Dichotomie
En bref : La dichotomie est une méthode qui encadre une solution de f(x) = 0 en coupant à chaque étape l’intervalle en deux et en gardant la moitié où la fonction change de signe.
TerminaleLogique et raisonnement
Définition : Dichotomie
La dichotomie (du grec « couper en deux ») localise une solution de \(f(x)=0\) quand on ne sait pas la calculer exactement. On part d’un intervalle \([a\,;\,b]\) où \(f\) est continue et où \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires.
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors une solution dans cet intervalle. On teste le milieu \(m\) : selon le signe de \(f(m)\), on garde \([a\,;\,m]\) ou \([m\,;\,b]\). La largeur est divisée par \(2\) à chaque étape.
Comment le reconnaître
- L’énoncé veut une valeur approchée d’une solution d’équation sans formule de résolution.
- On cherche un encadrement d’amplitude donnée, par exemple \(10^{-2}\).
- Un algorithme avec une boucle « tant que » et un milieu d’intervalle est à écrire en Python.
- La fonction est continue et strictement monotone, avec un changement de signe entre deux valeurs.
La méthode
- Vérifier la continuité et que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés.
- Calculer le milieu \(m=\frac{a+b}{2}\) et le signe de \(f(m)\).
- Remplacer l’intervalle par la moitié où les signes aux extrémités sont encore opposés.
- Répéter jusqu’à ce que la largeur soit inférieure à la précision voulue : après \(k\) étapes, elle vaut \(\frac{b-a}{2^k}\).
Dichotomie : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=x^3+x-3\), continue et croissante. Montrer que \(f(x)=0\) a une solution \(\alpha\) dans \([1\,;\,2]\), puis l’encadrer par dichotomie sur quatre étapes.
Corrigé
\(f(1)=-1<0\) et \(f(2)=7>0\) : il existe une solution \(\alpha\in[1\,;\,2]\). Milieux successifs : \(f(1{,}5)=1{,}875>0\) donne \([1\,;\,1{,}5]\) ; \(f(1{,}25)\approx 0{,}20>0\) donne \([1\,;\,1{,}25]\) ; \(f(1{,}125)\approx-0{,}45<0\) donne \([1{,}125\,;\,1{,}25]\) ; \(f(1{,}1875)\approx-0{,}14<0\) donne \([1{,}1875\,;\,1{,}25]\).
Conclusion : \(1{,}1875<\alpha<1{,}25\), amplitude \(\frac{1}{16}=0{,}0625\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est l’amplitude d’un encadrement après \(6\) étapes à partir de \([0\,;\,4]\) ?
Voir la réponse
\(\frac{4}{2^6}=\frac{4}{64}=0{,}0625\).
Question 2
Sur \([a\,;\,b]\), \(f(a)<0\), \(f(m)>0\) et \(f(b)>0\). Quel intervalle garder ?
Voir la réponse
Le signe change entre \(a\) et \(m\) : on garde \([a\,;\,m]\).
Ne pas confondre Dichotomie et Théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une solution existe sans dire où elle se trouve. La dichotomie est l’algorithme qui la localise avec une précision choisie. Le premier justifie la méthode, la seconde la met en œuvre.
Pour aller plus loin
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