Limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Les limites de suites sont un concept fondamental en mathématiques, crucial pour les élèves de terminale qui préparent leur baccalauréat. Comprendre ces notions permet de développer des compétences essentielles telles que l’analyse, la pensée critique et la résolution de problèmes. Dans cet article, nous allons corriger des exercices de mathématiques liés aux limites de suites, afin d’aider les étudiants à renforcer leur compréhension et leur maîtrise de cette thématique incontournable.

Exercice 1 – tableur et conjecture de l’expression de la suite en fonction de n.

a) Pour comparer v_n et n^2 pour les premières valeurs de , calculons quelques valeurs :

$v_2=\frac{3}{2}\times(1\times0+2\times1)=3$
$v_3=\frac{3}{3}\times(1\times0+2\times1+3\times2)=12$

On observe que v_n semble toujours plus grand que n^2 pour ces valeurs de .

b) Conjecturons une expression de v_n en fonction de :

Calculons le terme général :

$v_n=\frac{3}{n}(1\c\dot0+2\c\dot1+3\c\dot2+\l\dots+n(n-1))$

En utilisant la somme des entiers de 1 à n-1

$v_n=\frac{3}{n}\times \frac{(n-1)\times n}{2}$

Ce qui simplifie à :

$v_n=\frac{3}{2}(n-1)$

c) En admettant cette conjecture, déterminons la limite de la suite v_n :

La limite de $v_n=\frac{3}{2}(n-1)$ quand $n\to\infty$ est :

$\infty$

Exercice 2 – donner la limite de chaque suite.

a) Pour tout de $\mathbb{N}$ , u_n=-7n

La limite est $-\infty$ car $n\to+\infty$ , donc $-7n\to-\infty$ .

b) Pour tout de $\mathbb{N}$ , $u_n=e^{-n}$

La limite est car $e^{-n}\to0$ quand $n\to+\infty$ .

c) Pour tout de $\mathbb{N}$ , $u_n=\sqrt{n}$

La limite est $+\infty$ car $\sqrt{n}\to+\infty$ quand $n\to+\infty$ .

d) Pour tout de $\mathbb{N}$ , $n\geq1$ , $u_n=\frac{4}{n^2}$

La limite est car $\frac{4}{n^2}\to0$ quand $n\to+\infty$ .

Exercice 3 – dire si la suite définie a pour limite l’infini.

La suite tend vers l’infini quand $n\to+\infty$ car le terme linéaire domine.

La suite tend vers $-\infty$ quand $n\to+\infty$ car le terme linéaire domine.

c) $w_n=\frac{1}{n^2+1}$

La suite $w_n=\frac{1}{n^2+1}$ tend vers 0 quand $n\to+\infty$ car le dénominateur tend vers l’infini.

La suite tend vers l’infini quand $n\to+\infty$ car le terme cubic n^3 domine.

Exercice 4 – tableur et conjecture de la limite.

1. Suite u_n :

On observe que les valeurs de u_n sont des puissances de : 3^n .

Il n’y a pas de limite, car la suite tend vers l’infini.

2. Suite v_n :

Les termes de v_n sont donnés par la formule $\frac{1}{n}$ .

En augmentant , la suite v_n tend vers la limite suivante :

3. Suite w_n :

Les termes de w_n semblent alterner et conserver des valeurs autour de .

Ainsi, on conjecture que la limite est :

4. Suite t_n :

Les termes de t_n semblent se rapprocher de avec une précision croissante.

La limite de cette suite est :

Exercice 5 – calculatrice et limite de chacune des suites.

a) Tabuler les premiers termes de chaque suite u et v :

Pour n=2 :

$u_2=-3+\frac{1}{2^2}=-3+\frac{1}{4}=-2,75$

$v_2=2\times2^3+1=2\times8+1=17$

Pour n=3 :

$u_3=-3+\frac{1}{3^2}=-3+\frac{1}{9}=-2,888$

$v_3=2\times3^3+1=2\times27+1=55$

Pour n=4 :

$u_4=-3+\frac{1}{4^2}=-3+\frac{1}{16}=-2,9375$

$v_4=2\times4^3+1=2\times64+1=129$

b) Conjecturer la limite de chacune des suites.

La suite (u_n) semble tendre vers car le terme $\frac{1}{n^2}\to0$ quand $n\to+\infty$ .

La suite (v_n) tend vers $+\infty$ car les termes croissent avec n^3 .

c) À partir de quel rang a-t-on :

$u_n\in]-3,01;-2,99[$ :

Il faut $|-3+\frac{1}{n^2}|-3|<0,01$ , ou $-0,01<\frac{1}{n^2}<0,01$ .

Comme $\frac{1}{n^2}>0$ , cela revient à $\frac{1}{n^2}<0,01$ , soit n^2>100 , soit n>10 .

$v_n\in]10^4;+\infty[$ :

Il faut 2n^3+1>10000 , donc 2n^3>9999 , soit $n^3>\frac{9999}{2}\approx4999,5$ .

En prenant la racine cubique, on trouve $n\approx17,1$ , donc $n\geq18$ .

Exercice 6 – algorithme et suites numériques.

a) Expliquer son rôle. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier

tel que la suite $u_n=\sqrt{3n+4}$ dépasse une valeur donnée .

Il initialise à 0 et à 2, puis incrémente jusqu’à ce que $u\leq\, A$ .

b) Coder l’algorithme dans un langage de programmation.

python
def trouve_n(A):
n = 0
u = 2
while u <= A:
n += 1
u = (3 * n + 4) ** 0.5
return n

# Exemple de test
print(trouve_n(50))
print(trouve_n(100))
print(trouve_n(500))

c) Exécuter le programme. En exécutant le programme :

Pour , on obtient .
Pour , on obtient .
Pour , on obtient .

d) Conjecturer la limite de la suite .

La suite $u_n=\sqrt{3n+4}$ semble tendre vers l’infini quand tend vers l’infini.

Démontrer cette conjecture.

Pour démontrer que la suite $u_n=\sqrt{3n+4}$ tend vers l’infini,

on remarque que :

$\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt{3n+4}=\infty$

Le terme dominant dans l’expression sous la racine est , c

e qui implique que u_n croît indéfiniment quand $n\to\infty$ .

Exercice 7 – démontrer que la suite converge.

Pour montrer que la suite u_n définie par $u_n=5-\frac{2}{\sqrt{n}}$ converge,

nous devons prouver que pour tout $\epsilon>0$ ,

il existe un entier naturel tel que pour tout $n\geq\, N$ , $|u_n-L|<\epsilon$ , où est la limite de la suite.

Observons que:

$u_n=5-\frac{2}{\sqrt{n}}$

Lorsque tend vers l’infini, $\frac{2}{\sqrt{n}}$ tend vers 0. Ainsi, u_n tend vers 5.

On doit donc montrer que pour tout $\epsilon>0$ , il existe un entier tel que pour tout $n\geq\, N$ , $|u_n-5|<\epsilon$ .

Calculons l’écart :

$|u_n-5|=|5-\frac{2}{\sqrt{n}}-5|=|\frac{2}{\sqrt{n}}|$

Nous voulons que : $|\frac{2}{\sqrt{n}}|<\epsilon$ , ce qui équivaut à :

$\frac{2}{\sqrt{n}}<\epsilon\Rightarrow\sqrt{n}>\frac{2}{\epsilon}\Rightarrow n>(\frac{2}{\epsilon})^2$

Ainsi, pour $\epsilon>0$ , choisissons $N=(\frac{2}{\epsilon})^2$ . Donc, pour tout $n\geq\, N$ , nous avons $|u_n-5|<\epsilon$ .

Conclusion : La suite u_n converge vers 5.

Exercice 8 – démontrer que la suite a pour limite l’infini.

1. Conjecturer la limite de la suite :

Avec la calculatrice, en observant les premiers termes de la suite définie par , on remarque que les termes de la suite augmentent quand augmente. On peut conjecturer que la limite de la suite est $+\infty$ .

2a. Vérification de l’expression :

Vérifions que pour tout ,

Développement de :
Donc
Les expressions sont équivalentes, donc la vérification est correcte.

2b. Démonstration que la suite a pour limite +∞ :

Pour montrer que la suite tend vers $+\infty$ , observons que :

Les termes croissent de manière quadratique.
En ajoutant qui est constant, n’affecte pas le comportement à l’infini.
Donc quand tend vers l’infini, tend vers $+\infty$ .

Exercice 9 – convergence d’une suite et étude.

1. Étude de la suite .

a) Démontrer que, pour tout $n\geq6$ , $u_n\geq\, n^3$ .

La suite est définie par : .

Nous devons montrer que : $n^3+n-6\geq\, n^3$ .

En simplifiant, cela revient à : $n-6\geq0$ , ce qui est vrai pour tout $n\geq6$ .

b) En déduire la limite de la suite .

Pour $n\geq6$ , nous avons $u_n\geq\, n^3$ . Or, $n^3\to+\infty$ quand $n\to+\infty$ .

Donc, par le théorème de comparaison, la limite de u_n est $+\infty$ .

2. Étude de la convergence de la suite .

La suite est définie par : $v_n=\frac{(-1)^n\sin n}{n^2}$ .

Pour étudier la convergence de v_n , observons que $|\sin n|\leq\,1$ .

Ainsi, $|v_n|=|\frac{(-1)^n\sin n}{n^2}|\leq\,\frac{1}{n^2}$ .

Or, la série $\sum\frac{1}{n^2}$ est convergente (série de type -série avec p=2>1 ). Par le principe de comparaison, $\frac{(-1)^n\sin n}{n^2}\to0$ .

Donc, la suite v_n converge vers .

Exercice 10 – suite et preuve par récurrence.

a) Démontrer que, pour tout $n\geq2$ , $v_n\geq\sqrt{n}$ .

Pour démontrer cette inégalité, on commence par écrire :

$v_n=(n^2-n)\sqrt{n}=(n-1)n\sqrt{n}$

Pour que $v_n\geq\sqrt{n}$ , il suffit de montrer que $(n-1)n\sqrt{n}\geq\sqrt{n}$ .

En simplifiant par $\sqrt{n}$ , on obtient :

$(n-1)n\geq1$

Pour $n\geq2$ , on a :

$(n-1)n\geq1\times2=2\geq1$

Donc, pour tout $n\geq2$ , $v_n\geq\sqrt{n}$ .

b) En déduire la limite de la suite .

Pour trouver la limite de la suite v_n , observons que :

$v_n=(n^2-n)\sqrt{n}=n^{2,5}-n^{0,5}$

Lorsque tend vers l’infini, le terme $n^{0,5}$ devient négligeable par rapport à $n^{2,5}$ .

Donc, la limite de v_n quand tend vers l’infini est :

$\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$

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