Limite d’une suite
En bref : La limite d’une suite est la valeur dont les termes u_n se rapprochent indéfiniment quand n devient très grand, ou l’infini quand ils dépassent tout nombre fixé.
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Définition : Limite d'une suite
La limite d’une suite \((u_n)\) décrit son destin à long terme : que deviennent les termes quand le rang \(n\) s’éloigne vers \(+\infty\) ? On écrit \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\).
Si les termes finissent par rester aussi proches qu’on veut d’un réel \(\ell\), la suite converge vers \(\ell\). Si ils dépassent tout nombre donné, la limite est \(+\infty\) (ou \(-\infty\)). Sinon, la suite diverge sans limite, comme \((-1)^n\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande « le comportement de la suite quand \(n\) tend vers l’infini ».
- Une quantité modélisée semble se stabiliser, ou exploser, avec le temps.
- On a une fraction de polynômes en \(n\), une suite géométrique \(q^n\) ou une somme.
- Le nuage de points d’une suite se rapproche d’une droite horizontale.
La méthode
- Pour la limite d’une suite, remplacer \(n\) par \(+\infty\) et utiliser les limites usuelles : \(\frac{1}{n}\to 0\), \(n^2\to+\infty\), \(q^n\to 0\) si \(|q|\) est inférieur à \(1\).
- En cas de forme indéterminée, factoriser par le terme de plus haut degré et simplifier.
- Appliquer les opérations sur les limites (somme, produit, quotient).
- Conclure en précisant si la suite converge vers un réel ou tend vers l’infini.
Limite d'une suite : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer la limite d’une suite définie par \(u_n=\frac{6n-1}{2n+3}\).
Corrigé
Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme indéterminée. On factorise par \(n\) : \(u_n=\frac{n\left(6-\frac{1}{n}\right)}{n\left(2+\frac{3}{n}\right)}=\frac{6-\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}\).
Comme \(\frac{1}{n}\to 0\) et \(\frac{3}{n}\to 0\), on obtient \(\lim u_n=\frac{6}{2}=3\). Vérification : \(u_{50}=\frac{299}{103}\approx 2{,}90\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est la limite de \(v_n=4-\frac{5}{n}\) ?
Voir la réponse
\(\frac{5}{n}\to 0\), donc \(v_n\to 4\).
Question 2
Quelle est la limite de \(w_n=0{,}9^n\) ?
Voir la réponse
La raison \(0{,}9\) est comprise entre \(-1\) et \(1\) : \(w_n\to 0\).
Ne pas confondre Limite d'une suite et Limite d'une fonction
Pour une suite, il n’y a qu’un seul sens possible : \(n\to+\infty\). Une fonction peut aussi tendre vers un réel \(a\), à gauche ou à droite. Les règles de calcul sont les mêmes, mais seule la limite d’une fonction donne des asymptotes verticales.
Pour aller plus loin
Cours
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