Les équations paramétriques et cartésiennes de droites : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

\(d\) et \(d^{\prime}\) sont deux droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \\ z = 5t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \(\begin{cases} x = 2 - 3t^{\prime} \\ y = -2t^{\prime} \\ z = 1 - t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\).

Indiquer oralement les coordonnées d^{\prime}un point et d^{\prime}un vecteur directeur de chacune des droites \(d\) et \(d^{\prime}\).

\(d\) est la droite de représentation paramétrique :

\[\begin{cases} x = -t + 1 \\ y = 5 + 3t \\ z = -2 - 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R}).\]

Déterminer mentalement les coordonnées de quatre points de la droite \(d\).

On donne les points : \(\text{A}(1\,;\,2\,;\,1)\) et \(\text{B}(4\,;\,5\,;\,-2)\).

Parmi ces systèmes, une représentation paramétrique de la droite \((\text{AB})\) est :

1. \(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 3t \\ z = 1 - 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\)
2. \(\begin{cases} x = 3 + t^{\prime} \\ y = 3 + 2t^{\prime} \\ z = -3 + t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\)
3. \(\begin{cases} x = 4 + 3m \\ y = 5 + 3m \\ z = -2 - 3m \end{cases} (m \in \mathbb{R})\)
4. \(\begin{cases} x = 4 - k \\ y = 5 - k \\ z = -2 + k \end{cases} (k \in \mathbb{R})\)

\(d\) et \(d^{\prime}\) sont deux droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 5 + 2t \\ z = 2 - 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \(\begin{cases} x = 2t^{\prime} \\ y = -1 + 4t^{\prime} \\ z = -6t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\).

Luca affirme « Ces deux droites sont parallèles ». A-t-il raison ? Expliquer oralement.

Dans un repère orthonormé, on se propose de démontrer que les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) de représentations paramétriques respectives \((\text{S})\) \(\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 2 + t \\ z = -2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \((\text{S}^{\prime})\) \(\begin{cases} x = 17 + 2t^{\prime} \\ y = -2 - 2t^{\prime} \\ z = -4 + t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\) sont sécantes.

Dans un repère orthonormé, le plan \(\mathscr{P}\) a pour équation cartésienne \(5x + y - z + 3 = 0\) et la droite \(d\) pour représentation paramétrique \(\begin{cases} x = t \\ y = 1 - 6t \\ z = 3 - t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\).

On se propose d^{\prime}étudier l^{\prime}intersection du plan \(\mathscr{P}\) et de la droite \(d\).

Dans un repère orthonormé de l’espace, \(d\) et \(d^{\prime}\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = -1 + 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \(\begin{cases} x = 4t^{\prime} \\ y = -2 - t^{\prime} \\ z = 2 + t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\).

1. Montrer que les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) ne sont pas parallèles.
2. Étudier l’intersection de \(d\) et \(d^{\prime}\) en résolvant un système d’équations.

Dans un repère orthonormé de l’espace, \(d\) et \(d^{\prime}\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = -4 - 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \(\begin{cases} x = 2t^{\prime} \\ y = 1 + t^{\prime} \\ z = 3 + t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\).

Déterminer le point d^{\prime}intersection des droites \(d\) et \(d^{\prime}\).

On donne les points \(\text{E}(1\,;\,0\,;\,3)\), \(\text{F}(3\,;\,-1\,;\,2)\) et \(\text{M}(a\,;\,b\,;\,-2)\) avec \(a\) et \(b\) nombres réels.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\text{EF})\).
2. Existe-t-il des valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles le point \(\text{M}\) appartient à la droite \((\text{EF})\) ?

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

1. Déterminer les coordonnées de chacun des sommets dans le repère \((\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}})\).
2. Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites \((\text{AG})\) et \((\text{BH})\).

1. \(d\) et \(d^{\prime}\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :
   \(\begin{cases} x = -4 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 5 + 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \(\begin{cases} x = 3 - 4t^{\prime} \\ y = 4t^{\prime} \\ z = 2 + 4t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\).
   Les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sont-elles parallèles, orthogonales ou ni l’un, ni l’autre ?
2. Reprendre la question précédente avec les représentations paramétriques :
   \(\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 5t \\ z = -3 - 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\) et \(\begin{cases} x = 1 - 4t^{\prime} \\ y = 2 - 10t^{\prime} \\ z = 6t^{\prime} \end{cases} (t^{\prime} \in \mathbb{R})\).

Dans chaque cas, donner une équation cartésienne du plan passant par le point A et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\).

1. \(\text{A}(2\,;\,1\,;\,5)\) et \(\overrightarrow{n}(-1\,;\,1\,;\,4)\).
2. \(\text{A}(0\,;\,0\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{n}(2\,;\,-1\,;\,1)\).
3. \(\text{A}(3\,;\,-1\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{n}(0\,;\,0\,;\,1)\).
4. \(\text{A}(-2\,;\,1\,;\,5)\) et \(\overrightarrow{n}(-3\,;\,2\,;\,0)\).

\(\mathscr{P}\) est le plan d^{\prime}équation cartésienne :

\[5x - y + z + 2 = 0.\]

\(\mathscr{Q}\) est le plan parallèle à \(\mathscr{P}\) et passant par \(\text{A}(1\,;\,-1\,;\,-2)\).

1. Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à \(\mathscr{Q}\).
2. Déterminer une équation cartésienne de \(\mathscr{Q}\).

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}})\).

1. Déterminer les coordonnées d^{\prime}un vecteur normal au plan \((\text{BCF})\), puis au plan \((\text{BCE})\).
2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((\text{BCF})\), puis du plan \((\text{BCE})\).

\(\mathscr{P}\) est le plan passant par \(\text{A}(3\,;\,1\,;\,-2)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(4\,;\,6\,;\,3)\).

1. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathscr{P}\).
2. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathscr{P}^{\prime}\) parallèle à \(\mathscr{P}\) et passant par le point \(\text{C}(-5\,;\,0\,;\,7)\).

On donne les points : \(\text{A}(1\,;\,2\,;\,3)\), \(\text{B}(-1\,;\,0\,;\,4)\), \(\text{C}(5\,;\,1\,;\,-2)\).

Déterminer une équation cartésienne du plan qui passe par C et orthogonal à la droite \((\text{AB})\).

\(\mathscr{P}\) est un plan d^{\prime}équation cartésienne :

\[ax + by + z + d = 0 \text{ (avec } a \text{ et } b \text{ nombres réels).}\]

Existe-t-il des nombres \(a\) et \(b\) tels que les points \(\text{A}(3\,;\,1\,;\,2)\), \(\text{B}(-1\,;\,2\,;\,0)\), \(\text{C}(0\,;\,0\,;\,-4)\) appartiennent au plan \(\mathscr{P}\).

\(a\) et \(b\) désignent des nombres réels. On donne les points \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,a)\), \(\text{B}(3\,;\,a\,;\,b)\), \(\text{C}(-3\,;\,b\,;\,2a+1)\).

On se propose de déterminer \(a\) et \(b\) afin que les points A, B, C soient alignés.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\).
2. Montrer que les points A, B, C sont alignés si, et seulement si \(\begin{cases} b - 1 = -2(a+1) \\ a + 1 = -2(b-a) \end{cases}\).
3. Résoudre ce système et conclure en donnant les coordonnées de A, B, C.

On donne quatre vecteurs :

\(\vec{u}(-5\,;\,0\,;\,0)\), \(\vec{v}(0\,;\,2\,;\,3)\), \(\vec{w}(-1\,;\,0\,;\,1)\), \(\vec{m}(1\,;\,2\,;\,3)\).

On se propose de déterminer s\^{\prime}il existe des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(\vec{m}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\).

1. S\’il existe de tels nombres, expliquer pourquoi : \[\begin{cases}-5a-c=1\\2b=2\\3b+c=3\end{cases}\]
2. Résoudre ce système et conclure.

Expliquer pourquoi la droite \(d\) et le plan \(\mathcal{P}\) ci-dessous sont sécants. Déterminer leur point d\’intersection en résolvant un système.

\(d : \begin{cases}x=5-2t\\y=3+t\\z=4t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) et \(\mathcal{P} : 4x-3z+20=0\)

\(d\) et \(d^{\prime}\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases}x=5-t\\y=2+t\\z=1-3t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) et \(\begin{cases}x=t^{\prime}\\y=2-2t^{\prime}\\z=1+t^{\prime}\end{cases}\ (t^{\prime}\in\mathbb{R})\).

1. Démontrer que \(d\) et \(d^{\prime}\) ne sont pas parallèles.
2. Démontrer que \(d\) et \(d^{\prime}\) ne sont pas coplanaires en résolvant un système d\’équations.

\(\mathcal{P}\) est le plan d\’équation cartésienne :

\[x+4y-5z-16=0\]

et \(\mathcal{D}\) la droite de représentation paramétrique :

\[\begin{cases}x=-5+t\\y=4-t\\z=5-3t\end{cases}\]

\((t\in\mathbb{R})\).

1. Démontrer que la droite \(\mathcal{D}\) et le plan \(\mathcal{P}\) sont sécants.
2. Déterminer leur point d\’intersection en résolvant un système d\’équations.

Voici les représentations paramétriques respectives de deux droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sécantes. Déterminer leur point d\’intersection.

\(\begin{cases}x=1-t\\y=2t\\z=4\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) et \(\begin{cases}x=2+t^{\prime}\\y=-2-2t^{\prime}\\z=t^{\prime}\end{cases}\ (t^{\prime}\in\mathbb{R})\).

\(d\) et \(d^{\prime}\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases}x=1-t\\y=2+3t\\z=-4t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) et \(\begin{cases}x=-3+4t^{\prime}\\y=4-t^{\prime}\\z=-6+5t^{\prime}\end{cases}\ (t^{\prime}\in\mathbb{R})\).

1. Justifier que \(d\) et \(d^{\prime}\) ne sont pas parallèles.
2. Démontrer que \(d\) et \(d^{\prime}\) sont sécantes en résolvant un système d\’équations.

\(d\) et \(d^{\prime}\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\(\begin{cases}x=1-t\\y=2+2t\\z=-1+t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) et \(\begin{cases}x=2+t^{\prime}\\y=-2-t^{\prime}\\z=-2t^{\prime}\end{cases}\ (t^{\prime}\in\mathbb{R})\).

1. Déterminer les coordonnées d\’un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\) et d\’un vecteur directeur \(\vec{u}^{\prime}\) de \(d^{\prime}\).
2. En déduire que \(d\) et \(d^{\prime}\) ne sont pas parallèles. Quelle peut être la position relative de \(d\) et \(d^{\prime}\) ?
3. Déterminer le point d\’intersection de \(d\) et \(d^{\prime}\) en résolvant un système d\’équations.

On a placé quatre points A, B, C, D dans le repère orthonormé ci-dessous.

1. Lire les coordonnées des points A, B, C, D.
2. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}(3\,;\,2\,;\,3)\) est normal au plan (ABC) ; puis que le vecteur \(\vec{m}(1\,;\,-1\,;\,1)\) est normal au plan (ABD).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC), puis du plan (ABD).
4. Alix affirme « Le point E\((-10\,;\,-15\,;\,-3)\) appartient à l\’un des deux plans ». A-t-elle raison ?

Expliquer pourquoi la droite \(d\) et le plan \(\mathcal{P}\) ci-dessous sont sécants. Déterminer leur point d\’intersection en résolvant un système.

\(d : \begin{cases}x=5-2t\\y=3+t\\z=4t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) et \(\mathcal{P} : 4x-3z+20=0\)

\(\mathcal{P}\) est le plan d\’équation cartésienne :

\[2x+y-z+3=0\]

A est le point de coordonnées \((2\,;\,0\,;\,-1)\).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par A et perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\).
2. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan \(\mathcal{P}\).

QCM. Dans chaque cas, donner la réponse exacte sans justifier.

QCM. Dans chaque cas, donner la (ou les) réponse(s) exacte(s) sans justifier.

Vrai/Faux. Dans chaque cas, dire si l’affirmation est vraie ou fausse en justifiant.

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

L\^{\prime}espace est muni du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}})\).

I est le point du segment [EF] tel que \(\text{IF}=\dfrac{1}{4}\text{EF}\).

H est le projeté orthogonal du point I sur la droite (CE).

1. Affirmation : le plan (ABG) a pour équation cartésienne \(y-z=0\).
2. Affirmation : \(\begin{cases}x=1-2t\\y=1-2t\\z=2t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\) est une représentation paramétrique de la droite (CE).
3. Affirmation : le point H a pour coordonnées \(\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\).