Fonction composée
En bref : Une fonction composée g∘f enchaîne deux machines : elle applique d’abord f à x, puis g au résultat obtenu, ce qui donne g(f(x)) ; l’ordre compte et change le résultat.
PremièreFonctions
Définition : Fonction composée
La fonction composée de \(f\) suivie de \(g\) branche la sortie de l’une sur l’entrée de l’autre. Elle se note \(g\circ f\) et se lit « \(g\) rond \(f\) » : pour chaque \(x\), \((g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)\).
La fonction écrite à droite agit en premier. Cette composition n’est en général pas commutative : \(g\circ f\) et \(f\circ g\) donnent des résultats différents. Elle n’existe que pour les \(x\) où \(f(x)\) est dans l’ensemble de définition de \(g\). Beaucoup de fonctions du lycée sont composées sans qu’on le dise : \((5x-2)^3\) est un cube appliqué à \(5x-2\).
Comment le reconnaître
- Une expression contient une parenthèse élevée à une puissance, ou une racine qui porte sur un calcul de \(x\).
- L’énoncé définit deux fonctions \(f\) et \(g\) et demande \(g(f(x))\) ou \(f(g(x))\).
- On rencontre le symbole \(\circ\) entre deux lettres de fonctions.
- Il faut dériver ou étudier une expression en plusieurs étages, comme \(\sqrt{3x-4}\).
La méthode
- Repérer la fonction qui agit en premier : celle qui est directement appliquée à \(x\).
- Calculer \(f(x)\), puis remplacer l’entrée de \(g\) par ce résultat, sans développer trop tôt.
- Pour trouver l’ensemble de définition de la fonction composée, imposer que \(f(x)\) soit autorisé pour \(g\).
- Pour décomposer une expression, nommer la partie intérieure \(f\) et l’opération extérieure \(g\).
Fonction composée : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\). Écrire \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\), puis les évaluer en \(3\). Ensuite, pour \(u(x)=3x-4\) et \(v(x)=\sqrt{x}\), déterminer l’ensemble de définition de \(v\circ u\).
Corrigé
\((g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2\), et \((f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1\). En \(3\) : \(f(3)=7\) puis \(g(7)=49\), tandis que \(g(3)=9\) puis \(f(9)=19\). Les deux résultats, \(49\) et \(19\), diffèrent.
Pour \(v\circ u\), la racine exige \(u(x)\ge 0\) : \(3x-4\ge 0\), donc \(x\ge\dfrac{4}{3}\). L’ensemble de définition est \(\left[\dfrac{4}{3}\,;\,+\infty\right[\).
À toi de jouer
Question 1
Avec \(f(x)=x-5\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\), calculer \((g\circ f)(-2)\).
Voir la réponse
\(f(-2)=-7\), puis \(g(-7)=-\dfrac{1}{7}\).
Question 2
Écrire \(h(x)=(5x-2)^3\) comme composée de deux fonctions simples.
Voir la réponse
On prend \(f(x)=5x-2\) puis \(g(x)=x^3\) : \(h=g\circ f\).
Ne pas confondre Fonction composée et Fonction
Composer n’est pas multiplier. Le produit de deux fonctions, \(f(x)\times g(x)\), calcule les deux images séparément avant de les multiplier. La composition fait passer l’image de \(f\) à l’intérieur de \(g\). Avec \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\), le produit vaut \((2x+1)x^2\) mais la composée vaut \((2x+1)^2\).
Pour aller plus loin
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Première · Fonctions
