Fonction
En bref : Une fonction est une règle de calcul qui transforme chaque nombre choisi au départ en un seul résultat, son image, noté f(x) quand le nombre choisi est x.
3èmeFonctions
Définition : Fonction
Une fonction fonctionne comme une machine à calculer : on entre un nombre \(x\), la machine applique toujours le même calcul, et elle renvoie un nombre noté \(f(x)\), l’image de \(x\).
On écrit \(f : x \mapsto f(x)\) ou \(f(x) = \ldots\) avec une formule. La règle essentielle est qu’un nombre de départ a une seule image. En revanche, un nombre d’arrivée peut provenir de plusieurs départs : on les appelle ses antécédents. Dans \(f(4) = 43\), le nombre 43 est l’image de 4 et 4 est un antécédent de 43.
Comment le reconnaître
- L’énoncé définit \(f(x)\) par une formule et demande de calculer « l’image de 4 » ou « \(f(-2)\) ».
- On doit « déterminer le ou les antécédents de 7 », c’est-à-dire résoudre une équation.
- Un tableau de valeurs ou une courbe relie des nombres de départ à des nombres d’arrivée.
- Un phénomène (tarif, distance, aire) dépend d’une grandeur et l’on veut l’écrire avec une formule.
La méthode
- Pour une image : remplacer \(x\) par le nombre donné, entre parenthèses, puis effectuer le calcul en respectant les priorités.
- Pour un antécédent de \(k\) : écrire l’équation \(f(x) = k\) et la résoudre.
- Écrire la réponse en phrase : « l’image de 4 est 43 » ou « les antécédents de 7 sont −2 et 2 ».
- Contrôler en recalculant l’image de chaque antécédent trouvé.
Fonction : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = 3x^2 – 5\). Calculer l’image de \(4\) et celle de \(-2\), puis trouver les antécédents de \(7\).
Corrigé
\(f(4) = 3 \times 4^2 – 5 = 3 \times 16 – 5 = 48 – 5 = 43\). Et \(f(-2) = 3 \times (-2)^2 – 5 = 3 \times 4 – 5 = 7\).
Pour les antécédents de \(7\), on résout \(3x^2 – 5 = 7\), soit \(3x^2 = 12\), puis \(x^2 = 4\). Donc \(x = 2\) ou \(x = -2\).
L’image de \(4\) est \(43\), celle de \(-2\) est \(7\), et les antécédents de \(7\) sont \(-2\) et \(2\).
À toi de jouer
Question 1
Soit \(g(x) = 2x + 9\). Calculer \(g(-3)\).
Voir la réponse
\(g(-3) = 2 \times (-3) + 9 = -6 + 9 = 3\).
Question 2
Un nombre peut-il avoir deux images différentes ? Et deux antécédents différents ?
Voir la réponse
Pas deux images : une seule par nombre de départ. En revanche deux antécédents, oui, comme \(-2\) et \(2\) pour 7 ci-dessus.
Ne pas confondre Fonction et Antécédent
L’image se calcule dans le sens direct : on part de \(x\) et l’on remplace dans la formule. L’antécédent se cherche à l’envers : on part d’un résultat et l’on résout une équation. Une image est toujours unique ; les antécédents d’un nombre peuvent être zéro, un ou plusieurs.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Image d'un nombre
- Antécédent
- Courbe représentative
- Tableau de valeurs
- Fonction affine
- Fonction linéaire
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