Fonction exponentielle
En bref : La fonction exponentielle x ↦ eˣ est l’unique fonction égale à sa dérivée qui vaut 1 en 0 ; elle est strictement positive, strictement croissante, et transforme les sommes en produits.
PremièreFonctions
Définition : Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x\mapsto e^x\), est la seule fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) qui est égale à sa propre dérivée et vaut \(1\) en \(0\). Le nombre \(e\approx 2{,}718\) est son image en \(1\).
Sa propriété algébrique centrale est \(e^{a+b}=e^a\times e^b\), d’où \(e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}\) et \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\). Elle est strictement positive : aucune valeur de \(x\) ne la rend nulle ou négative. Comme sa dérivée \(e^x\) est positive, elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), ce qui permet de comparer des exponentielles en comparant les exposants.
Comment le reconnaître
- Un phénomène croît ou décroît à un rythme proportionnel à sa valeur : population, capital, désintégration.
- L’énoncé contient \(e\) élevé à une puissance qui dépend de \(x\).
- Il faut simplifier un produit ou un quotient de puissances de \(e\).
- On résout une équation ou une inéquation où l’inconnue est dans l’exposant, comme \(e^{x}\le e^{4}\).
La méthode
- Pour simplifier, utiliser \(e^a\times e^b=e^{a+b}\) et \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) afin de regrouper en une seule puissance.
- Pour résoudre \(e^{u}=e^{v}\), écrire \(u=v\) : la fonction exponentielle est strictement croissante.
- Pour une inéquation, conserver le sens : \(e^u\le e^v\) équivaut à \(u\le v\).
- Ne jamais écrire qu’une exponentielle peut être négative ou nulle : \(e^{x}>0\) pour tout réel \(x\).
Fonction exponentielle : exemple corrigé
Énoncé
Simplifier \(A=\dfrac{e^{2x+1}\times e^{-x+3}}{e^{x+2}}\), puis résoudre \(e^{3x-1}=e^{x+5}\).
Corrigé
Le numérateur devient \(e^{(2x+1)+(-x+3)}=e^{x+4}\). On divise par \(e^{x+2}\) : \(A=e^{(x+4)-(x+2)}=\) \(e^2\), un nombre qui ne dépend plus de \(x\).
Pour l’équation, la fonction exponentielle étant strictement croissante, \(e^{3x-1}=e^{x+5}\) équivaut à \(3x-1=x+5\), soit \(2x=6\) : \(x=3\).
À toi de jouer
Question 1
Simplifier \(e^{2}\times e^{-2}\).
Voir la réponse
\(e^{2+(-2)}=e^0=1\).
Question 2
Quel est le signe de \(-4\,e^{x}\) pour un réel \(x\) quelconque ?
Voir la réponse
Comme \(e^{x}>0\), le produit par \(-4\) est strictement négatif pour tout \(x\).
Ne pas confondre Fonction exponentielle et Puissance
Dans \(x^3\), l’exposant est fixe et la base varie : c’est une fonction puissance. Dans \(e^x\), la base est fixe, c’est le nombre \(e\), et c’est l’exposant qui varie. Cette différence change tout : \(x^3\) est négatif pour \(x\) négatif, alors que \(e^x\) est toujours positif, et leurs dérivées n’ont rien de commun.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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