Théorème des valeurs intermédiaires
En bref : Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une fonction continue sur un intervalle prend toute valeur comprise entre ses images aux extrémités ; il garantit des solutions d’équation.
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Définition : Théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires traduit une évidence graphique : une courbe tracée sans lever le crayon et qui passe d’un point bas à un point haut doit croiser toute hauteur intermédiaire.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) et si \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors l’équation \(f(x)=k\) possède au moins une solution dans \([a\,;\,b]\). Si \(f\) est de plus strictement monotone, cette solution est unique.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de montrer qu’une équation \(f(x)=0\) « admet une solution » sur un intervalle.
- On dispose de deux valeurs de \(x\) où \(f\) change de signe : le théorème des valeurs intermédiaires s’impose.
- La fonction est continue et strictement monotone, d’après un tableau de variations.
- On prépare un encadrement de solution par dichotomie ou par balayage.
La méthode
- Vérifier la continuité de \(f\) sur l’intervalle \([a\,;\,b]\), souvent comme conséquence de la dérivabilité.
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) (souvent \(0\)) est entre les deux.
- Pour l’unicité, montrer que \(f\) est strictement monotone, par le signe de \(f^{\prime}\).
- Rédiger : « d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution \(\alpha\in[a\,;\,b]\) ».
Théorème des valeurs intermédiaires : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=e^x-3x\) sur \([0\,;\,1]\). Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans cet intervalle.
Corrigé
\(f\) est continue (somme de fonctions continues) avec \(f(0)=1>0\) et \(f(1)=e-3\approx-0{,}28<0\) : \(0\) est entre les deux valeurs. Le théorème assure au moins une solution.
Pour l’unicité, \(f^{\prime}(x)=e^x-3\) est négatif sur \([0\,;\,1]\) car \(e^x\le e<3\) : \(f\) est strictement décroissante. L’équation a donc une unique solution \(\alpha\), avec \(\alpha\approx0{,}62\).
À toi de jouer
Question 1
\(g(x)=x^2-5\) vérifie \(g(2)=-1\) et \(g(3)=4\). Que garantit le théorème sur \([2\,;\,3]\) ?
Voir la réponse
\(g\) est continue et \(0\) est entre \(-1\) et \(4\) : l’équation \(g(x)=0\) a au moins une solution dans \([2\,;\,3]\) (c’est \(\sqrt{5}\)).
Question 2
\(h(x)=\frac{1}{x}\) vérifie \(h(-1)=-1\) et \(h(1)=1\). Peut-on conclure que \(h(x)=0\) a une solution ?
Voir la réponse
Non : \(h\) n’est pas continue sur \([-1\,;\,1]\) (non définie en \(0\)), l’hypothèse du théorème manque.
Ne pas confondre Théorème des valeurs intermédiaires et Dichotomie
Le théorème prouve qu’une solution existe sans dire où. La dichotomie est la méthode qui la localise en coupant l’intervalle en deux à répétition. On utilise d’abord l’un pour justifier l’autre.
Pour aller plus loin
Cours
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