Les équations paramétriques et cartésiennes de droites : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Exercice 1 – indiquer les coordonnées d’un vecteur directeur.

Pour la droite \(d\) :

Un point de la droite est donné par les coordonnées lorsque \(t = 0\) :

\((x, y, z) = (1, -3, 0)\)

Le vecteur directeur est donné par les coefficients de \(t\) :

\((2, 1, 5)\)

Pour la droite \(d’\) :

Un point de la droite est donné par les coordonnées lorsque \(t’ = 0\) :

\((x, y, z) = (2, 0, 1)\)

Le vecteur directeur est donné par les coefficients de \(t’\) :

\((-3, -2, -1)\)

Exercice 2 – déterminer les coordonnées de 4 points de la droite.

Pour déterminer les coordonnées de quatre points de la droite d, nous allons choisir quatre valeurs différentes pour t. Par exemple : , , , et .

1. Pour :

, ,

Coordonnées : (1, 5, -2)

2. Pour :

, ,

Coordonnées : (0, 8, -4)

3. Pour :

, ,

Coordonnées : (2, 2, 0)

4. Pour :

, ,

Coordonnées : (-1, 11, -6)

Exercice 3 – représentation paramétrique de la droite (AB).

Nous devons d’abord calculer le vecteur directeur de la droite (AB) à partir des points A(1; 2; 1) et B(4; 5; -2).

Le vecteur directeur \(\vec{AB}\) se calcule comme suit :

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est alors donnée par :

Ainsi, le système (1) correspond à une représentation paramétrique correcte de la droite (AB).

Exercice 4 – est-ce-que ces deux droites sont parallèles ?.

Pour déterminer si les droites \( d \) et \( d’ \) sont parallèles, nous devons comparer leurs vecteurs directeurs.

Pour la droite \( d \), le vecteur directeur est :

Pour la droite \( d’ \), le vecteur directeur est :

Les vecteurs \(\vec{v_{d}}\) et \(\vec{v_{d’}}\) sont proportionnels car on a :

Donc, les deux droites \(d\) et \(d’\) sont parallèles.

Exercice 5 – démontrer que les droites (d) et (d ‘) sont sécantes.

Vérifions si les droites (d) et (d’) sont sécantes en trouvant un point commun.

Les équations paramétriques de la droite (d) sont :

Les équations paramétriques de la droite (d’) sont :

Pour que les deux droites se coupent, il doit exister des valeurs de t et t’ telles que :

Résolvons ce système d’équations :

Première équation :

Deuxième équation :

Troisième équation :

Finalement, en résolvant ce système, trouvons la compatibilité des solutions :

Comparons les solutions des trois équations pour voir si les variables t et t’ peuvent être déterminées conjointement.

Conclusion : Les solutions obtenues pour t et t’ prouvent que les droites ont un point d’intersection, ce qui signifie qu’elles sont sécantes.

Exercice 6 – étudier l’intersection du plan P et de la droite d.

Pour déterminer l’intersection de la droite et du plan , substituons la représentation paramétrique de dans l’équation du plan.

Représentation paramétrique de :

Équation du plan :

En substituant, nous obtenons :

Simplifions l’expression :

La dernière équation est une identité, indiquant que la droite est contenue dans le plan .

Exercice 7 – montrer que les droites ne sont pas parallèles.

a) Montrer que les droites \(d\) et \(d’\) ne sont pas parallèles :

Les droites \(d\) et \(d’\) ont pour vecteurs directeurs respectifs :

Pour \(d\) :

Pour \(d’\) :

Pour que les droites soient parallèles, il faudrait qu’il existe un scalaire \(k\) tel que :

Cependant, cela donnerait le système suivant :

Les équations ne peuvent pas être satisfaites simultanément, donc \(d\) et \(d’\) ne sont pas parallèles.

b) Étudier l’intersection de \(d\) et \(d’\) :

Pour étudier l’intersection, on résout le système :

En résolvant les équations pour \(x\), \(y\), et \(z\) :

Équation 1 : \(1+2s=4t\)

Équation 2 : \(2+s=2-t\)

Équation 3 : \(-1+2s=2+2t\)

Résolvons l’équation 2 :

\(s+t=0\) donc \(t=-s\)

Substituons dans l’équation 1 :

\(1+2s=4(-s)\)

\(1+2s=-4s\)

\(1=-6s\)

\(s=-\frac{1}{6}\)

Donc \(t=\frac{1}{6}\)

Vérifions avec l’équation 3 :

\(-1+2(-\frac{1}{6})=2+2(\frac{1}{6})\)

\(-1-\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}\)

\(-\frac{4}{3}\neq\frac{7}{3}\)

Il n’y a pas de solution commune, donc les droites \(d\) et \(d’\) ne se croisent pas. Elles sont donc sécantes ou confondues dans l’espace tridimensionnel.

Exercice 8 – déterminer le point d’intersection de d et d ‘.

Pour la droite d :

Pour la droite d’ :

Pour que d et d’ se coupent, leurs équations doivent être égales :

1. Égalité des abscisses :

2. Égalité des ordonnées :

3. Égalité des cotes :

Résolvons ces équations :

De l’équation \((1+t=2t’)\), on obtient :

De l’équation \((3+t=1+t’)\), on obtient :

En substituant \(t’\) dans \(-4-2t=3+t’\) , il en résulte :

Substituons \(t=-3\) dans \(t’=2+t\) :

Point d’intersection :

Avec \(t=-3\) dans \((x=1+t, y=3+t, z=-4-2t)\):

Le point d’intersection est donc : \((-2, 0, 2)\).

Exercice 9 – déterminer une représentation paramétrique de la droite (EF).

a) Représentation paramétrique de la droite (EF) :

La droite (EF) passe par les points E(1 ; 0 ; 3) et F(3 ; -1 ; 2). Le vecteur directeur de la droite (EF) est donné par :

Une représentation paramétrique de la droite (EF) est donc :

b) Exist-il des valeurs de a et b pour lesquelles M appartient à la droite (EF) ?

Le point M(a ; b ; -2) appartient à la droite (EF) si et seulement si il existe un paramètre tel que :

De l’équation , nous trouvons :

Substituons dans les autres équations :

Ainsi, le point M(11 ; -5 ; -2) appartient à la droite (EF).

Exercice 10 – déterminer une représentation paramétrique de chaque droite.

a) Coordonnées des sommets :

A :

B :

C :

D :

E :

F :

G :

H :

b) Représentation paramétrique :

Droite (AG) :

\[
\begin{cases}
x = 0 + t \\
y = 0 + t \\
z = 0 + t
\end{cases}
\]
avec

Droite (BH) :

\[
\begin{cases}
x = 1 + 0 \cdot t \\
y = 0 + t \\
z = 0 + t
\end{cases}
\]
avec