C : 150° au-dessus, soit \( \frac{5\pi}{6} \).
• D : 10° sous (OI), soit \( -\frac{\pi}{18} \).
• Également, E : 120° au-dessus, soit \( \frac{2\pi}{3} \).
• F : 108° sous (OI), soit \( -\frac{6\pi}{10} \) (\( = -\frac{3\pi}{5} \)).
• Ensuite, les deux nombres restants correspondent à G (30°, \( \frac{\pi}{6} \)) et H (162°, \( \frac{9\pi}{10} \)).

2) Dans \( [0 \,;\, 2\pi[ \), on ajoute \( 2\pi \) aux valeurs négatives et on garde les positives :

Exercice 21 : Cercle trigonométrique et point-image (suite)

• Aussi, A : \( -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \) ; B : \( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \) ; C : \( \frac{5\pi}{6} \) ;
• D : \( -\frac{\pi}{18} + 2\pi = \frac{35\pi}{18} \) ; E : \( \frac{2\pi}{3} \) ; F : \( -\frac{3\pi}{5} + 2\pi = \frac{7\pi}{5} \).

Par ailleurs, on convertit chaque angle en radian avec \( 1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \) :

• a : \( 72° = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \), et non \( \frac{\pi}{5} \) (qui vaut 36°) : faux.
• b : \( 260° = \frac{260\pi}{180} = \frac{13\pi}{9} \), alors que \( \frac{10\pi}{9} \) vaut 200° : faux.
• De plus, c : \( 126° = \frac{126\pi}{180} = \frac{7\pi}{10} \) (on simplifie par 18) : vrai.
• d : \( 60° = \frac{\pi}{3} \), et non \( \frac{\pi}{6} \) (qui vaut 30°) : faux.

Aussi, on retire à chaque nombre un multiple de \( 2\pi = \frac{12\pi}{6} \) pour trouver sa mesure principale :

• a : \( \frac{29\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 4\pi + \frac{5\pi}{6} \) : point image de \( \frac{5\pi}{6} \).
• Également, b : \( \frac{125\pi}{6} = \frac{120\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 20\pi + \frac{5\pi}{6} \) : point image de \( \frac{5\pi}{6} \).
• c : \( \frac{-31\pi}{6} = \frac{-36\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = -6\pi + \frac{5\pi}{6} \) : point image de \( \frac{5\pi}{6} \).
• Par ailleurs, d : \( \frac{-85\pi}{6} = \frac{-84\pi}{6} – \frac{\pi}{6} = -14\pi – \frac{\pi}{6} \) : point image de \( -\frac{\pi}{6} \), différent.

Pour \( a = -\frac{\pi}{4} \) : \( \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) (le cosinus est pair, le sinus est impair).

• a : \( \sin(a) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) : faux.
• b : \( \sin(a) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \) : faux.
• c : \( \cos(a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) : faux.
• d : \( \cos(a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) : vrai.

\( \frac{7\pi}{12} \) correspond à \( \frac{7 \times 180}{12} = 105° \). De plus, on a \( \frac{\pi}{2} \lt \frac{7\pi}{12} \lt \pi \) : le point image est dans le quart de cercle supérieur gauche (entre J et I′). Son abscisse est négative et son ordonnée positive.

Sur la figure, A a une abscisse positive et une ordonnée égale à \( -\frac{1}{2} \) : c’est le point image de \( -\frac{\pi}{6} \), puisque \( \cos\left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( \sin\left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2} \).

Un réel a le point image A s’il s’écrit \( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) avec \( k \) entier :

• a : \( -\frac{5\pi}{6} \) a pour point image le symétrique de A par rapport à l’axe des ordonnées : faux.
• b : \( \frac{11\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi \) : vrai.
• c : \( \frac{47\pi}{6} = \frac{48\pi}{6} – \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 8\pi \) : vrai.
• d : \( -\frac{\pi}{6} \) : vrai.

Question 1. On simplifie d’abord : \( \dfrac{-21\pi}{6} = -\dfrac{7\pi}{2} \). Ensuite, on ajoute deux tours complets (\( 4\pi = \dfrac{8\pi}{2} \)) sans changer le point-image :

\[ -\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2} \quad \text{donc} \quad \sin\left(-\frac{21\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1. \]

Les réponses a et c sont justes. Par ailleurs, la réponse b est fausse (\( \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 \) n’est pas un sinus possible, un sinus est entre \( -1 \) et \( 1 \)) et la d aussi.

Question 2. Le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [CA] = 4.

• Angle en A : le côté opposé est [BC], donc \( \sin\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{BC}{CA} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \), d’où \( \widehat{BAC} = 30^\circ \) (réponse b juste).
• Les deux angles aigus sont complémentaires : \( \widehat{BCA} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \) (réponse a fausse).
• Théorème de Pythagore : \( BA^2 = CA^2 – BC^2 = 16 – 4 = 12 \), donc \( BA = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \) (réponses c et d justes : ce sont deux écritures du même nombre).

1. Le triangle ABC est isocèle en B, donc ses angles à la base sont égaux : \( \widehat{BAC} = \widehat{BCA} \). Comme il est rectangle en B, la somme des angles donne :

\[ \widehat{BAC} + \widehat{BCA} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ \quad \text{donc} \quad \widehat{BAC} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}. \]

2. On calcule d’abord l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore : \( AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \), donc \( AC = a\sqrt{2} \) (car \( a \gt 0 \)).

\[ \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \sin\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

On retrouve les valeurs remarquables : \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Puis le résultat ne dépend pas de \( a \).

1. Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent \( 60^\circ \). De plus, la hauteur issue de C est aussi bissectrice de l’angle \( \widehat{ACB} \) (et médiatrice de [AB]). Donc :

\[ \widehat{ACD} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}. \]

(Autre justification : dans le triangle ACD rectangle en D, \( \widehat{ACD} = 180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \).)

2. La hauteur [CD] est aussi médiane, donc D est le milieu de [AB] : \( AD = \dfrac{a}{2} \). Ensuite, dans le triangle ACD rectangle en D, Pythagore donne :

\[ CD^2 = AC^2 – AD^2 = a^2 – \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \quad \text{donc} \quad CD = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \]

Pour l’angle en C, [CD] est le côté adjacent et [AD] le côté opposé :

\[ \cos\left(\widehat{ACD}\right) = \frac{CD}{AC} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sin\left(\widehat{ACD}\right) = \frac{AD}{AC} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} \]

1. Dans le triangle EAU rectangle en A, pour l’angle \( \widehat{AEU} = 36^\circ \) : [AU] est le côté opposé, [EA] le côté adjacent et [EU] l’hypoténuse.

\[ \tan(36^\circ) = \frac{AU}{EA} \quad \text{donc} \quad EA = \frac{5}{\tan(36^\circ)} \approx 6{,}9 \text{ cm} \]

\[ \sin(36^\circ) = \frac{AU}{EU} \quad \text{donc} \quad EU = \frac{5}{\sin(36^\circ)} \approx 8{,}5 \text{ cm} \]

Vérification avec Pythagore : \( 6{,}88^2 + 5^2 \approx 72{,}4 \) et \( 8{,}51^2 \approx 72{,}4 \). Puis les côtés mesurent donc AU = 5 cm, EA ≈ 6,9 cm et EU ≈ 8,5 cm.

2. On convertit avec \( 180^\circ = \pi \text{ rad} \) :

• \( \widehat{EAU} = 90^\circ = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57 \text{ rad} \) ;
• \( \widehat{AEU} = 36^\circ = \dfrac{36\pi}{180} = \dfrac{\pi}{5} \approx 0{,}63 \text{ rad} \) ;
• \( \widehat{AUE} = \pi – \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{3\pi}{10} \approx 0{,}94 \text{ rad} \) (soit \( 54^\circ \)).

Les quadrants correspondent aux intervalles (à \( 2\pi \) près) : quadrant 1 : \( \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right] \), quadrant 2 : \( \left[\frac{\pi}{2}\,;\pi\right] \), quadrant 3 : \( \left[\pi\,;\frac{3\pi}{2}\right] \), quadrant 4 : \( \left[\frac{3\pi}{2}\,;2\pi\right] \). De plus, on compare chaque réel à ces bornes.

1. \( \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{2\pi}{3} \lt \pi \) (car \( \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \lt 1 \)) : quadrant 2.
2. \( 0 \lt \dfrac{\pi}{8} \lt \dfrac{\pi}{2} \) : quadrant 1.
3. \( \pi \lt \dfrac{5\pi}{4} \lt \dfrac{3\pi}{2} \) (car \( 1 \lt 1{,}25 \lt 1{,}5 \)) : quadrant 3.
4. \( -\dfrac{2\pi}{3} \) a le même point-image que \( -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \), et \( \pi \lt \dfrac{4\pi}{3} \lt \dfrac{3\pi}{2} \) : quadrant 3 (on tourne de \( 120^\circ \) dans le sens indirect).

On lit d’abord la figure : A, B, C correspondent à \( \frac{\pi}{6} \), \( \frac{\pi}{4} \), \( \frac{\pi}{3} \) ; D, E, F à \( \frac{2\pi}{3} \), \( \frac{3\pi}{4} \), \( \frac{5\pi}{6} \) ; G, H, K à \( \frac{7\pi}{6} \), \( \frac{5\pi}{4} \), \( \frac{4\pi}{3} \) ; L, M, N à \( \frac{5\pi}{3} \), \( \frac{7\pi}{4} \), \( \frac{11\pi}{6} \). Puis on ramène chaque réel dans \( ]-\pi\,;\pi] \) ou \( [0\,;2\pi[ \) en ajoutant ou retranchant des tours de \( 2\pi \).

1. \( -\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{2\pi}{3} \) : c’est le point D.
2. \( \dfrac{7\pi}{2} – 4\pi = -\dfrac{\pi}{2} \) : c’est le point J′.
3. \( -\dfrac{11\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{\pi}{6} \) : c’est le point A.
4. \( 13\pi – 12\pi = \pi \) (six tours complets) : c’est le point I′.

Deux réels ont le même point-image s’ils diffèrent d’un multiple de \( 2\pi \). Ensuite, dans chaque liste, on cherche la mesure principale (dans \( ]-\pi\,;\pi] \)) de chaque réel : l’intrus est celui qui n’a pas le même point que les autres.

1. \( \dfrac{3\pi}{2} – 2\pi = -\dfrac{\pi}{2} \) ; \( \dfrac{9\pi}{2} – 4\pi = \dfrac{\pi}{2} \) ; \( -\dfrac{\pi}{2} \) ; \( -\dfrac{5\pi}{2} + 2\pi = -\dfrac{\pi}{2} \). L’intrus est \( \frac{9\pi}{2} \) (point J, les autres sont en J′).
2. \( \dfrac{\pi}{3} \) ; \( \dfrac{14\pi}{3} – 4\pi = \dfrac{2\pi}{3} \) ; \( -\dfrac{8\pi}{6} = -\dfrac{4\pi}{3} \) et \( -\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{2\pi}{3} \) ; \( -\dfrac{10\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{2\pi}{3} \). L’intrus est \( \frac{\pi}{3} \).
3. \( \dfrac{7\pi}{4} – 2\pi = -\dfrac{\pi}{4} \) ; \( -\dfrac{\pi}{4} \) ; \( -\dfrac{9\pi}{4} + 2\pi = -\dfrac{\pi}{4} \) ; \( -\dfrac{19\pi}{4} + 4\pi = -\dfrac{3\pi}{4} \). L’intrus est \( -\frac{19\pi}{4} \).
4. \( -\pi = \pi – 2\pi \) et \( \pi\sqrt{9} = 3\pi = \pi + 2\pi \) ont le même point-image que \( \pi \) (le point I′). \( 0 \) correspond au point I. L’intrus est 0.

La longueur de l’aiguille est l’unité : sa pointe décrit un cercle de rayon 1, dont le périmètre vaut \( 2\pi \). Sur un cercle de rayon 1, la longueur d’un arc est égale à la mesure en radians de l’angle. Par ailleurs, la grande aiguille (celle des minutes) fait un tour, soit \( 2\pi \), en 60 minutes : en \( t \) minutes, la pointe parcourt \( \dfrac{t}{60} \times 2\pi = \dfrac{t\pi}{30} \).

1. De 12 h à 12 h 20 : 20 min, \( \dfrac{20\pi}{30} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09 \) unités (un tiers de tour).
2. De 15 h 15 à 16 h 30 : 1 h 15 min = 75 min, \( \dfrac{75\pi}{30} = \dfrac{5\pi}{2} \approx 7{,}85 \) unités.
3. De 20 h 30 à 22 h 50 : 2 h 20 min = 140 min, \( \dfrac{140\pi}{30} = \dfrac{14\pi}{3} \approx 14{,}66 \) unités.
4. De 14 h 50 à 17 h 22 : 2 h 32 min = 152 min, \( \dfrac{152\pi}{30} = \dfrac{76\pi}{15} \approx 15{,}92 \) unités.

La roue a 10 secteurs égaux : chacun mesure \( \dfrac{2\pi}{10} = \dfrac{\pi}{5} \) (soit \( 36^\circ \)). Puis en partant de la flèche et en tournant dans le sens direct, le secteur 1 va de \( 0 \) à \( \frac{\pi}{5} \), le secteur 2 de \( \frac{\pi}{5} \) à \( \frac{2\pi}{5} \)… le secteur \( k \) va de \( \frac{(k-1)\pi}{5} \) à \( \frac{k\pi}{5} \).

Quand la roue tourne d’un angle \( \theta \) dans le sens horaire, c’est la partie de la roue située à l’angle \( \theta \) (compté dans le sens direct depuis la flèche) qui vient se placer devant la flèche. Ensuite, on ramène donc \( \theta \) dans \( [0\,;2\pi[ \), puis on cherche le secteur qui le contient (en degrés, on divise par 36).

1. \( \dfrac{\pi}{2} = 90^\circ \), et \( 72 \lt 90 \lt 108 \) : secteur 3.
2. \( \dfrac{19\pi}{10} = 342^\circ \), et \( 324 \lt 342 \lt 360 \) : secteur 10.
3. \( -\dfrac{5\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} = 135^\circ \), et \( 108 \lt 135 \lt 144 \) : secteur 4.
4. \( \dfrac{34\pi}{3} – 10\pi = \dfrac{4\pi}{3} = 240^\circ \) (cinq tours complets retirés), et \( 216 \lt 240 \lt 252 \) : secteur 7.

Soit \( x \in \mathcal{D}_T \), donc \( \cos(x) \neq 0 \). Puis on part du membre de gauche et on utilise la relation fondamentale \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), c’est-à-dire \( \sin^2(x) = 1 – \cos^2(x) \) :

\[ \begin{aligned} \tan^2(x) &= \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{1 – \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{1}{\cos^2(x)} – \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{1}{\cos^2(x)} – 1. \end{aligned} \]

Exemple de contrôle : pour \( x = \frac{\pi}{4} \), \( \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) et \( \dfrac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} – 1 = 2 – 1 = 1 \).

1. Premier couple : \( \alpha + \beta = \dfrac{3\pi}{2} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{6\pi – \pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \). Deuxième couple : \( \alpha + \beta = \dfrac{4\pi}{6} + \dfrac{7\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \). De plus, on lit les cosinus sur le cercle trigonométrique (\( \frac{5\pi}{4} \) est dans le quadrant 3, \( \frac{11\pi}{6} \) dans le quadrant 4, \( \frac{7\pi}{6} \) dans le quadrant 3).

Exercice 37 : Vérifier si une égalité est vraie (suite)

2. Non. Ensuite, il suffit d’un contre-exemple : avec \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \) et \( \beta = -\frac{\pi}{4} \), on a \( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) alors que \( \cos(\alpha) + \cos(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Par ailleurs, le second couple donne aussi deux valeurs différentes (\( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87 \) contre \( -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx -1{,}37 \)). Puis la formule \( \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) + \cos(\beta) \) est donc fausse en général : le cosinus n’est pas « additif ».

3. La bonne formule est la formule d’addition :

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) – \sin(\alpha)\sin(\beta). \]

Vérification sur le second couple, avec \( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \) :

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right). \]

La hauteur de l’arbre se découpe en deux : \( h = AS + AP \). Ensuite, les triangles OAS et OAP sont rectangles en A, et OA = 15 m est le côté adjacent aux angles en O.

Partie haute. Dans OAS : \( \tan\left(\widehat{SOA}\right) = \dfrac{AS}{OA} \), donc \( AS = 15 \times \tan(45^\circ) = 15 \times 1 = 15 \text{ m} \).

Partie basse. Dans OAP : \( \tan\left(\widehat{AOP}\right) = \dfrac{AP}{OA} \), donc \( AP = 15 \times \tan(25^\circ) \approx 6{,}99 \text{ m} \).

\[ h = AS + AP = 15 + 15\tan(25^\circ) \approx 21{,}99 \approx 22 \text{ m}. \]

Attention à ne pas arrondir AP avant d’additionner : on garde la valeur exacte \( 15\tan(25^\circ) \) jusqu’au bout.

La profondeur du cratère est la longueur BD. Puis le fond est horizontal et D est à la verticale de B, donc le triangle BCD est rectangle en D, avec CD = 29 km.

Le rayon solaire (C, B) fait un angle de \( 4{,}3^\circ \) avec l’horizontale ; la droite (CD) est horizontale, donc \( \widehat{BCD} = 4{,}3^\circ \) (angles correspondants formés par le rayon avec deux horizontales parallèles).

Pour l’angle en C, [BD] est le côté opposé et [CD] le côté adjacent :

\[ \tan\left(\widehat{BCD}\right) = \frac{BD}{CD} \quad \text{donc} \quad BD = 29 \times \tan(4{,}3^\circ) \approx 2{,}18 \approx 2{,}2 \text{ km}. \]

1. Soit H le pied de la hauteur issue de C et \( h = CH \). Sur la figure, les angles en A et B sont aigus, donc H est sur [AB].

• Dans le triangle CHB rectangle en H : \( \sin(\beta) = \dfrac{CH}{CB} = \dfrac{h}{a} \), donc \( h = a\sin(\beta) \).
• Dans le triangle CHA rectangle en H : \( \sin(\alpha) = \dfrac{h}{b} \), donc \( h = b\sin(\alpha) \).

L’aire vaut \( \mathcal{S} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{c \times h}{2} \), d’où :

\[ \mathcal{S} = \frac{1}{2}ac\sin(\beta) = \frac{1}{2}bc\sin(\alpha). \]

En faisant de même avec la hauteur issue de A (sur [BC]), on obtient \( \mathcal{S} = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) \). De plus, on isole alors chaque sinus :

\[ \sin(\alpha) = \frac{2\mathcal{S}}{bc} \qquad \sin(\beta) = \frac{2\mathcal{S}}{ac} \qquad \sin(\gamma) = \frac{2\mathcal{S}}{ab} \]

Exercice 40 : Loi des sinus et aire d un triangle (suite)

\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = a \times \frac{bc}{2\mathcal{S}} = \frac{abc}{2\mathcal{S}}, \quad \frac{b}{\sin(\beta)} = b \times \frac{ac}{2\mathcal{S}} = \frac{abc}{2\mathcal{S}}, \quad \frac{c}{\sin(\gamma)} = c \times \frac{ab}{2\mathcal{S}} = \frac{abc}{2\mathcal{S}}. \]

Les trois quotients sont égaux à \( \dfrac{abc}{2\mathcal{S}} \), ce qui démontre la loi des sinus. (Si un angle est obtus, le pied de la hauteur sort du côté, mais le résultat reste vrai car \( \sin(\pi – x) = \sin(x) \).)

2. On connaît deux côtés et l’angle compris entre eux (\( \beta \) est l’angle en B, entre [BC] = a et [BA] = c) :

\[ \mathcal{S} = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times \sin(50^\circ) = 14\sin(50^\circ) \approx 10{,}72 \text{ cm}^2. \]

1. On applique la formule d’addition avec \( \alpha = \beta = x \) :

\[ \cos(2x) = \cos(x + x) = \cos(x)\cos(x) – \sin(x)\sin(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x). \]

On remplace ensuite \( \sin^2(x) \) par \( 1 – \cos^2(x) \) (relation \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \)) :

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) – \left(1 – \cos^2(x)\right) = 2\cos^2(x) – 1 \quad \text{donc} \quad \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}. \]

2. Avec \( x = \frac{\pi}{8} \), on a \( 2x = \frac{\pi}{4} \) et \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) :

\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}. \]

3. Comme \( 0 \lt \frac{\pi}{8} \lt \frac{\pi}{2} \), le point-image est dans le premier quadrant : \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \gt 0 \) et \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \gt 0 \). Ensuite, on prend donc les racines positives :

Exercice 41 : Utilisation des formules de trigonométrie (suite)

\[ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}. \]

\[ \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = 1 – \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = \frac{2 – \sqrt{2}}{4} \quad \text{donc} \quad \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2}. \]

Contrôle à la calculatrice : \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}924 \) et \( \frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}383 \), ce qui correspond bien à \( \cos(22{,}5^\circ) \) et \( \sin(22{,}5^\circ) \).