Cercle trigonométrique et radians : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « cercle trigonométrique et radians », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur le début du chapitre de trigonométrie. D’abord, tu convertis des angles entre degrés et radians, puis tu associes des réels aux points du cercle trigonométrique grâce à l’enroulement de la droite réelle. Ensuite, tu cherches des mesures principales et tu places des points sur un cercle gradué.
La suite mobilise les valeurs remarquables du cosinus et du sinus, les angles associés et la relation fondamentale entre cosinus et sinus. Enfin, un problème d’horloge relie tout cela à une situation concrète. Fais ce contrôle sans calculatrice, comme à l’épreuve anticipée, dès que le cours sur le cercle trigonométrique est terminé et avant l’étude des fonctions cosinus et sinus.
Ce qu’évalue le contrôle : cercle trigonométrique et radians
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Trigonométrie (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Convertir une mesure d’angle de degrés en radians et inversement
- Associer un réel à un point du cercle trigonométrique et déterminer sa mesure principale
- Connaître les cosinus et sinus des valeurs remarquables et les retrouver sur le cercle
- Utiliser les angles associés π − x, π + x et −x pour simplifier une expression
- Calculer un cosinus ou un sinus manquant avec la relation cos² x + sin² x = 1
Avant de commencer le devoir
Garde un cercle trigonométrique au brouillon pendant tout le sujet : chaque réel se place en retirant des tours complets, c’est-à-dire des multiples de \(2\pi\). Pour une mesure principale, vérifie ensuite que ton résultat appartient bien à \(]-\pi \,;\, \pi]\). Avec les angles associés, dessine le point symétrique, puis lis le signe du cosinus et du sinus avant d’écrire la formule.
Le sujet du contrôle : cercle trigonométrique et radians
Exercice 1 – Degrés et radians (3 points)
Dans cet exercice, les résultats sont attendus sous forme exacte, donc sans valeur approchée.
- Convertis d’abord en radians les mesures suivantes : \(30^\circ\), \(135^\circ\) et \(240^\circ\).
- Convertis ensuite en degrés les mesures \(\frac{5\pi}{6}\), \(\frac{7\pi}{4}\) et \(\frac{2\pi}{5}\) radians.
Exercice 2 – Lire le cercle trigonométrique (4 points)
On a placé cinq points A, B, C, D et E sur le cercle trigonométrique de centre O, dans le repère orthonormé \((O \,;\, I, J)\). Les pointillés relient O à chaque point, et chaque point correspond à un angle multiple de \(\frac{\pi}{6}\) ou de \(\frac{\pi}{4}\).
- Pour chacun des points A, B, C, D et E, donne d’abord le réel de l’intervalle \([0 \,;\, 2\pi[\) qui lui est associé.
- Quel point de la figure est associé au réel \(-\frac{\pi}{4}\) ? Et quels points sont associés à \(\frac{25\pi}{6}\), puis à \(-\frac{2\pi}{3}\) ? Justifie chaque réponse.
Exercice 3 – Mesures principales (4 points)
On rappelle notamment que la mesure principale d’un angle est sa mesure appartenant à l’intervalle \(]-\pi \,;\, \pi]\).
- Détermine la mesure principale de chacun des réels \(\frac{17\pi}{6}\), \(-\frac{11\pi}{4}\), \(\frac{31\pi}{3}\) et \(-\frac{7\pi}{2}\).
- Reproduis alors le cercle ci-dessous, gradué en multiples de \(\frac{\pi}{6}\) et de \(\frac{\pi}{4}\), puis place les points M, N, P et Q associés respectivement à ces quatre réels.
- Sacha affirme que les réels \(\frac{29\pi}{4}\) et \(-\frac{3\pi}{4}\) sont associés au même point du cercle. A-t-il raison ? Justifie, car une réponse seule ne suffit pas.
Exercice 4 – Valeurs remarquables et angles associés (5 points)
- Donne d’abord, sans justification, la valeur exacte de \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\), \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) et \(\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\).
- On admet que \(\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\). Déduis-en les valeurs exactes de \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\), de \(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)\) et de \(\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right)\), en précisant l’angle associé utilisé.
- Pour tout réel \(x\), on pose \(A(x) = \sin(\pi – x) + \sin(\pi + x) + \cos(-x) – \cos(\pi – x)\). Montre que \(A(x) = 2\cos x\).
Exercice 5 – L’aiguille de l’horloge (4 points)
Par ailleurs, la grande aiguille d’une horloge mesure 15 cm. On choisit un repère orthonormé \((O \,;\, I, J)\) centré sur l’axe de l’horloge, dont l’unité est la longueur de l’aiguille : ainsi, l’extrémité M de l’aiguille se déplace sur le cercle trigonométrique. À 12 h 00, M est associé au réel \(\frac{\pi}{2}\). On admet alors qu’après \(t\) minutes, avec \(0 \leq t \leq 60\), M est associé au réel \(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi t}{30}\).
- Explique pourquoi l’aiguille tourne de \(\frac{\pi}{30}\) radian par minute, et pourquoi on retire cette quantité au lieu de l’ajouter.
- À 12 h 10, à quel réel le point M est-il associé ? Donne alors les coordonnées exactes de M.
- De même, détermine les coordonnées de M à 12 h 45.
- À un certain instant, l’ordonnée de M vaut \(\frac{3}{5}\) et son abscisse est négative. Calcule cette abscisse.
- Enfin, quelle longueur, en centimètres, l’extrémité de l’aiguille parcourt-elle en 25 minutes ? Donne la valeur exacte.
Réviser cercle trigonométrique et radians avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon fonctions trigonométriques ; entraîne-toi sur la fiche angles orientés et trigonométrie avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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