Droites et plans de l’espace en terminale : corrigé des exercices 1 à 10

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Sommaire

Ce corrigé exercices droites et plans terminale reprend les dix premiers exercices de la fiche de géométrie dans l’espace. L’essentiel porte sur la construction de sections : section d’un cube, d’un pavé droit, d’une pyramide à base carrée et d’un tétraèdre régulier par un plan défini par trois points. Chaque construction est justifiée avec les deux outils clés du programme : deux faces parallèles sont coupées par un plan selon deux droites parallèles, et le point d’intersection de deux droites d’une même face permet de passer d’une face à la face voisine. On travaille aussi la position relative de deux droites (coplanaires, sécantes, parallèles), l’orthogonalité d’une droite et d’un plan dans un cube, puis les coordonnées de vecteurs et de points dans un repère de l’espace. Toutes les sections sont accompagnées d’une figure où les traits de construction apparaissent en pointillés gris. Refais chaque figure à main levée avant de lire la solution : c’est en cherchant toi-même les points d’intersection que la méthode devient automatique.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Droites et plans de l'espace : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. (18 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les droites et plans de l'espace en terminale

Exercice 1 : Position relative des droites dans un cube

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

Les points \(E\), \(F\), \(H\) et \(K\) appartiennent tous à la face \(EFGH\) (\(K\) est le milieu de \([FG]\)). Les droites \((EF)\) et \((HK)\) sont donc coplanaires.

Dans le carré \(EFGH\), \((EF)\) est parallèle à \((HG)\). Or \((HK)\) coupe \((HG)\) en \(H\) sans être confondue avec elle (car \(K\notin(HG)\)). Donc \((HK)\) n’est pas parallèle à \((HG)\), ni à \((EF)\).

Deux droites coplanaires non parallèles sont sécantes. Leur point d’intersection \(L\) est situé sur le prolongement de \([EF]\) au-delà de \(F\) : les triangles \(KFL\) et \(KGH\) ont \(KF=KG\), des angles opposés par le sommet égaux et des angles droits en \(F\) et \(G\), donc \(FL=GH=EF\) : \(F\) est le milieu de \([EL]\).

(EF) et (HK) sont coplanaires (face EFGH) et sécantes en L

Réponse : \((EF)\) et \((HK)\) sont coplanaires et sécantes, en un point \(L\) tel que \(F\) est le milieu de \([EL]\).

Exercice 2 : Déterminer et construire la section d'un cube

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

Figure 1 : \(I\) milieu de \([EH]\), \(J\) milieu de \([BC]\), \(K\in[GH]\) avec \(HK=\frac23 HG\).

\(I\) et \(K\) sont sur la face \(EFGH\) : on trace \([IK]\).
La face \(ABCD\) est parallèle à \(EFGH\) : le plan la coupe selon la parallèle à \((IK)\) passant par \(J\). Elle coupe \([AB]\) en \(L\) tel que \(AL=\frac13 AB\).
Dans le plan \(EFGH\), \((IK)\) coupe \((EF)\) en \(P\). \(P\) et \(L\) sont dans le plan de la face \(ABFE\) : \((PL)\) coupe \([AE]\) en \(M\), avec \(AM=\frac13 AE\).
La face \(BCGF\) est parallèle à \(ADHE\) : la parallèle à \((IM)\) passant par \(J\) coupe \([CG]\) en \(N\), avec \(CN=\frac23 CG\).

La section est l’hexagone \(KIMLJN\), dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Section de la figure 1 : l’hexagone KIMLJN

Figure 2 : \(I\in[AD]\) avec \(AI=\frac13 AD\), \(J\in[FG]\) avec \(FJ=\frac23 FG\), \(K\in[AB]\) avec \(AK=\frac13 AB\).

\(I\) et \(K\) sont sur la face \(ABCD\) : on trace \([KI]\).
\(EFGH\) est parallèle à \(ABCD\) : la parallèle à \((KI)\) passant par \(J\) coupe \([GH]\) en \(L\), avec \(HL=\frac23 HG\).
Dans le plan \(ABCD\), \((KI)\) coupe \((BC)\) en \(P\). Dans le plan \(BCGF\), \((PJ)\) coupe \([BF]\) en \(M\), milieu de \([BF]\).
\(DCGH\) est parallèle à \(ABFE\) : la parallèle à \((KM)\) passant par \(L\) coupe \([DH]\) en \(N\), milieu de \([DH]\).

La section est l’hexagone \(KMJLNI\).

Section de la figure 2 : l’hexagone KMJLNI

Réponse : dans les deux cas, la section est un hexagone (KIMLJN, puis KMJLNI).

Exercice 3 : Construire la section de la pyramide

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

1) On place \(I\), milieu de \([SD]\), et \(J\), milieu de \([AB]\).

2) Construction justifiée :

\(C\) et \(J\) sont dans le plan de la base : on trace \([CJ]\).
\(C\) et \(I\) sont dans la face \(SCD\) : on trace \([CI]\).
Dans le plan de la base, \((CJ)\) coupe \((AD)\) en \(L\). Les triangles \(JAL\) et \(JBC\) sont isométriques (\(JA=JB\), angles droits en \(A\) et \(B\), angles opposés par le sommet), donc \(AL=BC=AD\).
\(L\) et \(I\) sont dans le plan \((SAD)\) : la droite \((LI)\) coupe \([SA]\) en \(M\). On trace \([IM]\) et \([MJ]\).

Dans le triangle \(SLD\), \(A\) est le milieu de \([LD]\) et \(I\) celui de \([SD]\) : \((SA)\) et \((LI)\) sont deux médianes, donc \(M\) est le centre de gravité et \(SM=\frac23 SA\).

Section CJMI : L = (CJ) ∩ (AD), puis M = (LI) ∩ [SA]

Réponse : la section est le quadrilatère \(CJMI\), où \(M\) est le point de \([SA]\) tel que \(SM=\frac23 SA\).

Exercice 4 : Quelle est la nature de cette section ?

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

1) On reproduit le tétraèdre et on place \(I\), \(J\), \(K\), milieux de \([BC]\), \([AB]\), \([AD]\).

2) Dans le triangle \(ABD\), le théorème des milieux donne \((JK)\parallel(BD)\). Le plan \((IJK)\) contient une droite parallèle à \((BD)\) et coupe le plan \((BCD)\) (il contient \(I\)) : d’après le théorème du toit, l’intersection est la parallèle à \((BD)\) passant par \(I\). Dans le triangle \(BCD\), elle coupe \([CD]\) en son milieu \(L\). La section est le quadrilatère \(IJKL\).

3) Par le théorème des milieux : \(IJ=KL=\frac12 AC\) et \(JK=LI=\frac12 BD\), avec \((IJ)\parallel(AC)\parallel(KL)\) et \((JK)\parallel(BD)\parallel(LI)\). Le tétraèdre étant régulier d’arête \(a\), les quatre côtés valent \(\frac a2\) : \(IJKL\) est un losange.

De plus, si \(N\) est le milieu de \([AC]\), les médianes \((BN)\) et \((DN)\) des triangles équilatéraux \(ABC\) et \(ACD\) sont aussi des hauteurs : \((AC)\) est orthogonale à \((BN)\) et \((DN)\), donc au plan \((BND)\), donc à \((BD)\). Ainsi \((IJ)\perp(JK)\) : le losange a un angle droit.

La section IJKL est un carré de côté a/2

Réponse : la section \(IJKL\) (avec \(L\) milieu de \([CD]\)) est un carré de côté \(\frac a2\).

Exercice 5 : Citer des droites orthogonales

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

Première partie. Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires (elles ne sont pas forcément sécantes).

1) \((EA)\) est orthogonale aux plans \((ABCD)\) et \((EFGH)\), donc à toutes leurs droites, par exemple : \((AB)\), \((AD)\), \((BC)\), \((CD)\), \((EF)\), \((EH)\) (ou \((FG)\), \((HG)\), \((AC)\), \((BD)\)…).
2) \((EB)\) est une diagonale du carré \(ABFE\) : elle est perpendiculaire à l’autre diagonale \((AF)\), donc aussi orthogonale à sa parallèle \((DG)\). Par ailleurs, \((BC)\) est orthogonale au plan \((ABF)\), donc à \((EB)\), ainsi que ses parallèles \((AD)\), \((EH)\), \((FG)\). Six droites : \((AF)\), \((DG)\), \((BC)\), \((AD)\), \((EH)\), \((FG)\).
3) Deux droites orthogonales au plan \((BCG)\) : \((AB)\) et \((EF)\) (ou \((DC)\), \((HG)\)).
4) Le plan \((AFG)\) est le plan \((ADGF)\). \((EB)\perp(AF)\) et \((EB)\perp(AD)\), avec \((AF)\) et \((AD)\) sécantes dans ce plan : \((EB)\) est orthogonale à \((AFG)\), de même que sa parallèle \((HC)\).

Deuxième partie. 1) \(ABCD\) et \(ABFE\) sont des carrés, donc \((AB)\perp(BC)\) et \((AB)\perp(BF)\). Les droites \((BC)\) et \((BF)\) sont sécantes en \(B\) et contenues dans le plan \((BCG)\). Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan : \((AB)\perp(BCG)\).

2) Une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Comme \((CF)\subset(BCG)\), on a \((AB)\perp(CF)\).

(AB) ⊥ (BC) et (AB) ⊥ (BF) donc (AB) ⊥ (BCG), et en particulier (AB) ⊥ (CF)

Réponse : par exemple \((AB),(AD),(BC),(CD),(EF),(EH)\) ; \((AF),(DG),(BC),(AD),(EH),(FG)\) ; \((AB),(EF)\) ; \((EB),(HC)\) ; puis \((AB)\perp(BCG)\) donc \((AB)\perp(CF)\).

Exercice 6 : Tracer l'intersection du plan et d'une face

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

Dans l’exercice précédent de la fiche d’origine, \(ABCDEFGH\) est un pavé droit, \(I\in[AE]\) avec \(AI=\frac34 AE\) et \(J\in[CG]\) avec \(CJ=\frac14 CG\).

1) On reproduit le pavé et on place \(I\) et \(J\).

2) \(B\) et \(I\) appartiennent au plan \((BIJ)\) et à la face \(EABF\) : l’intersection est le segment \([BI]\).

3) Les faces \(EABF\) et \(DCGH\) sont parallèles, donc le plan \((BIJ)\) les coupe selon deux droites parallèles : l’intersection avec \(DCGH\) est la parallèle à \((BI)\) passant par \(J\). Soit \(T\) le point tel que \(\overrightarrow{JT}=\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\frac34\overrightarrow{AE}\). Comme \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}\) :

\[ \overrightarrow{CT}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JT}=\frac14\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{CD}+\frac34\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{CH}. \]

Donc \(T=H\) : la parallèle à \((BI)\) passant par \(J\) passe par \(H\). L’intersection est le segment \([JH]\).

4) On relie \(I\) à \(H\) (face \(ADHE\)) et \(B\) à \(J\) (face \(BCGF\)). La section est le quadrilatère \(BIHJ\), qui est un parallélogramme (côtés opposés parallèles deux à deux, car les faces opposées du pavé sont parallèles).

Section BIHJ : [BI] sur la face EABF, [JH] parallèle à (BI) sur la face DCGH

Réponse : \([BI]\) sur \(EABF\), \([JH]\) sur \(DCGH\), et la section est le parallélogramme \(BIHJ\).

Exercice 7 : Construire la section d'un cube par le plan (IJK)

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

Figure 1 : \(I\in[HD]\) avec \(HI=\frac23 HD\), \(J\in[FG]\) avec \(FJ=\frac34 FG\), plan \((EIJ)\).

\(E\) et \(J\) sont sur la face \(EFGH\) : on trace \([EJ]\).
\(E\) et \(I\) sont sur la face \(ADHE\) : on trace \([EI]\).
La face \(BCGF\) est parallèle à \(ADHE\) : la parallèle à \((EI)\) passant par \(J\) coupe \([CG]\) en \(M\), avec \(CM=\frac56 CG\).
On trace \([MI]\) dans la face \(DCGH\).

La section est le trapèze \(EJMI\) (\((JM)\parallel(EI)\)).

Figure 1 : section EJMI, avec (JM) ∥ (EI)

Figure 2 : \(I\in[EF]\) avec \(EI=\frac13 EF\), \(J\) milieu de \([BC]\), \(K\in[HG]\) avec \(HK=\frac34 HG\).

\(I\) et \(K\) sont sur la face \(EFGH\) : on trace \([IK]\).
\(ABCD\) est parallèle à \(EFGH\) : la parallèle à \((IK)\) passant par \(J\) coupe \([AB]\) en \(L\), avec \(AL=\frac{19}{24}AB\).
On trace \([IL]\) dans la face \(ABFE\).
\(DCGH\) est parallèle à \(ABFE\) : la parallèle à \((IL)\) passant par \(K\) coupe \([CG]\) en \(M\), avec \(CM=\frac{5}{11}CG\). On trace \([KM]\) et \([MJ]\).

La section est le pentagone \(ILJMK\).

Figure 2 : section pentagonale ILJMK

Réponse : figure 1, un trapèze \(EJMI\) ; figure 2, un pentagone \(ILJMK\).

Exercice 8 : Section et construction

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

Figure 1 : \(I\), \(J\), \(K\) milieux de \([BC]\), \([CD]\), \([EH]\).

\([IJ]\) est sur la face \(ABCD\).
\(EFGH\) est parallèle à \(ABCD\) : la parallèle à \((IJ)\) passant par \(K\) coupe \([EF]\) en son milieu \(L\).
Dans le plan \(ABCD\), \((IJ)\) coupe \((AD)\) en \(Q\) (avec \(DQ=\frac12 AD\)). Dans le plan \(ADHE\), \((QK)\) coupe \([DH]\) en son milieu \(N\).
\(BCGF\) est parallèle à \(ADHE\) : la parallèle à \((KN)\) passant par \(I\) coupe \([BF]\) en son milieu \(M\).

La section \(IJNKLM\) a pour sommets six milieux d’arêtes ; chaque côté est une demi-diagonale de face, de longueur \(\frac{a\sqrt2}{2}\) : c’est un hexagone régulier.

Figure 1 : hexagone régulier IJNKLM

Figure 2 : \(I\in[AE]\) avec \(AI=\frac14 AE\), \(J\in[DH]\) avec \(DJ=\frac34 DH\), \(K\in[FG]\) avec \(FK=\frac13 FG\).

\([IJ]\) est sur la face \(ADHE\).
\(BCGF\) est parallèle à \(ADHE\) : la parallèle à \((IJ)\) passant par \(K\) coupe \([BF]\) en \(M\), avec \(BM=\frac56 BF\).
On trace \([IM]\) dans la face \(ABFE\).
\(DCGH\) est parallèle à \(ABFE\) : la parallèle à \((IM)\) passant par \(J\) coupe \([HG]\) en \(N\), avec \(HN=\frac37 HG\). On trace \([NK]\) dans la face \(EFGH\).

La section est le pentagone \(IMKNJ\).

Figure 2 : section pentagonale IMKNJ, avec (KM) ∥ (IJ) et (JN) ∥ (IM)

Réponse : figure 1, un hexagone régulier ; figure 2, un pentagone \(IMKNJ\).

Exercice 9 : Donner les coordonnées des vecteurs

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

1) \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\) :

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\-4\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5\\-5\\1\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix}. \]

\[ \vec u=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-5\\-2+5\\-8-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-9\end{pmatrix},\qquad \vec v=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}5+9\\-5-12\\1+15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\-17\\16\end{pmatrix}. \]

Réponse : \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,-1\,;\,-4)\), \(\overrightarrow{AC}(5\,;\,-5\,;\,1)\), \(\overrightarrow{BC}(3\,;\,-4\,;\,5)\) ; \(\vec u(-1\,;\,3\,;\,-9)\) et \(\vec v(14\,;\,-17\,;\,16)\).

Exercice 10 : Déterminer les coordonnées du vecteur

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

1) \(\overrightarrow{AC}=\vec u\) équivaut à \(x_C-2=2\), \(y_C-5=-1\), \(z_C+1=4\), donc \(C(4\,;\,4\,;\,3)\).

2) \(\overrightarrow{AB}(0-2\,;\,3-5\,;\,4+1)=(-2\,;\,-2\,;\,5)\). \(ABDC\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) :

\[ x_D-4=-2,\quad y_D-4=-2,\quad z_D-3=5\quad\text{donc}\quad D(2\,;\,2\,;\,8). \]

3) Le centre \(K\) est le milieu commun des diagonales \([AD]\) et \([BC]\) :

\[ K\left(\frac{2+2}{2}\,;\,\frac{5+2}{2}\,;\,\frac{-1+8}{2}\right)=\left(2\,;\,\frac72\,;\,\frac72\right). \]

Vérification avec \([BC]\) : \(\left(\frac{0+4}{2}\,;\,\frac{3+4}{2}\,;\,\frac{4+3}{2}\right)\), même point.

Réponse : \(C(4\,;\,4\,;\,3)\), \(\overrightarrow{AB}(-2\,;\,-2\,;\,5)\), \(D(2\,;\,2\,;\,8)\) et \(K(2\,;\,3{,}5\,;\,3{,}5)\).

La méthode à retenir sur les droites et plans de l'espace

Deux points du plan de coupe situés sur une même face : on les relie, c’est un côté de la section.
Faces parallèles : le plan les coupe selon deux droites parallèles ; on trace la parallèle par le point connu.
Pour passer d’une face à une face voisine, prolonger un côté de la section jusqu’à une arête prolongée : le point obtenu appartient aux deux plans.
Pour l’orthogonalité droite-plan, il suffit que la droite soit orthogonale à deux droites sécantes du plan.
Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\), et \(ABDC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).

Les erreurs fréquentes

Relier deux points qui ne sont pas sur une même face : le segment traverse alors l’intérieur du solide.
Croire que deux droites orthogonales sont forcément sécantes : \((EA)\) et \((BC)\) sont orthogonales sans se couper.
Confondre l’ordre des sommets : \(ABDC\) parallélogramme impose \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), pas \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Oublier de justifier la construction : chaque tracé doit citer la propriété utilisée (faces parallèles, droites coplanaires).

Les exercices 11 à 18 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Combien de côtés peut avoir la section d’un cube par un plan ?

Trois, quatre, cinq ou six : un triangle, un quadrilatère, un pentagone ou un hexagone. Chaque côté est sur une face différente et le cube a six faces, donc jamais plus de six côtés.

Quand utilise-t-on le théorème du toit ?

Quand deux plans sécants contiennent deux droites parallèles : leur droite d’intersection est parallèle à ces deux droites. C’est lui qui a permis de trouver le côté \([IL]\) de la section du tétraèdre.

Faut-il une figure parfaite pour avoir tous les points ?

Non, une figure soignée à main levée suffit si chaque tracé est justifié par une propriété. En revanche, les parallèles doivent rester visiblement parallèles pour que le correcteur suive la construction.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Droites et plans de l'espace : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
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