Puissance
En bref : Une puissance est un produit de facteurs tous égaux au même nombre, écrit de façon abrégée sous la forme \(a^n\) ; des règles simples permettent de multiplier ou de diviser deux puissances de même base.
4èmeNombres et calculs
Définition : Puissance
Une puissance raccourcit l’écriture d’un produit répétitif : \(5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625\). Le nombre \(5\) est la base ; le petit \(4\) indique combien de facteurs interviennent.
Trois règles découlent de cette écriture, pour une même base \(a\) non nulle : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) et \((a^m)^n = a^{m \times n}\). Elles sont particulièrement utiles avec la base \(10\), où \(10^3 = 1\,000\) et \(10^{-2} = 0{,}01\).
Comment le reconnaître
- Une même base apparaît plusieurs fois dans un produit ou un quotient, avec des petits nombres différents en haut.
- L’énoncé demande de « simplifier » une écriture comme \(3^4 \times 3^2\).
- Des multiples de dix, comme 1 000 ou 0,001, sont à écrire de façon compacte.
- Une parenthèse est élevée elle-même à un petit nombre : \((2^3)^2\).
La méthode
- Vérifier que les bases sont identiques avant d’appliquer une règle.
- Pour un produit de même base, additionner les petits nombres du haut ; pour un quotient, les soustraire.
- Pour une puissance de puissance, multiplier ces petits nombres entre eux.
- Calculer la valeur numérique à la fin, ou laisser le résultat sous la forme \(a^n\) si l’énoncé le permet.
Puissance : exemple corrigé
Énoncé
Écrire sous forme d’une seule puissance, puis calculer : \(A = 3^4 \times 3^2\), \(B = \dfrac{10^7}{10^3}\) et \(C = (2^3)^2\).
Corrigé
\(A = 3^{4+2} = 3^6 = 729\), car les bases sont égales et on additionne.
\(B = 10^{7-3} = 10^4 = 10\,000\), car on soustrait pour un quotient. \(C = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\), car on multiplie pour une puissance de puissance. A = 729, B = 10 000 et C = 64.
À toi de jouer
Question 1
Simplifier \(5^2 \times 5^3\) et donner sa valeur.
Voir la réponse
\(5^{2+3} = 5^5 = 3\,125\).
Question 2
Écrire \(10^{-2} \times 10^5\) sous la forme \(10^n\).
Voir la réponse
\(10^{-2+5} = 10^3\), soit \(1\,000\).
Ne pas confondre Puissance et Exposant
Ici, le mot désigne l’ensemble : la base et le petit nombre, ou la valeur obtenue, comme dans « \(2^5 = 32\) ». L’exposant est seulement ce petit nombre, qui compte les facteurs. Dans \(2^5\), la base est \(2\) et le nombre \(5\) joue le rôle d’exposant.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 4ème · Nombres et calculs
