Corrigé des 40 exercices sur les suites numériques en première à télécharger en PDF

Aussi, Suite \(u_n=-2n+7\).

1) On remplace \(n\) par \(n+1\) : \(u_{n+1}=-2(n+1)+7=\mathbf{-2n+5}\).

2) \(u_{n+1}=-2n+7-2=\mathbf{u_n-2}\) (suite arithmétique de raison \(-2\)).

Suite \(v_n=2^n\).

Par ailleurs, 1) \(v_{n+1}=\mathbf{2^{n+1}}\). 2) \(v_{n+1}=2\times2^n=\mathbf{2v_n}\).

Exprimer \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\) : on remplace \(n\) par \(n-1\) dans la relation.

Par ailleurs, 1) \(u_{n+1}=3u_n+5n-1\) devient, pour \(n\geqslant 1\) :

\[ u_n=3u_{n-1}+5(n-1)-1=3u_{n-1}+5n-6 \]

2) Ici, le premier terme est \(u_1=2\) (l’énoncé écrit « \(u_n=2\) », il faut lire \(u_1=2\)). Aussi, De plus, on remplace \(n\) par \(n-2\) dans \(u_{n+2}=(n+1)u_{n+1}+5\) :

\[ u_n=(n-2+1)u_{n-1}+5=(n-1)u_{n-1}+5 \]

Cette relation est valable dès que \(n-2\) est un indice autorisé de la relation de départ (pour \(n\geqslant 3\) si la relation vaut pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\)).

Par ailleurs, 1) Dans la boucle, l’instruction « u prend la valeur … » n’utilise que le compteur \(i\), jamais l’ancienne valeur de \(u\). Chaque passage recalcule donc \(u\) directement à partir de l’indice : la suite est définie par sa forme explicite. (La boucle est d’ailleurs inutile : seule la dernière valeur, obtenue pour \(i=n\), compte.)

Également, 2) À la fin de la boucle, \(i=n\) et \(u\) contient l’expression de la boucle calculée en \(n\). Ensuite, on lit sur la capture « 5*i−2/i », ce qui donne :

\[ u_n=5n-\frac{2}{n} \]

Aussi, cette formule n’a de sens que pour \(n\geqslant 1\) : la suite est définie sur \(\mathbb{N}^{*}\), et il faudrait faire démarrer la boucle à 1 pour éviter la division par zéro quand \(i=0\). Par exemple \(u_1=3\), \(u_2=9\), \(u_4=19{,}5\).

1) \(u\) démarre à 5, puis à chaque tour la nouvelle valeur est calculée à partir de l’ancienne : c’est une suite définie par récurrence :

\[ u_0=5 \qquad u_{n+1}=-u_n+2 \]

2) L’algorithme lit \(n\), affiche \(u_0\), puis, dans la boucle pour \(i\) de 1 à \(n\), calcule et affiche \(u_i\). Par ailleurs, il affiche donc tous les termes de \(u_0\) à \(u_n\). Aussi, Ici : \(u_0=5\), \(u_1=-3\), \(u_2=5\), \(u_3=-3\)… la suite alterne entre 5 et \(-3\).

3) Il suffit de supprimer les deux « AFFICHER u » (avant et dans la boucle) et de placer un seul « AFFICHER u » après FIN_POUR :

• De plus, LIRE n ; u PREND_LA_VALEUR 5
• POUR i ALLANT_DE 1 A n : u PREND_LA_VALEUR −u+2
• FIN_POUR ; AFFICHER u

1) \(u_1=OA_1=1\). Puis dans \(OA_1A_2\) rectangle en \(A_1\), Pythagore donne \(OA_2^2=1^2+1^2=2\), donc \(u_2=\sqrt{2}\). Ensuite, dans \(OA_2A_3\) rectangle en \(A_2\) : \(OA_3^2=OA_2^2+A_2A_3^2=2+1=3\), donc \(u_3=\sqrt{3}\).

Ensuite, 2) Pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\), le triangle \(OA_nA_{n+1}\) est rectangle en \(A_n\) avec \(A_nA_{n+1}=1\) :

\[ u_{n+1}^2=u_n^2+1 \quad\text{donc}\quad u_1=1 \quad\text{et}\quad u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+1} \]

Ensuite, 3) On calcule \(u_4=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\), \(u_5=\sqrt{5}\)… Les carrés \(u_n^2\) forment la suite 1, 2, 3, 4, … qui augmente de 1 à chaque étape. Puis on conjecture \(u_n=\sqrt{n}\) pour tout \(n\geqslant 1\).

Ensuite, la ligne 1 contient les indices, la ligne 2 les termes. De plus, on écrit :

• en B2 : -3 (le premier terme \(u_0\)) ;
• en C2 : =B2^2+3*B2 (le terme précédent est dans la cellule de gauche). Enfin, en recopiant vers la droite, D2 contient =C2^2+3*C2, etc.

Il ne faut pas étirer B2 (qui contient une constante) mais C2. Résultats :

En effet \(u_1=(-3)^2+3\times(-3)=9-9=0\), puis \(u_2=0^2+3\times0=0\), et la suite reste nulle.

1) \(u_{n+1}=0{,}5u_n+2\) : le terme de la colonne C se calcule à partir de celui de la colonne B. Ensuite, en C2 : =0,5*B2+2 (ou =B2/2+2). Vérification : \(0{,}5\times1+2=2{,}5\), puis \(0{,}5\times2{,}5+2=3{,}25\) : c’est bien la feuille.

Ensuite, 2) La ligne 3 contient \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) : \(1\), \(1+2{,}5=3{,}5\), \(3{,}5+3{,}25=6{,}75\)… Chaque somme est la somme précédente plus le nouveau terme : en C3 : =B3+C2. Ainsi, Vérification : \(6{,}75+3{,}625=10{,}375\).

Enfin, Suite \(u_n=2n^2+(-1)^n\).

1) \(u_{n+1}=2(n+1)^2+(-1)^{n+1}=2n^2+4n+2-(-1)^n\).

2) \(u_{2n}=2(2n)^2+(-1)^{2n}=8n^2+1\), car \((-1)^{2n}=\left((-1)^2\right)^n=1\).

Ainsi, Suite \(v_n=\dfrac{(-2)^{n-1}}{3^n}\).

1) \(v_{n-1}=\dfrac{(-2)^{n-2}}{3^{n-1}}\) (pour \(n\geqslant 1\)).

2) L’énoncé écrit \(u_{n+2}\) mais il s’agit de \(v_{n+2}\) : \(v_{n+2}=\dfrac{(-2)^{n+1}}{3^{n+2}}\). Ensuite, (Pour la suite \(u\), on aurait \(u_{n+2}=2(n+2)^2+(-1)^{n+2}=2n^2+8n+8+(-1)^n\).)

Suite \(w_n=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\).

1) À l’aide du cercle trigonométrique :

Également, 2) \(w_{n+6}=\cos\left(\dfrac{(n+6)\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}+2\pi\right)=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)=w_n\) : la suite est périodique de période 6.

Aussi, 1) a) \(u_n=\dfrac{2}{u_{n-1}}+1\) avec \(u_0=1\) : chaque terme dépend du précédent, la suite est définie par récurrence.

\[ u_0=1,\quad u_1=\frac{2}{1}+1=3,\quad u_2=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3},\quad u_3=\frac{2}{5/3}+1=\frac{6}{5}+1=\frac{11}{5} \]

b) \(v_n=\sin\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\) : \(v_n\) se calcule directement à partir de \(n\), c’est une forme explicite.

\[ v_0=\sin 0=0,\quad v_1=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad v_2=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad v_3=\sin\pi=0 \]

2) À la calculatrice, en mode Suite (ou Récurrence) et en radians pour \(v\) : on saisit \(u(n)=2/u(n-1)+1\) avec \(u(0)=1\) et \(v(n)=\sin(n\pi/3)\), puis on affiche la table. Par ailleurs, on lit \(u_2\approx1{,}667\), \(u_3=2{,}2\) et \(v_1=v_2\approx0{,}866\), ce qui confirme les valeurs exactes.

Enfin, 1) La formule en C2 est =2*B1+1+B2. Recopiée vers la droite, les références se décalent d’une colonne : D2 contient =2*C1+1+C2, soit :

\[ D2=2\times 2+1+(-2)=3 \]

Donc, (Vérification de C2 : \(2\times1+1+(-5)=-2\), la valeur affichée.)

2) La ligne 1 contient l’indice \(n\), la ligne 2 le terme \(v_n\). Puis la cellule de la colonne suivante calcule \(v_{n+1}\) avec l’indice \(n\) et le terme \(v_n\) de la colonne précédente :

\[ v_1=-5 \qquad v_{n+1}=v_n+2n+1 \quad (n\geqslant 1) \]

Enfin, on obtient \(v_1=-5\), \(v_2=-2\), \(v_3=3\), \(v_4=10\), \(v_5=19\). Remarque : ces valeurs vérifient \(v_n=n^2-6\) (car \(n^2+2n+1=(n+1)^2\)).

Méthode de la construction en escalier : on part de \(u_0\) sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe de \(f\) pour lire \(u_1=f(u_0)\) sur l’axe des ordonnées, puis on rabat \(u_1\) sur l’axe des abscisses grâce à la droite \(y=x\), et on recommence.

De plus, Sur le quadrillage (un carreau pour une unité sur chaque axe), on lit :

• \(u_0=1\) et \(u_1=f(1)\approx 3\) ;
• \(u_2=f(u_1)\approx 5{,}2\) ;
• \(u_3=f(u_2)\approx 6{,}8\) ;
• \(u_4=f(u_3)\approx 7{,}8\).

Ainsi, les lectures sont compatibles avec \(f(x)=3\sqrt{x}\) : \(u_4=3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}\approx 7{,}85\). Ensuite, les termes augmentent et se rapprochent de l’abscisse 9 du point d’intersection de la courbe avec la droite \(y=x\).

La suite est définie par récurrence : \(u_{n+1} = f(u_n)\). Puis pour construire les termes sur l’axe des abscisses, on alterne deux étapes : on monte jusqu’à la courbe de \(f\) (on obtient \(u_{n+1}\) en ordonnée), puis on se déplace horizontalement jusqu’à la droite \(y = x\), qui ramène cette valeur sur l’axe des abscisses.

Également, Attention aux unités : on les lit sur la droite \(y = x\), qui passe par O et par le point \((2\,;\,2)\). De plus, en abscisse, une unité = un carreau ; en ordonnée, une unité = une ligne du quadrillage.

• \(u_0 = 2\) (indiqué sur l’axe).
• On monte jusqu’à la courbe de \(f\) : l’ordonnée lue est 5, donc \(u_1 = f(u_0) = 5\). De plus, la droite \(y = x\) reporte 5 sur l’axe des abscisses.
• Au-dessus de 5, la courbe de \(f\) est à la hauteur 3,5 : \(u_2 = f(u_1) \approx 3{,}5\).
• Au-dessus de 3,5, la courbe de \(f\) est à la hauteur d’environ 4,25 : \(u_3 = f(u_2) \approx 4{,}25\).

Contrôle : la droite orange passe par \((2\,;\,5)\) et \((5\,;\,3{,}5)\), son coefficient directeur est \(\dfrac{3{,}5 – 5}{5 – 2} = -0{,}5\) et \(f(3{,}5) = 5 – 0{,}5 \times 1{,}5 = 4{,}25\). Ensuite, on remarque aussi que les termes « tournent » autour de 4, l’abscisse du point d’intersection des deux droites.

De plus, Première suite. Pour une suite arithmétique de raison \(r\) : \(u_n = u_0 + nr\).

\[ u_6 = u_0 + 6r = 16 + 6 \times 4 = 16 + 24 = 40 \]

Deuxième suite. De plus, pour une suite géométrique de raison \(q\) : \(u_n = u_0 \times q^n\).

\[ u_3 = u_0 \times q^3 = 2 \times (-3)^3 = 2 \times (-27) = -54 \]

Vérification terme à terme : 2, puis \(-6\), puis 18, puis \(-54\) (on multiplie chaque fois par \(-3\)).

Aussi, les trois suites sont données sous forme explicite : on remplace directement \(n\) par 1, 2 et 3.

1) \(u_n = \dfrac{3n+1}{2n}\) :

\[ u_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \qquad u_2 = \frac{6 + 1}{4} = \frac{7}{4} \qquad u_3 = \frac{9 + 1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

De plus, 2) \(u_n = 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) :

\[ u_1 = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \qquad u_2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \qquad u_3 = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \]

De plus, 3) \(u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} 2^k\) est la somme des puissances de 2 de \(2^0\) jusqu’à \(2^n\) (il y a \(n + 1\) termes, le premier est \(2^0 = 1\)) :

\[ u_1 = 1 + 2 = 3 \qquad u_2 = 1 + 2 + 4 = 7 \qquad u_3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \]

Enfin, on remarque que \(u_n = 2^{n+1} – 1\) (3, 7, 15 sont 4 − 1, 8 − 1, 16 − 1).

1) a) \(u_n = 2n^2 – 5n\) :

\[ u_0 = 0 – 0 = 0 \qquad u_1 = 2 – 5 = -3 \qquad u_2 = 2 \times 4 – 10 = -2 \]

Par ailleurs, b) \(u_n = (n+1) \times (-2)^n\) (attention : \((-2)^0 = 1\)) :

\[ u_0 = 1 \times 1 = 1 \qquad u_1 = 2 \times (-2) = -4 \qquad u_2 = 3 \times 4 = 12 \]

c) \(u_n = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} (2i+1)\) est la somme des \(n + 1\) premiers nombres impairs :

\[ u_0 = 1 \qquad u_1 = 1 + 3 = 4 \qquad u_2 = 1 + 3 + 5 = 9 \]

Donc, on reconnaît les carrés : \(u_n = (n+1)^2\).

2) Sur la calculatrice, on passe en mode Suite (ou « récurrence »), on saisit \(u(n) = 2n^2 – 5n\) puis \(u(n) = (n+1) \times (-2)^n\) en forme explicite, avec \(n\) qui commence à 0, et on affiche le tableau de valeurs : on retrouve bien 0 ; −3 ; −2 pour a) et 1 ; −4 ; 12 pour b). Par ailleurs, pour b), les parenthèses autour de \(-2\) sont indispensables : sans elles, la machine calcule \(-2^n\), toujours négatif.

Ces trois suites sont définies par récurrence : chaque terme se calcule à partir du précédent, en partant de \(u_0\).

Donc, Première suite : \(u_0 = -2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3\).

1)

\[ u_1 = \frac{1}{2} \times (-2) + 3 = 2 \qquad u_2 = \frac{1}{2} \times 2 + 3 = 4 \qquad u_3 = \frac{1}{2} \times 4 + 3 = 5 \]

Aussi, 2) On remplace \(n\) par \(n – 1\) (pour \(n \geqslant 1\)) : \(u_n = \dfrac{1}{2}u_{n-1} + 3\).

Deuxième suite : \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = -2u_n\).

De plus, 1) \(u_1 = -2 \times 2 = -4\), \(u_2 = -2 \times (-4) = 8\), \(u_3 = -2 \times 8 = -16\).

2) Pour \(n \geqslant 1\) : \(u_n = -2u_{n-1}\).

Ainsi, Troisième suite : \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = nu_n + 3\). Ici le coefficient dépend du rang, il faut bien utiliser la valeur de \(n\) du calcul :

\[ \begin{aligned} u_1 &= 0 \times u_0 + 3 = 3 \quad (n = 0) \\ u_2 &= 1 \times u_1 + 3 = 6 \quad (n = 1) \\ u_3 &= 2 \times u_2 + 3 = 15 \quad (n = 2) \end{aligned} \]

Donc, 2) En remplaçant \(n\) par \(n – 1\) partout, y compris dans le coefficient : \(u_n = (n-1)u_{n-1} + 3\) pour \(n \geqslant 1\).

3) En mode Suite de la calculatrice, on choisit le type « récurrent » et on saisit la relation sous la forme donnée en 2) (par exemple \(u(n) = 0{,}5\,u(n-1) + 3\) avec \(u(0) = -2\)) : le tableau de valeurs affiche les mêmes termes.

Ensuite, a) \(u_0 = -3\) et \(u_{n+1} = -u_n – 5\).

1) \(u_1 = -(-3) – 5 = -2\), \(u_2 = -(-2) – 5 = -3\), \(u_3 = -(-3) – 5 = -2\). Puis la suite alterne entre \(-3\) et \(-2\).

Également, 2) Pour \(n \geqslant 1\) : \(u_n = -u_{n-1} – 5\).

b) \(u_0 = 7\) et \(u_{n+1} = (n+1)u_n – 4\).

1)

\[ \begin{aligned} u_1 &= (0 + 1) \times u_0 – 4 = 7 – 4 = 3 \\ u_2 &= (1 + 1) \times u_1 – 4 = 6 – 4 = 2 \\ u_3 &= (2 + 1) \times u_2 – 4 = 6 – 4 = 2 \end{aligned} \]

2) En remplaçant \(n\) par \(n – 1\) : \(n – 1 + 1 = n\), donc \(u_n = nu_{n-1} – 4\) pour \(n \geqslant 1\).

Aussi, c) \(u_0 = 2\), \(u_1 = -1\) et \(u_{n+2} = 2u_n – u_{n+1}\) : chaque terme dépend des deux termes précédents.

1) \(u_1 = -1\) est donné. Puis :

\[ \begin{aligned} u_2 &= 2u_0 – u_1 = 2 \times 2 – (-1) = 5 \quad (n = 0) \\ u_3 &= 2u_1 – u_2 = 2 \times (-1) – 5 = -7 \quad (n = 1) \end{aligned} \]

1) a) \(u_n = n^3\) : \(u_n\) se calcule directement à partir de \(n\), c’est une suite définie de façon explicite (\(u_n = f(n)\) avec \(f(x) = x^3\)).

\[ u_0 = 0 \qquad u_1 = 1 \qquad u_2 = 8 \qquad u_3 = 27 \]

Donc, b) \(v_0 = -5\) et \(v_{n+1} = 2v_n + 4\) : chaque terme se calcule à partir du précédent, c’est une suite définie par récurrence.

\[ v_0 = -5 \qquad v_1 = 2 \times (-5) + 4 = -6 \qquad v_2 = 2 \times (-6) + 4 = -8 \qquad v_3 = 2 \times (-8) + 4 = -12 \]

Ainsi, c) \(w_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{n}\), définie sur \(\mathbb{N}^*\) : \(w_n\) dépend seulement de \(n\), c’est une définition explicite (sous forme de somme). Ensuite, le premier terme est \(w_1\).

\[ w_1 = 1 \qquad w_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \qquad w_3 = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \qquad w_4 = \frac{11}{6} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} \]

On peut aussi remarquer que \(w_{n+1} = w_n + \dfrac{1}{n+1}\), ce qui donne une relation de récurrence pratique pour le calcul.

Par ailleurs, 2) À la calculatrice (mode Suite) : \(u(n) = n^3\) en explicite ; \(v(n+1) = 2v(n) + 4\) en récurrent avec \(v(0) = -5\) ; \(w(n+1) = w(n) + 1/(n+1)\) avec \(w(1) = 1\). Puis les tableaux de valeurs donnent 0 ; 1 ; 8 ; 27, puis −5 ; −6 ; −8 ; −12, puis 1 ; 1,5 ; 1,833… ; 2,083…, ce qui confirme les calculs.

Enfin, Première suite : \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+1}\).

\[ u_4 = \frac{2 \times 4 + 1}{4 + 1} = \frac{9}{5} \]

Deuxième suite : \(u_n = \sqrt{n-1}\), définie pour \(n\) non nul (il faut \(n – 1 \geqslant 0\)). De plus, les trois premiers termes sont donc \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) :

\[ u_1 = \sqrt{0} = 0 \qquad u_2 = \sqrt{1} = 1 \qquad u_3 = \sqrt{2} \]

Donc, Troisième suite : \(u_n = (n-5)^2 + 2\).

\[ u_3 = (3 – 5)^2 + 2 = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \]

Quatrième suite : \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 2u_n – 4\).

\[ u_1 = 2 \times 3 – 4 = 2 \qquad u_2 = 2 \times 2 – 4 = 0 \]

Ensuite, Première suite : \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{u_n} + 1\).

\[ u_1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \qquad u_2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} \qquad u_3 = \frac{4}{7} + 1 = \frac{11}{7} \]

Par ailleurs, (l’inverse de \(\dfrac{4}{3}\) est \(\dfrac{3}{4}\), celui de \(\dfrac{7}{4}\) est \(\dfrac{4}{7}\)).

Deuxième suite : \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = (n+1)u_n\).

Ainsi, 1) \(u_1 = (0 + 1) \times u_0 = 2\) et \(u_2 = (1 + 1) \times u_1 = 4\).

2) En remplaçant \(n\) par \(n – 1\) : \(u_n = nu_{n-1}\) pour \(n \geqslant 1\).

Également, Troisième suite : \(u_n = 1 + 2 + \dots + n\), pour \(n \geqslant 1\).

\[ u_1 = 1 \qquad u_2 = 1 + 2 = 3 \qquad u_3 = 1 + 2 + 3 = 6 \qquad u_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \]

(on retrouve la formule \(u_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\), par exemple \(u_4 = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10\)).

Ainsi, Quatrième suite : \(u_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dots + \dfrac{1}{2^n}\), pour \(n \geqslant 1\).

\[ u_1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \qquad u_2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \qquad u_3 = \frac{7}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8} \qquad u_4 = \frac{15}{8} + \frac{1}{16} = \frac{31}{16} \]

Aussi, le symbole \(\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\) signifie : on remplace \(k\) par 0, 1, 2, 3 et on additionne les résultats.

Calculer.

\[ \begin{aligned} \textbf{1)}\ \sum_{k=0}^{3} k^2 &= 0 + 1 + 4 + 9 = 14 \\ \textbf{2)}\ \sum_{k=0}^{3} (-1)^k &= 1 – 1 + 1 – 1 = 0 \\ \textbf{3)}\ \sum_{k=0}^{2} \frac{k}{k+1} &= 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} \\ \textbf{4)}\ \sum_{k=0}^{2} (2k+1) \times (-1)^k &= 1 \times 1 + 3 \times (-1) + 5 \times 1 = 1 – 3 + 5 = 3 \end{aligned} \]

Compléter.

Enfin, 1) Les termes sont les entiers de 3 à 9 : \(3 + 4 + 5 + \dots + 9 = \displaystyle\sum_{k=3}^{9} k\) (cette somme vaut 42).

2) Les termes sont les puissances de \(\dfrac{1}{2}\), de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1\) à \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}\) :

\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \sum_{k=0}^{4} \left(\frac{1}{2}\right)^k \]

Aussi, (cette somme de termes d’une suite géométrique vaut \(\dfrac{31}{16}\)).

Aussi, Premier QCM. On calcule les premiers termes : \(w_0 = -1\), \(w_1 = 3 \times (-1) – 2 = -5\), \(w_2 = 3 \times (-5) – 2 = -17\), \(w_3 = 3 \times (-17) – 2 = -53\).

• Différences : \(w_1 – w_0 = -4\) et \(w_2 – w_1 = -12\) ne sont pas égales, donc la suite n’est pas arithmétique (ce qui élimine c).
• Quotients : \(\dfrac{w_1}{w_0} = 5\) et \(\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{17}{5}\) ne sont pas égaux, donc la suite n’est pas géométrique (ce qui élimine a et b).

Le « −2 » de la relation empêche la suite d’être géométrique, même si l’on multiplie par 3. Ainsi, Bonne réponse : d.

Second QCM. Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_1\) et de raison \(r\) : \(u_n = u_1 + (n-1)r\).

\[ u_n = 2 + (n-1) \times (-5) = 2 – 5n + 5 = 7 – 5n \]

Ainsi, Contrôle : \(u_1 = 7 – 5 = 2\). Ensuite, la réponse a donnerait \(u_1 = -3\) (elle correspond à un premier terme \(u_0 = 2\)), et la réponse d est une suite géométrique. Bonne réponse : c.

Aussi, Premier QCM. Pour une suite géométrique de premier terme \(v_1\) et de raison \(q\) : \(v_n = v_1 \times q^{n-1}\) (l’exposant est \(n – 1\) car on part du rang 1).

\[ v_n = 2 \times (-5)^{n-1} \]

Également, Contrôle : \(v_1 = 2 \times (-5)^0 = 2\). Avec la réponse a, on aurait \(v_1 = 2 \times (-5) = -10\). Bonne réponse : b.

Second QCM. \(t_n = \dfrac{1}{2}n – 3\) est une suite arithmétique de raison \(\dfrac{1}{2}\) : pour tout \(n\),

\[ t_{n+1} – t_n = \frac{1}{2}(n+1) – 3 – \frac{1}{2}n + 3 = \frac{1}{2} \gt 0 \]

La suite est donc croissante dès le rang 0 : \(t_0 = -3\), \(t_1 = -2{,}5\), \(t_2 = -2\)… Également, Bonne réponse : a. (La réponse d n’est pas fausse à proprement parler, puisqu’une suite croissante depuis 0 l’est aussi à partir de 3, mais elle est moins précise : la réponse attendue est a.)

Aussi, Premier QCM : \(u_n = -3n + 5\).

• \(u_{n+1} – u_n = -3(n+1) + 5 – (-3n + 5) = -3\) : c’est une suite arithmétique de raison \(-3\). La réponse a est juste, la b est fausse (5 est le premier terme, pas la raison).
• \(u_0 = -3 \times 0 + 5 = 5\) : la réponse c est juste, la d est fausse.

Également, Second QCM : \(v_n = -3 \times 5^n\).

• \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{-3 \times 5^{n+1}}{-3 \times 5^n} = 5\) : c’est une suite géométrique de raison 5. Ensuite, la réponse b est juste, la a est fausse.
• \(v_0 = -3 \times 5^0 = -3 \times 1 = -3\) : la réponse d est juste, la c est fausse.

De plus, Premier QCM. On met 2 en facteur : les termes 2, 4, …, 20 sont les doubles de 1, 2, …, 10.

\[ 2 + 4 + 6 + \dots + 20 = 2 \times (1 + 2 + \dots + 10) = 2 \times \frac{10 \times 11}{2} = 10 \times 11 = 110 \]

Également, (avec la formule \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)). Par ailleurs, les réponses a, b et d sont donc toutes égales à la somme : ce sont trois écritures du même nombre 110. Enfin, Seule la c est fausse : elle vaut 55, c’est la somme \(1 + 2 + \dots + 10\) sans le facteur 2.

Second QCM. \(1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{10}\) est la somme des termes d’une suite géométrique de raison 5, de \(5^0\) à \(5^{10}\) : il y a 11 termes. Également, Avec la formule \(1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) :

\[ 1 + 5 + \dots + 5^{10} = \frac{1 – 5^{11}}{1 – 5} = \frac{1 – 5^{11}}{-4} = \frac{5^{11} – 1}{4} = \frac{1}{4}\left(5^{11} – 1\right) \]

Par ailleurs, les réponses a et c sont justes (c’est le même nombre, 12 207 031). Puis les réponses b et d oublient le dernier terme : l’exposant doit être le nombre de termes, 11, et non 10.

Toutes les suites sont définies de façon explicite : on remplace \(n\) par 0, 1, 2, 3 puis 10. Par ailleurs, Détail de quelques calculs :

• 2. \(u_1 = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}\), \(u_2 = \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3}\), \(u_3 = \dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{11}{4}\), \(u_{10} = \dfrac{10}{11} + 2 = \dfrac{32}{11}\).
• De plus, 3. \(u_{10} = 100 – 70 + 2 = 32\).
• 4. \(u_0 = 2^0 – 3 = 1 – 3 = -2\) et \(u_{10} = 1\,024 – 3 = 1\,021\).
• 5. \((-1)^n\) vaut 1 si \(n\) est pair, \(-1\) si \(n\) est impair : \(u_1 = -1 – 1 = -2\), \(u_{10} = 1 – 10 = -9\).
• Aussi, 6. \(u_{10} = \dfrac{3}{4} – \dfrac{10}{4} = -\dfrac{7}{4}\).

\(u_0 = 20\) et \(u_{n+1} = u_n – (n – 4)^2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. On applique la relation de récurrence avec \(n = 0\), puis \(n = 1\), puis \(n = 2\) :

\[ \begin{aligned} u_1 &= u_0 – (0 – 4)^2 = 20 – 16 = 4 \\ u_2 &= u_1 – (1 – 4)^2 = 4 – 9 = -5 \\ u_3 &= u_2 – (2 – 4)^2 = -5 – 4 = -9 \end{aligned} \]

Enfin, les quatre premiers termes sont \(u_0 = 20\), \(u_1 = 4\), \(u_2 = -5\), \(u_3 = -9\).

2. Les termes diminuent : on conjecture que la suite \((u_n)\) est décroissante.

3. Ensuite, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs. Ensuite, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[ u_{n+1} – u_n = -(n – 4)^2 \]

Un carré est toujours positif ou nul, donc \(-(n – 4)^2 \leqslant 0\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\). Puis la suite est donc décroissante. Remarque : pour \(n = 4\), la différence est nulle (\(u_5 = u_4 = -10\)), la décroissance est donc au sens large.

Une suite est arithmétique lorsque la différence \(u_{n+1} – u_n\) est une constante (la raison), indépendante de \(n\).

Par ailleurs, 1. \(u_{n+1} – u_n = 7(n + 1) – 3 – (7n – 3) = 7\). De plus, la différence est constante : la suite est arithmétique, de premier terme \(u_0 = -3\) et de raison \(r = 7\).

Ainsi, 2. \(u_{n+1} – u_n = (n + 1)^2 + 4 – (n^2 + 4) = 2n + 1\), qui dépend de \(n\). Contre-exemple chiffré : \(u_0 = 4\), \(u_1 = 5\), \(u_2 = 8\), et \(u_1 – u_0 = 1 \neq u_2 – u_1 = 3\). Ensuite, la suite n’est pas arithmétique.

Également, 3. \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2 \times 1 + 7 = 9\), \(u_2 = 2 \times 9 + 7 = 25\). Par ailleurs, on a \(u_1 – u_0 = 8\) et \(u_2 – u_1 = 16\) : les différences ne sont pas égales, la suite n’est pas arithmétique.

Ensuite, 4. \(u_{n+1} – u_n = n + 9\), qui dépend de \(n\). Par exemple \(u_1 = -3\), \(u_2 = -3 + 1 + 9 = 7\), \(u_3 = 7 + 2 + 9 = 18\) : les différences valent \(10\) puis \(11\). Puis la suite n’est pas arithmétique.

Pour une suite arithmétique de raison \(r\), on a pour tous entiers \(n\) et \(p\) : \(u_n = u_p + (n – p)r\).

1. \(u_n = u_2 + (n – 2) \times 4 = 2 + 4n – 8\), donc \(u_n = 4n – 6\).

2. \(u_n = u_5 + (n – 5) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 7 – \dfrac{1}{2}n + \dfrac{5}{2}\), donc \(u_n = -\dfrac{1}{2}n + \dfrac{19}{2}\).

3. \(u_n = u_3 + (n – 3) \times 12 = 4 + 12n – 36\), donc \(u_n = 12n – 32\).

4. \(u_n = u_8 + (n – 8) \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{37}{2} – \dfrac{1}{4}n + 2\), donc \(u_n = -\dfrac{1}{4}n + \dfrac{41}{2}\).

Vérification pour le 4 : \(-\dfrac{8}{4} + \dfrac{41}{2} = -2 + \dfrac{41}{2} = \dfrac{37}{2}\). ✓

Une suite géométrique de raison \(q\) vérifie \(v_{n+1} = q \times v_n\) : on passe d’un terme au suivant en multipliant par \(q\).

1. \(v_{n+1} = 4v_n\) : \(v_0 = 3\), \(v_1 = 12\), \(v_2 = 48\), \(v_3 = 192\), \(v_4 = 768\).

2. \(v_{n+1} = -3v_n\) : \(v_0 = 2\), \(v_1 = -6\), \(v_2 = 18\), \(v_3 = -54\), \(v_4 = 162\). Ensuite, les signes alternent car la raison est négative.

3. \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n\), avec un premier terme d’indice 1 : \(v_1 = 5\), \(v_2 = \dfrac{5}{2}\), \(v_3 = \dfrac{5}{4}\), \(v_4 = \dfrac{5}{8}\), \(v_5 = \dfrac{5}{16}\).

4. \(v_{n+1} = 2v_n\) : \(v_1 = -\dfrac{1}{4}\), \(v_2 = -\dfrac{1}{2}\), \(v_3 = -1\), \(v_4 = -2\), \(v_5 = -4\).

Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(q\). Puis pour prouver qu’elle ne l’est pas, un contre-exemple sur les premiers termes suffit.

1. \(v_{n+1} = 8^{n+1} = 8 \times 8^n = 8v_n\) : suite géométrique, \(v_0 = 8^0 = 1\), \(q = 8\).

2. \(v_0 = 0\), \(v_1 = 1\), \(v_2 = 16\). Si la suite était géométrique, on aurait \(v_1 = q \times v_0 = 0\), ce qui est faux. De plus, la suite n’est pas géométrique.

3. \(v_{n+1} = 2 \times 3^{n+1} = 3 \times (2 \times 3^n) = 3v_n\) : suite géométrique, \(v_0 = 2\), \(q = 3\).

4. \(v_n = -5 \times 2^{n+1} = -10 \times 2^n\), donc \(v_{n+1} = 2v_n\) : suite géométrique, \(v_0 = -5 \times 2 = -10\), \(q = 2\).

5. \(v_0 = 1\), \(v_1 = 3 \times 1 + 0 = 3\), \(v_2 = 3 \times 3 + 3 = 12\). \(\dfrac{v_1}{v_0} = 3\) mais \(\dfrac{v_2}{v_1} = 4\) : la suite n’est pas géométrique.

6. \(v_0 = 2\), \(v_1 = 5 + 14 = 19\), \(v_2 = 5 + 133 = 138\). \(\dfrac{v_1}{v_0} = 9{,}5\) mais \(\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{138}{19} \approx 7{,}26\) : la suite n’est pas géométrique.

1. La boucle calcule \(U = 2i – 1\) pour \(i = 1, 2, \dots, 10\). Ensuite, les valeurs successives sont \(1, 3, 5, \dots\) et la dernière est obtenue pour \(i = 10\) :

\[ U = 2 \times 10 – 1 = 19 \]

2. La valeur calculée au passage numéro \(n\) est \(2n – 1\). Par ailleurs, le terme général de la suite est donc \(u_n = 2n – 1\), pour \(n\) entier de 1 à 10 (ce sont les nombres impairs). C’est une suite arithmétique de premier terme \(u_1 = 1\) et de raison 2.

Pour obtenir \(u_{n-1}\) (avec \(n \geqslant 1\)) ou \(u_{n+1}\), on remplace \(n\) par \(n – 1\) ou par \(n + 1\) partout dans l’expression, avec des parenthèses.

• 1. \(u_{n-1} = 6(n – 1) + 8 = 6n + 2\) ; \(u_{n+1} = 6(n + 1) + 8 = 6n + 14\).
• 2. \(u_{n-1} = (n – 1)^2 – 2(n – 1) + 8 = n^2 – 4n + 11\) ; \(u_{n+1} = (n + 1)^2 – 2(n + 1) + 8 = n^2 + 7\).
• 3. \(u_{n-1} = \dfrac{(n – 1)n}{n + 1}\) ; \(u_{n+1} = \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{n + 3}\).
• 4. \(u_{n-1} = 5^{n-1}\) ; \(u_{n+1} = 5^{n+1}\).
• 5. \(u_{n-1} = \dfrac{3^{n}}{2^{n-1}}\) ; \(u_{n+1} = \dfrac{3^{n+2}}{2^{n+1}}\).
• 6. \(u_{n-1} = \dfrac{9(n – 1) – 5}{4(n – 1) + 6} = \dfrac{9n – 14}{4n + 2}\) ; \(u_{n+1} = \dfrac{9(n + 1) – 5}{4(n + 1) + 6} = \dfrac{9n + 4}{4n + 10}\).
• 7. \(u_{n-1} = \left(\dfrac{(n – 1)^2}{n}\right)^{n}\) ; \(u_{n+1} = \left(\dfrac{(n + 1)^2}{n + 2}\right)^{n+2}\).

Piège classique : \(u_{n+1}\) n’est pas \(u_n + 1\). Par exemple pour la suite 1, \(u_n + 1 = 6n + 9\), alors que \(u_{n+1} = 6n + 14\).

On calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) en appliquant la relation de récurrence avec la bonne valeur de \(n\) à chaque étape.

1. \(u_{n+1} = 3u_n – 4n\) : \(u_1 = 3 \times 2 – 4 \times 0 = 6\) ; \(u_2 = 3 \times 6 – 4 \times 1 = 14\) ; \(u_3 = 3 \times 14 – 4 \times 2 = 34\).

2. \(u_{n+1} = u_n^2 + \dfrac{1}{2n + 1}\) :

\[ \begin{aligned} u_1 &= 0^2 + \frac{1}{1} = 1 \\ u_2 &= 1^2 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \\ u_3 &= \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{5} = \frac{16}{9} + \frac{1}{5} = \frac{80 + 9}{45} = \frac{89}{45} \end{aligned} \]

3. \(u_n = 5u_{n-1} – 2\) : \(u_1 = 5 \times 3 – 2 = 13\) ; \(u_2 = 5 \times 13 – 2 = 63\) ; \(u_3 = 5 \times 63 – 2 = 313\).

4. \(u_{n+2} = 2u_{n+1} + u_n\) : chaque terme dépend des deux précédents. \(u_1 = 2\) (donné) ; avec \(n = 0\), \(u_2 = 2u_1 + u_0 = 4 + 1 = 5\) ; avec \(n = 1\), \(u_3 = 2u_2 + u_1 = 10 + 2 = 12\). (Au-delà : \(u_4 = 2 \times 12 + 5 = 29\).)

5. \(u_{n+2} = u_{n+1} + n\) : \(u_1 = 2\) (donné) ; avec \(n = 0\), \(u_2 = u_1 + 0 = 2\) ; avec \(n = 1\), \(u_3 = u_2 + 1 = 3\). (Au-delà : \(u_4 = u_3 + 2 = 5\).)

1. La variable U vaut 1 au départ, puis, à chacun des 10 passages dans la boucle, elle est remplacée par \(\dfrac{U – 1}{U – 2}\). Puis l’algorithme calcule donc les termes successifs d’une suite de premier terme \(u_0 = 1\), et il s’arrête sur le terme \(u_{10}\). Ensuite, les premières valeurs :

\[ u_1 = \frac{1 – 1}{1 – 2} = 0,\quad u_2 = \frac{0 – 1}{0 – 2} = \frac{1}{2},\quad u_3 = \frac{\frac{1}{2} – 1}{\frac{1}{2} – 2} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \]

En continuant : \(u_4 = \dfrac{2}{5}\), \(u_5 = \dfrac{3}{8}\), \(u_6 = \dfrac{5}{13}\), \(u_7 = \dfrac{8}{21}\), \(u_8 = \dfrac{13}{34}\), \(u_9 = \dfrac{21}{55}\), et la valeur finale affichée est \(u_{10} = \dfrac{34}{89} \approx 0{,}382\).

2. L’instruction \(U \leftarrow \dfrac{U – 1}{U – 2}\) traduit la relation de récurrence :

\[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{u_n – 1}{u_n – 2} \ \text{ pour tout entier } n \]

1. On remplace \(n\) par \(n – 1\) (pour \(n \geqslant 1\)), puis par \(n + 1\), dans chaque relation de récurrence.

• a. \(u_n = 5u_{n-1} – 3\) ; \(u_{n+2} = 5u_{n+1} – 3\).
• b. \(u_n = 4u_{n-1} – (n – 4)\) ; \(u_{n+2} = 4u_{n+1} – (n – 2)\).
• c. \(u_n = n\,u_{n-1} + 2\) ; \(u_{n+2} = (n + 2)u_{n+1} + 2\).
• d. \(u_n = \dfrac{u_{n-1}^2}{2n + 1}\) ; \(u_{n+2} = \dfrac{u_{n+1}^2}{2n + 5}\).

2. Dans l’expression de \(u_{n+2}\), on remplace \(u_{n+1}\) par son expression en fonction de \(u_n\).

• a. \(u_{n+2} = 5(5u_n – 3) – 3\), donc \(u_{n+2} = 25u_n – 18\).
• b. \(u_{n+2} = 4\big(4u_n – (n – 3)\big) – (n – 2) = 16u_n – 4n + 12 – n + 2\), donc \(u_{n+2} = 16u_n – 5n + 14\).
• c. \(u_{n+2} = (n + 2)\big((n + 1)u_n + 2\big) + 2\), donc \(u_{n+2} = (n + 1)(n + 2)u_n + 2n + 6\).
• d. \(u_{n+2} = \dfrac{1}{2n + 5}\left(\dfrac{u_n^2}{2n + 3}\right)^2\), donc \(u_{n+2} = \dfrac{u_n^4}{(2n + 3)^2(2n + 5)}\).

Vérification pour a : \(u_0 = 3\), \(u_1 = 12\), \(u_2 = 57\) et \(25 \times 3 – 18 = 57\). ✓

1. On étudie le signe de \(u_{n+1} – u_n\) :

\[ u_{n+1} – u_n = \frac{n + 2}{n + 3} – \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{(n + 2)^2 – (n + 1)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{1}{(n + 2)(n + 3)} \]

Car \((n + 2)^2 – (n + 1)(n + 3) = n^2 + 4n + 4 – n^2 – 4n – 3 = 1\). Puis cette différence est strictement positive : la suite est strictement croissante.

2. Tous les termes sont strictement positifs : on compare le quotient à 1.

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{n + 1} \times \frac{n}{3^n} = \frac{3n}{n + 1} \]

Pour \(n \geqslant 1\), \(3n – (n + 1) = 2n – 1 \gt 0\), donc \(\dfrac{3n}{n + 1} \gt 1\) : la suite est strictement croissante.

3. \(u_{n+1} – u_n = (n + 1)^2 – 3(n + 1) + 12 – (n^2 – 3n + 12) = 2n + 1 – 3 = 2n – 2\).

• Pour \(n = 0\) : \(u_1 – u_0 = -2 \lt 0\) (\(u_0 = 12\), \(u_1 = 10\)).
• Pour \(n \geqslant 1\) : \(2n – 2 \geqslant 0\), donc \(u_{n+1} \geqslant u_n\) (\(u_1 = u_2 = 10\), puis \(u_3 = 12\)…).

La suite n’est pas monotone sur \(\mathbb{N}\) : elle décroît de \(u_0\) à \(u_1\), puis elle est croissante à partir du rang 1.

4. On réduit au même dénominateur : \(u_n = \dfrac{(n + 1) – n}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n(n + 1)}\). Alors :

\[ u_{n+1} – u_n = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} – \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n – (n + 2)}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{-2}{n(n + 1)(n + 2)} \lt 0 \]

La suite est strictement décroissante.

1. On part de \(u_0 = 5\) placé sur l’axe des abscisses. De plus, on monte (ou on descend) verticalement jusqu’à la courbe : l’ordonnée obtenue est \(f(u_0) = u_1\). Ensuite, on se déplace horizontalement jusqu’à la droite \(y = x\), qui ramène cette valeur sur l’axe des abscisses. Par ailleurs, on recommence à partir de \(u_1\), et ainsi de suite.

Valeurs exactes, pour contrôler le tracé :

\[ u_1 = \frac{6}{7} – 1 = -\frac{1}{7} \approx -0{,}14,\quad u_2 = \frac{29}{13} \approx 2{,}23,\quad u_3 = \frac{23}{55} \approx 0{,}42,\quad u_4 = \frac{197}{133} \approx 1{,}48 \]

2. Sur l’axe des abscisses, les termes sont placés alternativement à gauche et à droite du nombre 1 : \(u_1 \lt u_3 \lt 1 \lt u_4 \lt u_2 \lt u_0\). Puis on conjecture :

• la suite n’est pas monotone (elle n’est ni croissante ni décroissante : \(u_1 \lt u_0\) mais \(u_2 \gt u_1\)) ;
• les termes s’enroulent en « escargot » autour du point d’intersection de la courbe et de la droite, dont l’abscisse vaut 1 (en effet \(f(1) = \dfrac{6}{3} – 1 = 1\)) : la suite semble converger vers 1.

1. Chaque rangée compte une canette de plus que la précédente (on compte du haut vers le bas) : \(c_1 = 1\), \(c_2 = 2\), \(c_3 = 3\), \(c_4 = 4\), \(c_5 = 5\).

2. On conjecture que \(c_{n+1} = c_n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\). Ensuite, la suite \((c_n)\) est donc arithmétique de premier terme \(c_1 = 1\) et de raison \(r = 1\).

3. \(c_n = c_1 + (n – 1) \times 1 = 1 + n – 1\), donc \(c_n = n\).

4. Pour sept rangées, on additionne les sept premiers termes :

\[ c_1 + c_2 + \dots + c_7 = 1 + 2 + \dots + 7 = \frac{7 \times 8}{2} = 28 \]

5. Avec \(n\) rangées, il faut \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\) canettes. À la calculatrice (tableau de valeurs de \(\dfrac{n(n + 1)}{2}\)) : 12 rangées demandent 78 canettes, 13 rangées en demandent \(\dfrac{13 \times 14}{2} = 91\). Avec 91 canettes, on dresse exactement 13 rangées.

1. On compte les allumettes ligne par ligne sur la troisième étape : le niveau 1 (en haut) en compte 2, le niveau 2 en compte 4, le niveau 3 en compte 6. Chaque nouveau niveau ajoute un « toit » de plus, soit 2 allumettes de plus.

Les quatre premiers termes sont \(a_1 = 2\), \(a_2 = 4\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 8\).

2. Le niveau \(n\) est formé de \(n\) « toits » de 2 allumettes, donc \(a_n = 2n\). Alors \(a_{n+1} – a_n = 2(n + 1) – 2n = 2\) : la suite est arithmétique de premier terme \(a_1 = 2\) et de raison 2.

3. La dixième étape comporte les niveaux 1 à 10 :

\[ a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = 2(1 + 2 + \dots + 10) = 2 \times \frac{10 \times 11}{2} = 110 \]

Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive, décroissante si sa raison est négative (constante si \(r = 0\)). Puis il suffit donc de trouver la raison.

1.

• a. \(u_n = 4n – 2\) : raison \(r = 4 \gt 0\), suite croissante.
• b. \(u_n = -\dfrac{3}{8}n + \dfrac{5}{8}\) : \(r = -\dfrac{3}{8} \lt 0\), suite décroissante.
• c. \(n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3)\), donc \(u_n = n + 1\) : \(r = 1 \gt 0\), suite croissante.
• d. \(3n^2 + 5n – 2 = (3n – 1)(n + 2)\), donc \(u_n = 3n – 1\) : \(r = 3 \gt 0\), suite croissante.

2. Avec deux termes, \(u_q – u_p = (q – p)r\), d’où \(r = \dfrac{u_q – u_p}{q – p}\).

• a. \(r = \dfrac{24 – 4}{8 – 3} = \dfrac{20}{5} = 4 \gt 0\) : croissante.
• b. \(r = \dfrac{\frac{1}{4} – \frac{7}{4}}{9 – 5} = \dfrac{-\frac{3}{2}}{4} = -\dfrac{3}{8} \lt 0\) : décroissante.
• c. \(r = \dfrac{-7 – 16}{32 – 13} = -\dfrac{23}{19} \lt 0\) : décroissante.
• d. \(r = \dfrac{309 – 159}{100 – 50} = \dfrac{150}{50} = 3 \gt 0\) : croissante.