Limite d’une fonction
En bref : La limite d’une fonction indique vers quelle valeur les images f(x) se dirigent quand x approche d’un réel ou devient immense, et vaut l’infini si elles grandissent sans borne.
TerminaleFonctions
Définition : Limite d'une fonction
La limite d’une fonction \(f\) rend compte de ce que deviennent les images lorsque \(x\) se rapproche d’une valeur \(a\), ou lorsque \(x\) devient immense. On écrit \(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
La limite peut être un réel \(\ell\), ou \(+\infty\), ou \(-\infty\). Elle peut aussi ne pas exister. Elle traduit des phénomènes de stabilisation ou d’explosion et donne les asymptotes de la courbe : une limite finie à l’infini fournit une droite horizontale, une limite infinie en un réel une droite verticale.
Comment le reconnaître
- L’énoncé écrit « déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) » ou « quand \(x\) tend vers \(2\) ».
- Une fraction est étudiée quand son dénominateur s’annule ou devient grand.
- On cherche les asymptotes d’une courbe.
- Un calcul direct donne une forme indéterminée comme \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty-\infty\).
La méthode
- Remplacer \(x\) par sa valeur limite et appliquer les opérations sur les limites.
- Si une forme indéterminée apparaît, transformer l’expression : factoriser le terme dominant, simplifier ou multiplier par la quantité conjuguée.
- Pour une fraction de polynômes en l’infini, ne garder que les termes de plus haut degré.
- Conclure en écrivant la limite et, si elle est utile, l’asymptote qui en découle.
Limite d'une fonction : exemple corrigé
Énoncé
Calculer la limite de \(f(x)=\frac{4x^2+x}{2x^2-3}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Corrigé
Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise \(x^2\) : \(f(x)=\frac{x^2\left(4+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(2-\frac{3}{x^2}\right)}=\frac{4+\frac{1}{x}}{2-\frac{3}{x^2}}\).
Comme \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{3}{x^2}\) tendent vers \(0\), la limite vaut \(\frac{4}{2}=2\). La droite \(y=2\) est asymptote horizontale.
À toi de jouer
Question 1
Déterminer la limite en \(3\) de \(\frac{x^2-9}{x-3}\).
Voir la réponse
On simplifie : \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), qui tend vers \(6\).
Question 2
Que vaut la limite de \(\frac{1}{x-1}\) quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures ?
Voir la réponse
Le dénominateur tend vers \(0^+\), donc la limite vaut \(+\infty\).
Ne pas confondre Limite d'une fonction et Limite d'une suite
La limite d’une suite concerne uniquement \(n\) qui tend vers \(+\infty\), puisque \(n\) est un entier. La limite d’une fonction peut se prendre en \(+\infty\), en \(-\infty\), mais aussi en un réel, ce qui permet d’étudier le voisinage d’un point et les asymptotes verticales.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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