Lois à densité en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Ce corrigé exercices lois à densité terminale reprend pas à pas les dix premiers exercices de la fiche. Les deux premiers portent sur la loi uniforme : reconnaître la loi d’une trotteuse, écrire une fonction de densité et calculer une probabilité comme une aire de rectangle. Les exercices 3 à 5 travaillent la loi exponentielle : calculs exacts avec \(\mathrm{e}^{-\lambda t}\), recherche du paramètre \(\lambda\), espérance \(1/\lambda\) et propriété de durée de vie sans vieillissement. Les cinq derniers exploitent la loi normale sans calculatrice : symétrie de la courbe en cloche autour de \(\mu\), probabilités conditionnelles, et intervalles « un, deux, trois sigmas » pour retrouver \(\mu\) et \(\sigma\). Chaque solution est rédigée comme on l’attend sur une copie, avec des schémas des aires pour les exercices illustrés. Pour progresser vraiment, cherche d’abord chaque exercice seul, au brouillon, puis compare ta démarche à cette correction : repère l’étape qui t’a bloqué plutôt que de lire seulement le résultat final.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Loi à densité : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. (21 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les lois à densité en terminale

Exercice 1 : Variable aléatoire modélisant une trotteuse

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

1) La trotteuse tourne de façon continue et uniforme : aucune position n’est privilégiée entre 0 et 60 secondes. La variable aléatoire \(X\) donnant la valeur lue suit donc la loi uniforme sur \([0\,;\,60]\), de densité \(f(x)=\dfrac{1}{60}\) sur cet intervalle.

2) Paul répond oui lorsque \(45 \leqslant X \leqslant 60\). Pour une loi uniforme sur \([a\,;\,b]\), \(P(c \leqslant X \leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a}\) :

\[ P(45 \leqslant X \leqslant 60)=\frac{60-45}{60-0}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}. \]

Loi uniforme sur [0 ; 60] : l’aire rouge vaut 15 × 1/60 = 1/4

Réponse : \(X\) suit la loi uniforme sur \([0\,;\,60]\) et Paul répond oui avec la probabilité \(\dfrac14=0{,}25\).

Exercice 2 : Loi de densité d'une loi uniforme

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

La loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) a pour densité la fonction constante \(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\) sur \([a\,;\,b]\) (et \(f(x)=0\) en dehors), de sorte que l’aire totale sous la courbe vaut 1.

1) \(\mathcal{U}([-1\,;\,1])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{1-(-1)}=\dfrac12\) sur \([-1\,;\,1]\).
2) \(\mathcal{U}([0\,;\,120])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{120}\) sur \([0\,;\,120]\).
3) \(\mathcal{U}([-10\,;\,20])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{20-(-10)}=\dfrac{1}{30}\) sur \([-10\,;\,20]\).
4) \(\mathcal{U}([-0{,}1\,;\,0{,}3])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{0{,}3-(-0{,}1)}=\dfrac{1}{0{,}4}=\dfrac52\) sur \([-0{,}1\,;\,0{,}3]\).

Réponse : densités constantes \(\dfrac12\), \(\dfrac{1}{120}\), \(\dfrac{1}{30}\) et \(\dfrac52\) sur l’intervalle, nulles en dehors.

Exercice 3 : Variable aléatoire suivant une loi exponentielle

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

Pour une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) : \(P(Y \leqslant t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\), \(P(Y \geqslant t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\) et \(P(a \leqslant Y \leqslant b)=\mathrm{e}^{-\lambda a}-\mathrm{e}^{-\lambda b}\). Ici \(\lambda=0{,}001\).

1) \(P(Y \lt 1\,500)=1-\mathrm{e}^{-0{,}001\times 1\,500}=\mathbf{1-\mathrm{e}^{-1{,}5}}\approx 0{,}777\).

2) \(P(400 \leqslant Y \leqslant 2\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}4}-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}535\).

3) \(P(Y \geqslant 1\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}001\times 1\,000}=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368\).

4) La loi exponentielle est sans vieillissement : \(P_{Y\gt t}(Y\gt t+h)=P(Y\gt h)\). Avec \(t=h=1\,000\) :

\[ P_{Y\gt 1\,000}(Y\gt 2\,000)=\frac{P(Y\gt 2\,000)}{P(Y\gt 1\,000)}=\frac{\mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{-1}}=\mathrm{e}^{-1}. \]

Réponse : \(1-\mathrm{e}^{-1{,}5}\) ; \(\mathrm{e}^{-0{,}4}-\mathrm{e}^{-2}\) ; \(\mathrm{e}^{-1}\) ; \(\mathrm{e}^{-1}\).

Exercice 4 : Calculer une espérance

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

1) La densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) est \(f(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\) sur \([0\,;\,+\infty[\). Donc \(f(0)=\lambda\mathrm{e}^{0}=\lambda\). Comme \(f(0)=0{,}5\), on obtient \(\lambda=0{,}5\).

2) L’espérance d’une loi exponentielle est \(E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0{,}5}=2\).

Réponse : \(\lambda=0{,}5\) et \(E(X)=2\).

Exercice 5 : Une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

1) \(P(D\gt 3)=\mathrm{e}^{-3\lambda}\). L’égalité \(\mathrm{e}^{-3\lambda}=\mathrm{e}^{-0{,}9}\) donne, la fonction exponentielle étant strictement croissante, \(-3\lambda=-0{,}9\), soit \(\lambda=0{,}3\).

2) \(P(D\leqslant 2)=1-\mathrm{e}^{-0{,}3\times 2}=1-\mathrm{e}^{-0{,}6}\approx 0{,}451\).

Réponse : \(\lambda=0{,}3\) et \(P(D\leqslant 2)=1-\mathrm{e}^{-0{,}6}\approx 0{,}451\).

Exercice 6 : Déterminer les probabilités suivantes

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

La courbe en cloche est symétrique par rapport à la droite \(x=8\) : \(X\) suit une loi normale d’espérance \(\mu=8\). Le graphique indique \(P(7\lt X\lt 9)=0{,}5\), et l’intervalle \([7\,;\,9]\) est centré en 8.

1) Par symétrie, \(P(8\lt X\lt 9)=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25\).

2) \(P(X\geqslant 8)=0{,}5\), donc \(P(X\geqslant 9)=0{,}5-P(8\lt X\lt 9)=0{,}5-0{,}25=0{,}25\).

3) \(P(X\leqslant 9)=1-P(X\gt 9)=1-0{,}25=0{,}75\).

4) Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[ P_{X\gt 7}(X\leqslant 8)=\frac{P(7\lt X\leqslant 8)}{P(X\gt 7)}=\frac{0{,}25}{0{,}75}=\frac13, \]

car \(P(7\lt X\leqslant 8)=0{,}25\) et \(P(X\gt 7)=P(X\lt 9)=0{,}75\) par symétrie.

Par symétrie autour de μ = 8 : P(8 < X < 9) = 0,25 et P(X ⩾ 9) = 0,25

Réponse : 0,25 ; 0,25 ; 0,75 ; \(\dfrac13\).

Exercice 7 : Calculer la valeur des différentes probabilités

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

La courbe est symétrique autour de \(\mu=11\) et \(P(Y\geqslant 13)=0{,}09\). Les nombres 9 et 13 sont symétriques par rapport à 11.

1) Par symétrie, \(P(Y\leqslant 9)=P(Y\geqslant 13)=0{,}09\).

2) \(P(11\lt Y\leqslant 13)=P(Y\gt 11)-P(Y\gt 13)=0{,}5-0{,}09=0{,}41\).

3) \(P(Y\geqslant 9)=1-P(Y\lt 9)=1-0{,}09=0{,}91\).

4) \(P(9\lt Y\leqslant 13)=1-0{,}09-0{,}09=0{,}82\), donc

\[ P_{Y\gt 9}(Y\leqslant 13)=\frac{P(9\lt Y\leqslant 13)}{P(Y\gt 9)}=\frac{0{,}82}{0{,}91}=\frac{82}{91}\approx 0{,}901. \]

Symétrie autour de μ = 11 : les deux queues valent 0,09

Réponse : 0,09 ; 0,41 ; 0,91 ; \(\dfrac{82}{91}\approx 0{,}901\).

Exercice 8 : Déterminer une valeur approchée

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

La courbe est symétrique par rapport à la droite \(x=20\), donc \(\mu=20\).

On sait que pour une loi normale \(\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)\), \(P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)\approx 0{,}954\). Le graphique donne \(P(15\leqslant X\leqslant 25)\approx 0{,}954\) avec \(15=20-5\) et \(25=20+5\). On en déduit \(2\sigma=5\), soit \(\sigma=2{,}5\).

L’intervalle [15 ; 25] est [μ − 2σ ; μ + 2σ] avec μ = 20 et σ = 2,5

Réponse : \(\mu=20\) et \(\sigma\approx 2{,}5\).

Exercice 9 : Déduire des probabilités sans la calculatrice

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

1) On sait que \(P(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma)\approx 0{,}997\). L’intervalle \([-7\,;\,17]\) est centré en \(\mu=5\) : \(-7=5-12\) et \(17=5+12\). Donc \(3\sigma=12\), soit \(\sigma=4\).

2) a) \([1\,;\,9]=[5-4\,;\,5+4]=[\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma]\). La loi étant continue, inclure ou non les bornes ne change rien :

\[ P(1\leqslant X\lt 9)=P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)\approx 0{,}683. \]

b) \([5\,;\,9]\) est la moitié droite de cet intervalle ; par symétrie autour de \(\mu=5\) :

\[ P(5\lt X\lt 9)\approx\frac{0{,}683}{2}\approx 0{,}341. \]

Réponse : \(\sigma\approx 4\) ; \(P(1\leqslant X\lt 9)\approx 0{,}683\) ; \(P(5\lt X\lt 9)\approx 0{,}341\).

Exercice 10 : Calculer des probabilités sans calculatrice

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

\(X\) suit \(\mathcal{N}(3\,;\,\sigma^2)\) : sa courbe est symétrique autour de \(\mu=3\), et \(P(X\lt 3)=0{,}5\). Les nombres 1 et 5 sont symétriques par rapport à 3.

1) \(P(1\leqslant X\lt 3)=P(X\lt 3)-P(X\lt 1)=0{,}5-0{,}4=0{,}1\).

2) Par symétrie, \(P(X\gt 5)=P(X\lt 1)=0{,}4\).

3) \(P(X\lt 5)=1-0{,}4=0{,}6\) et \(P(1\leqslant X\lt 5)=0{,}1+0{,}1=0{,}2\), donc

\[ P_{X\lt 5}(X\geqslant 1)=\frac{P(1\leqslant X\lt 5)}{P(X\lt 5)}=\frac{0{,}2}{0{,}6}=\frac13. \]

Symétrie autour de μ = 3 : 0,4 + 0,1 + 0,1 + 0,4 = 1

Réponse : 0,1 ; 0,4 ; \(\dfrac13\).

La méthode à retenir sur les lois à densité

Loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) : densité \(\dfrac{1}{b-a}\), et une probabilité est une longueur divisée par la longueur totale.
Loi exponentielle : retenir \(P(X\leqslant t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\), \(P(X\geqslant t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\) et \(E(X)=\dfrac1\lambda\).
Pour trouver \(\lambda\), écrire l’égalité donnée avec \(\mathrm{e}^{-\lambda t}\) puis utiliser le logarithme népérien ou l’égalité des exposants.
Loi normale : l’axe de symétrie de la courbe est \(x=\mu\), et \(P(X\lt\mu)=P(X\gt\mu)=0{,}5\).
Retenir les trois valeurs 0,683 ; 0,954 ; 0,997 pour les intervalles \([\mu-k\sigma\,;\,\mu+k\sigma]\), \(k=1,2,3\).
Une probabilité conditionnelle se calcule toujours par \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) : identifier l’intersection sur le schéma.

Les erreurs fréquentes

Confondre \(P(X\leqslant t)\) et \(P(X\geqslant t)\) pour la loi exponentielle (oublier le « 1 − »).
Donner une valeur décimale quand l’énoncé demande une forme exacte (\(\mathrm{e}^{-1}\), pas 0,37).
Oublier de diviser par \(P(A)\) dans une probabilité conditionnelle, ou mal identifier l’intersection des deux événements.
Croire que la loi normale est symétrique autour de 0 : elle l’est autour de \(\mu\).
Diviser par \(\sigma\) au lieu de \(2\sigma\) ou \(3\sigma\) en lisant la demi-largeur de l’intervalle.

Les exercices 11 à 21 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Pourquoi P(X = a) vaut-il 0 pour une loi à densité ?

Une probabilité est une aire sous la courbe de densité. Entre a et a, la largeur est nulle, donc l’aire aussi. C’est pour cela qu’on peut écrire indifféremment des inégalités strictes ou larges.

Que signifie « loi sans vieillissement » ?

Pour une loi exponentielle, savoir qu’un appareil a déjà fonctionné t heures ne change pas la probabilité qu’il dure encore h heures : \(P_{X\gt t}(X\gt t+h)=P(X\gt h)\). C’est la seule loi à densité qui a cette propriété.

Faut-il toujours la calculatrice pour une loi normale ?

Non. Beaucoup d’exercices se font avec la seule symétrie de la courbe et les valeurs 0,683, 0,954 et 0,997. La calculatrice devient nécessaire quand les bornes ne sont ni symétriques ni à un nombre entier d’écarts-types de la moyenne.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Loi à densité : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
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