Les intégrales : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Les intégrales constituent un concept fondamental en mathématiques, particulièrement pour les élèves de terminales. Maîtriser les intégrales est essentiel pour développer des compétences en analyse et en calcul différentiel, des domaines clés du programme. Cet article vous guidera à travers des exercices corrigés, afin de renforcer votre compréhension et votre confiance face à ce sujet crucial pour votre parcours académique et vos études supérieures.

Exercice 1 – calculer la valeur exacte des intégrales à l’aide des primitives.

1) I = $\int_{-4}^{0}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx$

Primitif : $2\sqrt{1-x}$

Évaluation : $2([\sqrt{1-0}]-[\sqrt{1-(-4)}])=2(1-\sqrt{5})$

$2(1-\sqrt{5})$

2) J = $\int_{-1}^{0}\frac{1}{1-x}x,dx$

Primitif : $- \ln|1-x|$

Évaluation : $-([\ln|1-0|]-[\ln|1-(-1)|]) = -(\ln(1)-\ln(2)) = \ln(2)$

3) K = $\int_{2}^{3}\frac{1}{1-x}\,dx$

Primitif : $- \ln|1-x|$

Évaluation : $-([\ln|1-3|]-[\ln|1-2|]) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)$

4) L = $\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x}\,dx$

Primitif : $\frac{(\ln(x))^2}{2}$

Évaluation : $\frac{(\ln(e))^2}{2} - \frac{(\ln(1))^2}{2}= \frac{1}{2}$

Intégrale avec duplication :

$\mathrm{I}=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(2t)}{\sqrt{1+\sin^2(t)}}\,dt$

Utilisons la formule de duplication : $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$

L’intégrale devient complexe à résoudre de cette manière sans calculateur, donc calculons avec analyses numériques pour résoudre ce problème plus complexe.

Exercice 2 – problème sur le calcul d’une intégrale classique.

1) Explication :

La fonction $f(x)=\frac{x}{x+1}$ ne correspond à la dérivée d’aucune fonction connue de manière directe. En effet, appliquer les formes classiques de dérivées aux fonctions composées avec des polynômes et des logarithmes ne permet pas d’obtenir directement cette expression.

2) Démarche pour exprimer :

En posant , on cherche à écrire sous la forme $\alpha+\frac{\beta}{x+1}$ .

À partir de $\frac{x}{x+1}=(x+1-1)\cdot\frac{1}{x+1}$ , nous développons :

$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$

Donc, $\alpha=1$ et $\beta=-1$ .

3) Calcul de l’intégrale :

En écrivant $\int_{0}^{1}(\alpha+\frac{\beta}{x+1})\,dx$ , nous avons :

$\int_{0}^{1}(1-\frac{1}{x+1})\,dx=\int_{0}^{1}1\,dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx$

$=[x]_{0}^{1}-[\ln(x+1)]_{0}^{1}$

$=1-(\ln(2)-\ln(1))$

$=1-\ln(2)$

Ainsi, I = 1 – \ln(2).

Exercice 3 – problème et calculs d’intégrales.

1) Démonstration de l’identité :

Pour montrer que pour tout réel $ t $ : $ f(t) = -2\sin(t) – f »(t) $, calculons $ f'(t) $ et $ f »(t) $ où $ f(t) = t\cos(t) $.

Tout d’abord, calculons $ f'(t) $ :

\[
f'(t) = \frac{d}{dt}(t\cos(t)) = \cos(t) – t\sin(t)
\]

Puis calculons $ f »(t) $ :

\[
f »(t) = \frac{d}{dt}(\cos(t) – t\sin(t)) = -\sin(t) – \sin(t) – t\cos(t) = -2\sin(t) – t\cos(t)
\]

Donc, nous avons :

\[
f(t) = t\cos(t) = -2\sin(t) – (-2\sin(t) – t\cos(t)) = -2\sin(t) – f »(t)
\]

2) Calcul de l’intégrale :

On veut calculer $ I = \int_{0}^{\pi} t\cos(t) \, dt $.

En utilisant l’expression trouvée précédemment, sachant que $ f(t) = t\cos(t) = -2\sin(t) – f »(t) $, nous intégrons de 0 à $ \pi $ :

\[
I = \int_{0}^{\pi} t\cos(t) \, dt = \int_{0}^{\pi} (-2\sin(t) – f »(t)) \, dt
\]

Cette intégrale peut être séparée :

\[
I = -2\int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt – \int_{0}^{\pi} f »(t) \, dt
\]

La première partie est :

\[
-2\int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt = -2[-\cos(t)]_{0}^{\pi} = -2[1 – (-1)] = 0
\]

Pour la seconde partie, $ \int_{0}^{\pi} f »(t) \, dt = [f'(t)]_{0}^{\pi} $. Comme $ f'(t) = \cos(t) – t\sin(t) $ :

\[
f'(t)_{0}^{\pi} = (\cos(\pi) – \pi\sin(\pi)) – (\cos(0) – 0\sin(0)) = (-1) – (1) = -2
\]

Donc, l’intégrale :

\[
I = 0 – (-2) = 2
\]

La valeur de $ I $ est donc :

Exercice 4 – intégration avec exponentielle, sinus et cosinus.

1) Calculons I + J :

$I+J=\int_{0}^{1}(\frac{e^{x}+1}{e^{x}+2}+\frac{1}{e^{x}+2})dx$

$I+J=\int_{0}^{1}\frac{e^{x}+1+1}{e^{x}+2}dx$

$I+J=\int_{0}^{1}dx=1$

Calculons I – J :

$I-J=\int_{0}^{1}(\frac{e^{x}+1}{e^{x}+2}-\frac{1}{e^{x}+2})dx$

$I-J=\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx$

Par changement de variable, posons $u=e^{x}+2$ , donc $du=e^{x}dx$ .

Les bornes deviennent : pour et pour .

$I-J=\int_{3}^{e+2}\frac{1}{u}du=\ln(e+2)-\ln(3)=\ln(\frac{e+2}{3})$

En résolvant le système :

$I-J=\ln(\frac{e+2}{3})$

On obtient :

$I=\frac{1+\ln(\frac{e+2}{3})}{2}$

$J=\frac{1-\ln(\frac{e+2}{3})}{2}$

2) Calculons ensuite :

$\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(t)dt$ et $\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(t)dt$

Utilisons l’identité trigonométrique : $\cos^{2}(t)=\frac{1+\cos(2t)}{2}$

$I=\int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos(2t)}{2}dt=[\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}]_{0}^{\pi}$

$I=\frac{\pi}{2}$

Pareillement, utilisons : $\sin^{2}(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}$

$J=\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}dt=[\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}]_{0}^{\pi}$

$J=\frac{\pi}{2}$

Donc les valeurs finales des intégrales sont I = \frac{\pi}{2} et J = \frac{\pi}{2}.

Exercice 5 – une étude de fonction puis d’une intégrale.

1) Quel est l’ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $ f $ ?

L’ensemble de définition de $ f $ est car sous la racine, le terme doit être supérieur ou égal à zéro.

2) a) Représenter graphiquement $ f $ sur $\mathcal{D}_f$ et conjecturer la nature géométrique de $\mathcal{C}_f$ .

La fonction $ f(x) = \sqrt{1-x^2} $ représente un demi-cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan.

b) Soit $ M(x_M ; y_M) $ un point du plan. Démontrer que $ M \in \mathcal{C}_f $ si et seulement si et $x_M\in \mathcal{D}_f$ .

Un point $ M $ appartient au demi-cercle si la distance entre $ O $ et $ M $ est 1, c’est-à-dire $x_M^2 + y_M^2 = 1$ et $ x_M \in [-1, 1] $.

c) En déduire la nature exacte de $\mathcal{C}_f$ .

La courbe $\mathcal{C}_f$ est un demi-cercle de rayon 1, sur la partie supérieure du cercle centré à l’origine.

3) On considère $I=\int_{-1}^{1}f(x) \, dx$

a) Pourquoi cette intégrale est-elle bien définie ?

La fonction $ f(x) = \sqrt{1-x^2} $ est continue et bornée sur l’intervalle , donc l’intégrale est définie.

b) Déduire des questions précédentes la valeur de $ I $.

L’intégrale $ I $ représente l’aire sous le demi-cercle entre $-1$ et $1$. L’aire d’un demi-cercle de rayon 1 est $\frac{\pi}{2}$ . Donc, $ I = \frac{\pi}{2} $.

Exercice 6 – démontrer que ces fonctions sont des primitives.

1) a) Démontrer que $\varphi$ et $\psi$ sont deux primitives sur $\mathbb{R}^+$ d’une même fonction $f$ que l’on précisera.

Pour $\varphi(x) = \int_{0}^{x} t^2 e^t \, dt$, en appliquant le théorème fondamental de l’analyse, on a :
$\varphi'(x) = x^2 e^x$

Pour $\psi(x) = (x^2 – 2x + 2)e^x$, en dérivant, on trouve :
$\psi'(x) = (x^2 - 2x + 2)'e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x$

Calculons la dérivée :
$\psi'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x$

Simplifiant, on obtient :
$\psi'(x) = x^2 e^x$

Donc, $\varphi$ et $\psi$ sont deux primitives de la même fonction $f(x) = x^2 e^x$.

b) En déduire la relation qu’il existe entre $\varphi$ et $\psi$.

Comme $\varphi$ et $\psi$ sont deux primitives de $f(x) = x^2 e^x$, elles diffèrent d’une constante :
$\varphi(x) = \psi(x) + C$

2) Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que :

a) $F(0) = 0$

On sait que $\varphi(0) = 0$ à cause de l’intégrale de borne 0. Donc, $F(x) = \varphi(x)$.

b) $F(1) = 0$

On a l’équation $\varphi(1) = \psi(1) + C = 0$. Calculons $\varphi(1)$ et $\psi(1)$ :

$\varphi(1) = \int_{0}^{1} t^2 e^t \, dt$

Approximativement, trouvons la valeur numérique en calculant ou en utilisant une méthode numérique.

Résolvons pour $C$ avec $\psi(1)$ calculé directement :
<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\psi(1) = 1 \cdot e^1 = e\) donc
\(F(1) = \psi(1) + C = 0 \Rightarrow C = -\psi(1)".

Finalement, $F$ est donné par :
$F(x) = \varphi(x) - \psi(x) - \psi(1)$

Exercice 7 – les fonctions F et G sont-elles des primitives ?.

Pour savoir si les fonctions $ F $ et $ G $ sont les primitives d’une même fonction sur $ I $, nous devons examiner leurs dérivées.

Considérons les fonctions :

$ F(x) = \frac{x^2 – x + 1}{x + 1} $

$ G(x) = \frac{x^2 – 3x – 1}{x + 1} $

Il est pratique de simplifier ces expressions pour dériver plus facilement.

Pour $ F(x) $ :

Effectuons la division :

$ x^2 – x + 1 = (x + 1)(x – 2) + 3 $, donc :

$ F(x) = x – 2 + \frac{3}{x + 1} $

Pour $ G(x) $ :

Effectuons la division :

$ x^2 – 3x – 1 = (x + 1)(x – 4) + 3 $, donc :

$ G(x) = x – 4 + \frac{3}{x + 1} $

Dérivons $ F(x) $ et $ G(x) $ :

Pour $ F'(x) $ :

$ F'(x) = 1 – \frac{3}{(x + 1)^2} $

Pour $ G'(x) $ :

$ G'(x) = 1 – \frac{3}{(x + 1)^2} $

Conclusion : Les dérivées $ F'(x) $ et $ G'(x) $ sont identiques. Donc, $ F(x) $ et $ G(x) $ sont bien des primitives de la même fonction sur $ I $, à savoir de la fonction $ f(x) = 1 – \frac{3}{(x + 1)^2} $.

Exercice 8 – déterminer les primitives de chacune des fonctions.

1) $f(x)=x^2+x^3\,\text{sur}\,\mathbb{R}$

La primitive est : $F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+C$

2) $f(x)=\frac{1}{x} + 1\,\text{sur}\,]0;+\infty[$

La primitive est : $F(x)=\ln|x|+x+C$

3) $f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}\,\text{sur}\,]0;+\infty[$

La primitive est : $F(x)=-\frac{1}{x}-2\sqrt{x}+C$

4) $f(x)=\sin(x)-\cos(x)\,\text{sur}\,\mathbb{R}$

La primitive est : $F(x)=-\cos(x)-\sin(x)+C$

1) $f(x)=x^5-4x+3\,\text{sur}\,\mathbb{R}$

La primitive est : $F(x)=\frac{x^6}{6}-2x^2+3x+C$

2) $f(x)=\frac{1}{x^5}-\frac{1}{4x}\,\text{sur}\,]0;+\infty[$

La primitive est : $F(x)=-\frac{1}{4x^4}-\frac{\ln|x|}{4}+C$

3) $f(x)=x\sqrt{x}\,\text{sur}\,]0;+\infty[$

La primitive est : $F(x)=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C$

4) $f(x)=\frac{x^2+1}{x}\,\text{sur}\,]0;+\infty[$

Simplification : $x+\frac{1}{x}$

La primitive est : $F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln|x|+C$

Exercice 9 – représenter ces fonctions et déterminer la primitive.

1) En reconnaissant une forme connue de dérivée :

On reconnaît que $h(t)=2\sin(t)\cos(t)$ est la dérivée de $\sin^2(t)$ . Donc, une primitive est :

$H_1(t)=\sin^2(t)$

2a) Écriture de $h(t)$ :

Pour tout $ t $, on a $h(t)=\sin(2t)$ .

2b) Déduction d’une autre primitive :

En utilisant $\sin(2t),$ une primitive est :

$H_2(t)=-\frac{1}{2}\cos(2t)$

3a) Représentation graphique :

Les fonctions et ne sont pas égales, car elles diffèrent d’une constante.

3b) Constante qui les différencie :

Les primitives diffèrent d’une constante $ C $. Ainsi, on a :

4) Primitive de $h$ qui s’annule en 0 :

Pour $ H_2(0) = 0 $, nous devons résoudre :

$-\frac{1}{2}\cos(0) + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.

Donc, la primitive est :

$H(t)=-\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{1}{2}$

Exercice 10 – sur quel intervalle F est-elle une primitive de la fonction ln ?.

1) À la vue de ce résultat, quelle fonction F semble être une primitive de la fonction logarithme népérien sur $[1; +\infty[$ ?

La fonction qui semble être une primitive de $\ln(x)$ est $x\ln(x)-x$ .

2) Le vérifier par le calcul.

Calculons la dérivée de $F(x)=x\ln(x)-x$ :

En utilisant la règle du produit pour la dérivée, on a :

$F'(x)=\frac{d}{dx}(x\ln(x))-\frac{d}{dx}(x)$ .

$F'(x)=\ln(x)+1-1$ .

$F'(x)=\ln(x)$ .

La dérivée de $F(x)$ est bien $\ln(x)$, ce qui confirme que $F(x)=x\ln(x)-x$ est une primitive de $\ln(x)$.

3) En réalité, sur quel intervalle F est-elle une primitive de la fonction ln ?

$F(x)=x\ln(x)-x$ est une primitive de $\ln(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$, car la fonction $\ln(x)$ est définie pour $x>0$.

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