Antécédent
En bref : Un antécédent d’un nombre \(b\) par une fonction \(f\) est un nombre \(x\) dont l’image est \(b\), c’est-à-dire tel que \(f(x) = b\) ; un même nombre peut en avoir plusieurs, un seul ou aucun.
3èmeFonctions
Définition : Antécédent
Un antécédent remonte le chemin d’une fonction : à partir du résultat \(b\), on cherche le ou les nombres qui y mènent. Une fonction associe pourtant à chaque nombre \(x\) une seule image \(f(x)\). Si \(f(4) = 8\), alors \(4\) est un antécédent de \(8\).
Pour le trouver par le calcul, on résout l’équation \(f(x) = b\). Sur une courbe, on repère \(b\) sur l’axe vertical, on trace une horizontale et l’on lit les abscisses des points d’intersection. Un nombre admet une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents : pour \(x \mapsto x^2\), le nombre \(9\) en a deux, \(3\) et \(-3\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande « quel nombre a pour image 8 par la fonction f ».
- Une valeur de sortie est donnée et l’on cherche la valeur d’entrée qui l’a produite.
- Sur un graphique, on part d’un point de l’axe vertical et l’on cherche où lire sur l’axe horizontal.
- Il faut résoudre l’équation \(f(x) = \text{nombre}\).
La méthode
- Écrire l’équation \(f(x) = b\) en remplaçant \(b\) par la valeur donnée.
- La résoudre pour isoler \(x\).
- Vérifier en calculant l’image de la valeur trouvée : on doit retrouver \(b\).
- Conclure en indiquant tous les antécédents, ou « aucun » si l’équation n’a pas de solution.
Antécédent : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x) = 3x – 4\). Calculer l’image de \(5\), puis chercher les nombres qui ont pour image \(8\) et \(-10\).
Corrigé
Image de \(5\) : \(f(5) = 3 \times 5 – 4 = 11\).
Pour \(8\) : on résout \(3x – 4 = 8\), d’où \(3x = 12\) et \(x = 4\). Pour \(-10\) : \(3x – 4 = -10\), d’où \(3x = -6\) et \(x = -2\). Les réponses sont 4 et -2. Contrôle : \(f(4) = 8\) et \(f(-2) = -10\).
À toi de jouer
Question 1
Soit \(g(x) = 2x + 1\). Quel nombre a pour image \(15\) ?
Voir la réponse
\(2x + 1 = 15\), donc \(x = 7\).
Question 2
Soit \(h(x) = x^2\). Quels sont les antécédents de \(9\) par \(h\) ?
Voir la réponse
\(x^2 = 9\) donne \(x = 3\) ou \(x = -3\) : il y en a deux.
Ne pas confondre Antécédent et Image d'un nombre
L’image se calcule en remplaçant \(x\) par une valeur : on part de l’entrée pour obtenir la sortie, et il n’y en a qu’une. Il fait l’inverse, de la sortie vers l’entrée, et peut être multiple. Dans \(f(4) = 8\), \(8\) est l’image de \(4\), et \(4\) est un antécédent de \(8\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Fonctions
