Droites et plans de l’espace : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Exercice 1 – position relative des droites dans un cube.

Les droites \((EF)\) et \((HK)\) sont parallèles. En effet, les points \(J\) et \(K\) sont les milieux des arêtes \([EF]\) et \([FG]\), respectivement.

Ainsi, le vecteur \(\vec{EF}\) est parallèle au vecteur \(\vec{HK}\) car ils ont la même direction dans le cube.

Nous pouvons aussi constater que les longueurs \([EF]\) et \([HK]\) sont égales, car ce sont des arêtes du cube.

En conclusion, car ils sont des arêtes parallèles dans le cube et partagent la même orientation et longueur.

Exercice 2 – déterminer et construire la section d’un cube.

1er Cas :

Dans le premier cas, on considère que:

• est le milieu de .
• est le milieu de .
• est le point de tel que .

Pour déterminer et tracer la section du cube par le plan , tracez le triangle formé par les points I, J et K. Ce triangle représente la section du cube par le plan requis.

2ème Cas :

Dans le second cas, on a :

• et .
• et .
• et .

Pour déterminer et tracer la section du cube par le plan , tracez le triangle formé par les points I, J et K. Ce triangle représente la section du cube par le plan requis.

Exercice 3 – construire la section de la pyramide.

1) Reproduction de la figure :

N’oubliez pas de placer les points I et J qui sont les milieux des segments \([SD]\) et \([AB]\), respectivement. Cela signifie que les coordonnées de ces points sont obtenues en prenant la moyenne des coordonnées des extrémités de chaque segment.

2) Construction de la section par le plan \((CIJ)\) :

Pour construire la section de la pyramide par le plan \((CIJ)\), suivez ces étapes :

• Tracer le segment \([CI]\).
• Tracer le segment \([CJ]\).
• La droite passant par \((I)\) doit être parallèle à la base \([AB]\).

La section est alors un triangle formé par les points \((C), (I)\) et \((J)\).

Justification : Le plan \((CIJ)\) est déterminé par les points \(C\), \(I\), et \(J\). En coupant la pyramide par ce plan, la section obtenue sera un triangle car chaque sommet du triangle appartient à une arete différente de la pyramide.

Exercice 4 – quelle est la nature de cette section ?.

1) Reproduction de la figure :

Reproduisez le tétraèdre régulier \(ABCD\) en vous aidant des médianes pour trouver les points \(I\), \(J\) et \(K\), qui sont les milieux des segments \([BC]\), \([AB]\) et \([AD]\) respectivement.

2) Construction de la section par le plan \((IJK)\) :

Le plan \((IJK)\) intersecte le tétraèdre en formant une section plane. Les points \(I\), \(J\), et \(K\) ont été choisis comme milieux des côtés, ce qui aide à déterminer la section, puisque chaque paire de ces points est équidistante des sommets correspondants du tétraèdre.

3) Nature de la section :

La section du tétraèdre par le plan \((IJK)\) est un triangle. Pour justifier cela, nous utilisons le fait que \(I\), \(J\), et \(K\) sont les milieux de trois arêtes du tétraèdre. Le plan passant par ces trois points forme une section triangulaire, qui est en fait un triangle médian du tétraèdre. Ce triangle est un triangle équilatéral car le tétraèdre est régulier.

Exercice 5 – citer des droites orthogonales.

1) Citer six droites orthogonales à la droite (EA) :

Les droites orthogonales à (EA) sont : (AB), (AD), (EF), (EH), (BC) et (FG).

2) Citer six droites orthogonales à la droite (EB) :

Les droites orthogonales à (EB) sont : (AB), (BC), (EH), (ED), (AF) et (HG).

3) Citer deux droites orthogonales au plan (BCG) :

Les droites orthogonales au plan (BCG) sont : (AE) et (DH).

4) Citer deux droites orthogonales au plan (AFG) :

Les droites orthogonales au plan (AFG) sont : (BC) et (DH).

1) Démontrer que la droite (AB) est orthogonale au plan (BCG) :

La droite (AB) est orthogonale au plan (BCG) car elle est perpendiculaire aux droites (BC) et (BG) qui appartiennent à ce plan.

2) En déduire que les droites (AB) et (CF) sont orthogonales :

La droite (CF) est dans le plan (BCG), et comme (AB) est orthogonale à ce plan, elle est donc orthogonale à toute droite dans ce plan, y compris (CF).

Exercice 6 – tracer l’intersection du plan et d’une face.

1) Pour reproduire la figure de l’exercice précédent, assurez-vous d’avoir une représentation claire du pavé ABCDEFGH.

2) Pour tracer l’intersection du plan avec la face EABF, identifiez les points où le plan coupe les arêtes de la face. Reliez ces points pour tracer la ligne d’intersection.

3) Pour la face DCGH, appliquez le même principe : trouvez les points d’intersection du plan avec les arêtes de la face, puis connectez ces points.

4) Finalement, pour terminer la construction de la section du pavé ABCDEFGH par le plan , reliez les intersections trouvées précédemment pour dessiner la section complète.

Exercice 7 – construire la section d’un cube par le plan (IJK).

1. Section par le plan (EIJ) :

Le plan est défini par les points E, I, J, qui sont des points spécifiques entre les sommets du cube.

Position des points :

• I est situé sur tel que
• J est situé sur tel que

Pour tracer la section du cube par le plan (EIJ), déterminez les points d’intersection du plan avec les arêtes du cube qui passent par E, I, et J. Reliez ces points pour représenter la section.

2. Section par le plan (IJK) :

Position des points :

• I est situé sur tel que
• J est situé sur tel que
• K est situé sur tel que

Pour tracer la section du cube par le plan (IJK), trouvez les points d’intersection que le plan a avec les arêtes du cube passant par I, J, et K. Reliez ensuite ces points d’intersections pour représenter la section.

Exercice 8 – section et construction .

Première situation :

1. Détermination des points

Le cube est noté . Les points et sont les milieux respectifs de et .

2. Construction de la section

Pour construire la section, tracez le plan passant par les points . Ce plan coupe le cube selon un quadrilatère.

Conclusion : La section est déterminée par les points , , , et l’intersection avec .

Deuxième situation :

1. Détermination des points

Les points sont définis comme suit :

• avec
• avec
• avec

2. Construction de la section

Tracez le plan passant par les points pour obtenir la section du cube.

Conclusion : La section du cube par le plan est un quadrilatère formé par les intersections des faces du cube avec ce plan.

Exercice 9 – donner les coordonnées des vecteurs.

1) Calcul des coordonnées des vecteurs:

Pour le vecteur :

Pour le vecteur :

Pour le vecteur :

2) Calcul des coordonnées des vecteurs et :

Pour le vecteur :

Pour le vecteur :

Exercice 10 – déterminer les coordonnées du vecteur.

1) Déterminer les coordonnées du point C défini par \(\vec{AC} = \vec{u}\)

Le vecteur \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((2 ; -1 ; 4)\). Le point A a pour coordonnées \((2 ; 5 ; -1)\).

Les coordonnées du point C sont obtenues en ajoutant celles du vecteur \(\vec{u}\) aux coordonnées du point A :

\(C(2 + 2 ; 5 – 1 ; -1 + 4)\)

Soit \(C(4 ; 4 ; 3)\).

2) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) puis celles du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées :

\(\vec{AB} = B – A = (0 – 2 ; 3 – 5 ; 4 + 1) = (-2 ; -2 ; 5)\)

Puisque ABCD est un parallélogramme, \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Donc, pour trouver D, on ajoute \(\vec{AB}\) aux coordonnées du point C :

\(D = C + \vec{AB} = (4 – 2 ; 4 – 2 ; 3 + 5) = (2 ; 2 ; 8)\)

3) Déterminer les coordonnées du centre K de ce parallélogramme.

Le centre K d’un parallélogramme est le milieu des diagonales \(\vec{AC}\) et \(\vec{BD}\). On calcule d’abord les points correspondants :

Pour le milieu K des coordonnées \((x, y, z)\), la formule est :

\(K = ( \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}, \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4} )\)

En appliquant les coordonnées des points A, B, C et D :

\(K = (\frac{2 + 0 + 4 + 2}{4}, \frac{5 + 3 + 4 + 2}{4}, \frac{-1 + 4 + 3 + 8}{4} )\)

Après calcul, on obtient :

\(K = (2, \frac{14}{4}, \frac{14}{4})\)

Soit \(K = (2, 3.5, 3.5)\)