La continuité : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

La continuité est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement crucial pour les élèves de terminale qui se préparent pour le baccalauréat. Comprendre la continuité permet de maîtriser des compétences essentielles telles que l’analyse de fonctions, les limites et la dérivation. Cet article de corrections d’exercices vous aidera à améliorer votre compréhension de la continuité et à renforcer vos compétences en mathématiques, vous préparant ainsi à exceller lors de vos examens.

Exercice 1 – fonctions rationnelles et asymptotes.

1) a) Détermination de et :

On sait que f(0)=1 , donc :

$\frac{b}{-1}=1$

Donc, b=-1 .

On sait aussi que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$ , donc :

$\lim_{x\to+\infty}\frac{ax+b}{2x-1}=2$

On en déduit que a=4 .

b) Expression de :

En utilisant les valeurs de et , on trouve :

$f(x)=\frac{4\times2+(-1)}{4x-2}=\frac{2+x}{2x-1}$

2) Détermination des asymptotes à $\mathcal{C}$ :

Asymptote horizontale : y=2

Asymptote verticale : $x=\frac{1}{2}$

3) Calcul de et étude de son signe :

$f'(x)=\frac{(2x-1)\times4-(4x+(-1))\times2}{(2x-1)^2}=\frac{-2}{(2x-1)^2}$

Le signe de f'(x) est toujours négatif.

4) Tableau de variation de :

Sur $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et $]\frac{1}{2};+\infty[$ , est décroissante.

5) Tracé de l’allure de $\mathcal{C}$ :

Utiliser les asymptotes et le tableau de variation pour tracer la courbe.

Exercice 2 – sens de variation, signe et solutions de l’inéquation.

1) Montrer que, pour tout $x\neq2$ , $f(x)=2+\frac{1}{x-2}$ :

On a $f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$ .

Il s’agit de séparer la fraction ainsi :

$f(x)=\frac{2(x-2)+4-3}{x-2}=\frac{2(x-2)+1}{x-2}$ .

En divisant, on obtient :

$f(x)=2+\frac{1}{x-2}$ .

2) Donner les limites aux bornes de $\mathcal{D}$ :

Quand x tend vers 2 par la gauche, $f(x)=2-\infty$ .

Quand x tend vers 2 par la droite, $f(x)=2+\infty$ .

Quand x tend vers $-\infty$ , f(x)=2 .

Quand x tend vers $+\infty$ , f(x)=2 .

3) En utilisant la forme la plus adaptée, déterminer :

a) Le sens de variation de la fonction f :

La fonction $f(x)=2+\frac{1}{x-2}$ est décroissante sur $]-\infty,2[$ et croissante sur $]2,+\infty[$ .

b) Le signe de f(x) :

Pour x>2 , f(x)>2 ; pour x<2 , f(x)<2 .

c) Les solutions de l’inéquation $f(x)\geq2$ :

Il s’agit de résoudre $2+\frac{1}{x-2}\geq2$ , ce qui donne $\frac{1}{x-2}\geq0$ .

Donc x>2 .

Les solutions sont donc $]2,+\infty[$ .

Exercice 3 – préciser si les affirmations sont vraies ou fausses.

1) Réponse : Faux.

Si est strictement décroissante sur $[a;+\infty[$ , elle n’atteint jamais $-\infty$ dans un intervalle de la forme $[a;+\infty[$ .

2) Réponse : Vrai.

Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$ , alors $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

par définition du quotient de deux fonctions ayant la même limite infinie.

3) Réponse : Faux.

Pour $0\leq\,f(x)\leq\sqrt{x}$ , on a $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$ car $\sqrt{x}$ croît moins vite que .

4) Réponse : Vrai.

La droite x=0 (l’axe des ordonnées) est une asymptote verticale si la fonction n’est pas définie en .

C’est le cas pour une fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ .

Exercice 4 – trouver la bonne réponse parmi les réponses proposées.

L’équation de la fonction est :

$g(x)=\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x-1}$

Il faut d’abord simplifier et analyser cette fonction. Le numérateur $\sqrt{x^2-2x}$ se simplifie en |x-1| , donc :

$g(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$

On a donc :

– Si x>1 , alors et donc g(x)=1 .

– Si x<1 , alors et donc g(x)=-1 .

Pour le point x=1 , la fonction n’est pas définie, donc il faut vérifier les comportements.

Pour x>1 , la fonction tend vers 1, donc il y a une asymptote horizontale en y=1 .

Pour x<1 , la fonction tend vers , donc il y a une asymptote horizontale en y=-1 .

Conclusion : Les réponses correctes sont :

a et d

Exercice 5 – lien entre continuité et dérivabilité.

a) Si est dérivable en , alors est continue en .

C’est vrai. En effet, la dérivabilité de en implique que la limite

du taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe finie lorsque $h\to0$ ,

ce qui implique que $f(a+h)\to\,f(a)$ .

Donc, est continue en .

b) Si est continue en , alors est dérivable en .

C’est faux. La continuité n’entraîne pas nécessairement la dérivabilité.

Un contre-exemple classique est la fonction valeur absolue , qui est continue en x=0 mais non dérivable en ce point.

c) Si est dérivable en , alors la fonction $h\mapsto\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a une limite finie en 0.

C’est vrai. Par définition même de la dérivabilité, si est dérivable en , alors la limite de $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque $h\to0$ existe et est finie.

Cette limite est, en fait, f'(a) .

Exercice 6 – le théorème des gendarmes.

1) Réponse : On dit que f admet une limite finie $\ell$ en $+\infty$ si, pour tout $\epsilon>0$ , il existe un réel tel que pour tout x>A , $|f(x)-\ell|<\epsilon$ .

2) Démonstration du théorème des gendarmes :

Étant donné trois fonctions f, g, et h définies sur $[a;+\infty[$ , supposons que $g(x)\leq\,f(x)\leq\,h(x)$ pour tout suffisamment grand.

Si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=\ell$ , alors par le théorème des gendarmes, la limite de f quand tend vers $+\infty$ est également $\ell$ , soit

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ .

Exercice 7 – continuité en 1 et – 1 d’une fonction.

Première fonction :

Pour déterminer si la fonction est continue en 1, nous devons vérifier :

– La valeur de la fonction en 1 : $f(1)=-\frac{1}{4}$ .

– La limite de la fonction lorsque x tend vers 1 :

Calculons $\lim_{x\to1}f(x)$ :

$f(x)=\frac{2-\sqrt{x+3}}{x-1}$ .

En appliquant le calcul de limite, nous avons :

$\lim_{x\to1}\frac{2-\sqrt{x+3}}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}$ .

Ce qui se simplifie en :

$\lim_{x\to1}\frac{1-x}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}=-\frac{1}{4}$ .

Puisque la limite est égale à la valeur de la fonction en 1, la fonction est continue en 1.

Deuxième fonction :

Pour déterminer si la fonction est continue en -1, nous devons vérifier :

– La valeur de la fonction en -1 : f(-1)=1 .

– La limite de la fonction lorsque x tend vers -1 :

Calculons $\lim_{x\to-1^+}f(x)$ :

$f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}$ .

Lorsque x tend vers -1 par la droite :

$\lim_{x\to-1^+}\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to-1^+}\sqrt{x+1}=0$ .

La limite n’étant pas égale à la valeur de la fonction en -1, la fonction n’est pas continue en -1.

Exercice 8 – déterminer les intervalles où f est continue.

Figure a :

1) Continuité : La fonction est continue sur $]-1,1]\cup]1,2]$ .

2) Image de 1 : f(1)=0

Les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1, donc ne coïncide pas avec f(1).

Figure b :

1) Continuité : La fonction est continue sur $]-1,1[\cup]1,2]$ .

2) Image de 1 : f(1)=1

Les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1, donc coïncide avec f(1).

Figure c :

1) Continuité : La fonction est continue sur $]-1,1[\cup[1,2]$ .

2) Image de 1 : f(1)=0

Les limites à gauche et à droite de 1 sont de 0 et 1 respectivement, donc ne coïncide pas avec f(1).

Figure d :

1) Continuité : La fonction est continue sur ]-1,2] .

2) Image de 1 : f(1)=1

Les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1, donc coïncide avec f(1).

Exercice 9 – déterminer l’ensemble de définition de f.

1) Déterminer l’ensemble de définition de

L’expression de la fonction est donnée par :

$f(x)=(x-1)\sqrt{1-x^2}$

Pour que f(x) soit définie, il faut que l’expression sous la racine soit positive ou nulle :

$1-x^2\geq0$

Cela équivaut à :

$1\geq\,x^2$

Ce qui donne :

$-1\leq\,x\leq\,1$

Donc, l’ensemble de définition est :

$D=\left[-1,1\right]$

2) Représenter graphiquement

Pour tracer la courbe de $f(x)=(x-1)\sqrt{1-x^2}$ , vous pouvez utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel tel que GeoGebra ou Desmos.

3) Étudier la continuité de sur

La fonction f(x) est continue sur car il s’agit d’un produit de fonctions continues (une fonction affine et la racine carrée d’une fonction polynomiale continue et définie sur l’intervalle donné).

Exercice 10 – La fonction f est-elle continue en 1 ?.

1) Tracer la courbe représentative de f :

La fonction est définie par deux expressions :

– pour $x\leq-1$

– pour x>-1

Tracez chaque partie de la fonction pour les valeurs données.

2) La fonction f est-elle continue en 1 ?

Pour qu’une fonction soit continue en un point, la limite à gauche et la limite à droite en ce point doivent être égales et la fonction doit être définie en ce point.

Calculons les limites à gauche et à droite en x=1 :

3) Déterminer $\lim_{x\to-1^{-}}f(x)$ et $\lim_{x\to-1^{+}}f(x)$ :

Pour $x\to-1^{-}$ (donc $x\leq-1$ ) :

$\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}(x+2)=-1+2=1$

Pour $x\to-1^{+}$ (donc x>-1 ) :

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1^{+}}(-2x-1)=2(1)-1=1$

Conclusion : Comme les limites à gauche et à droite en x=-1 ne sont pas égales, la fonction n’est pas continue en x=-1 .

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