Loi à densité : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Dans cet article, nous aborderons la loi à densité, un concept clé en mathématiques pour les élèves de terminale. Comprendre cette notion est essentiel pour maîtriser les notions de probabilités et de statistiques, compétences fondamentales pour les épreuves du baccalauréat. À travers des exercices corrigés, les étudiants pourront renforcer leur savoir-faire en analyse et interprétation de données, garantissant ainsi leur succès dans cette discipline cruciale.

Exercice 1 – variable aléatoire modélisant une trotteuse.

1) Loi de la variable aléatoire :

La variable aléatoire modélisant la valeur donnée par la trotteuse est uniformément continue sur l’intervalle [0; 60] secondes. Elle suit donc une loi uniforme sur cet intervalle.

2) Probabilité de répondre de manière affirmative :

Paul répond par l’affirmative si la trotteuse indique entre 45 et 60 secondes, soit sur un intervalle de 15 secondes. La probabilité qu’un temps aléatoire soit compris dans cet intervalle est donnée par le rapport de la longueur de cet intervalle sur la longueur totale de 60 secondes :

$\frac{15}{60}$

En simplifiant, on obtient :

$\frac{1}{4}$

Donc, la probabilité que Paul réponde de manière affirmative est $\frac{1}{4}$ ou 0,25.

Exercice 2 – loi de densité d’une loi uniforme.

1) Pour la loi uniforme sur [-1;1] :

La fonction de densité est donnée par :

$f(x)=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$

2) Pour la loi uniforme sur [0;120] :

La fonction de densité est donnée par :

$f(x)=\frac{1}{120-0}=\frac{1}{120}$

3) Pour la loi uniforme sur :

La fonction de densité est donnée par :

$f(x)=\frac{1}{20-(-10)}=\frac{1}{30}$

4) Pour la loi uniforme sur :

La fonction de densité est donnée par :

$f(x)=\frac{1}{0,3-(-0,1)}=\frac{1}{0,4}=2,5$

Exercice 3 – variable aléatoire suivant une loi exponentielle.

1) Calcul de P(Y < 1 500)

Pour une variable exponentielle de paramètre $\lambda$ , la fonction de répartition est donnée par :

$F_Y(y)=1-e^{-\lambda y}$

Donc, $P(Y<1500)=1-e^{-0,001\times1500}$

$=1-e^{-1,5}$

2) Calcul de P(400 ≤ Y ≤ 2 000)

On utilise la formule : $P(a\leq\, Y\leq\, b)=F_Y(b)-F_Y(a)$

Donc, $P(400\leq\, Y\leq\,2000)=(1-e^{-0,001\times 2000})-(1-e^{-0,001\times 400})$

$=e^{-0,4}-e^{-2}$

3) Calcul de P(Y ≥ 1 000)

On sait que : $P(Y\geq\, y)=1-F_Y(y)=e^{-\lambda y}$

Donc, $P(Y\geq1000)=e^{-0,001\times1000}$

$=e^{-1}$

4) Calcul de P_{Y>1000}(Y>2000)

Il s’agit d’une probabilité conditionnelle :

$P_{Y>1000}(Y>2000)=\frac{P(Y>2000\cap Y>1000)}{P(Y>1000)}=\frac{P(Y>2000)}{P(Y>1000)}$

On a déjà calculé $P(Y>1000)=e^{-1}$

$P(Y>2000)=e^{-0,001\times2000}=e^{-2}$

$Donc\;P_{Y>1000}(Y>2000)=\frac{e^{-2}}{e^{-1}}=e^{-1}$

Exercice 4 – calculer une espérance.

1) Déterminer la valeur de $\lambda$ .

La densité d’une loi exponentielle est donnée par la formule :

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

On sait que , donc :

$\lambda e^{-\lambda \times 0}=0,5$

$\lambda=0,5$

2) Que vaut E(X) ?

L’espérance E(X) d’une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est donnée par :

$E(X)=\frac{1}{\lambda}$

Avec $\lambda=0,5$ , on obtient :

$E(X)=\frac{1}{0,5} = 2$

Exercice 5 – une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.

1) Déterminer $\lambda$ .

On sait que la probabilité que la variable aléatoire soit supérieure à est donnée par :

$P(D>3)=e^{-\lambda\times3}=e^{-0,9}$

En comparant les exposants, on obtient :

$-\lambda\times3=-0,9$

En résolvant cette équation, nous trouvons :

$\lambda=\frac{0,9}{3}=0,3$

2) Calculer $P(D \leq\, 2)$ .

La probabilité que soit inférieure ou égale à est calculée par :

$P(D\leq2)=1-e^{-\lambda\times2}$

Avec $\lambda = 0,3$ , on a :

$P(D\leq2)=1-e^{-0,3\times2}=1-e^{-0,6}$

En calculant l’expression, nous trouvons :

$P(D\leq2)\approx0,4512$

Exercice 6 – déterminer les probabilités suivantes.

1) P(8 < X < 9) : La probabilité que X soit entre 8 et 9 est donnée sur le graphe : 0,5

2) P(X ≥ 9) : Puisque la distribution est symétrique, la probabilité qu’X soit supérieur ou égal à 9 est : $\frac{1}{2}\times(1-0,5)$ = 0,25

3) P(X ≤ 9) : La probabilité que X soit inférieur ou égal à 9 est l’ensemble de la distribution à gauche de 9 : 0,75

4) P(X > 7)(X ≤ 8) : C’est la probabilité que X soit exactement entre 7 et 8, et cela est symétrique à P(8 < X < 9) : 0,5

Exercice 7 – calculer la valeur des différentes probabilités.

$P(Y\leq9)=1-P(Y>9)$

À partir de l’énoncé, on sait que P(Y>9)=0,5+0,09 . Donc,

$P(Y\leq9)=1-0,59=0,41$

Utilisons le schéma : $P(11<Y\leq13)=0,09$

Comme indiqué précédemment, P(Y>9)=0,5+0,09=0,59

$P(Y>9\cap Y\leq\,13)=P(Y\leq\,13)-P(Y\leq\,9)$

Calculons $P(Y\leq13)=1$ .

On trouve $P(Y\leq9)=0,41$

Donc, $P(Y>9\cap Y\leq\,13)=1-0,41=0,59$

Exercice 8 – déterminer une valeur approchée.

Dans une distribution normale, environ 95,4% des valeurs se trouvent dans l’intervalle $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$ . Cet intervalle est ici de 15 à 25.

La moyenne $\mu$ se situe au centre de cet intervalle, donc :

$\mu=\frac{15+25}{2}=20$

Pour trouver l’écart type $\sigma$ :

$25=\mu+2\sigma$

$25=20+2\sigma$

$5=2\sigma$

$\sigma=\frac{5}{2}=2,5$

Exercice 9 – déduire des probabilités sans la calculatrice.

1) Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ .

On a : $P(-7\leq\, X\leq\, 17)\approx0,997$

La probabilité 0,997 correspond à l’intervalle $[\mu - 3\sigma ; \mu + 3\sigma]$

Donc : $17=5+3\sigma$ et $-7=5-3\sigma$

En résolvant l’une de ces équations : $\sigma=\frac{17-5}{3}=\frac{12}{3}=4$

2) Calculer les probabilités suivantes sans utiliser de calculatrice.

a) $P(1\leq\, X < 9)$

On cherche l’écart en nombre d’écarts-types :

– $[-7\leq\, X\leq\, 17]$ est symétrique par rapport à $\mu = 5$ .

– L’intervalle [1;9] est centré en $\mu=5$ et vaut deux fois $\sigma=4$ .

Donc : $P(-1\sigma\leq\, X\leq\,1\sigma)\approx0,6827$

b) $P(5\leq\, X < 9)$

Intervalle de $\mu=5$ à (donc depuis $\mu$ jusqu’à $1\sigma$ ):

$P(0\leq\, X \leq\, 1\sigma)=\frac{0,6827}{2}$

Donc : $P(5\leq\, X< 9)\approx\frac{0,6827}{2}\approx0,34135$

Exercice 10 – calculer des probabilités sans calculatrice.

1) Calcul de P(1 ≤ X ≤ 3) :

Nous avons que P(X<1)=0,4 .

La loi normale est symétrique par rapport à la moyenne $\mu=3$ . Donc, P(X>3)=P(X<3)=0,5 .

Ainsi, $P(1\leq\, X\leq\, 3)=P(X<3)-P(X<1)=0,5-0,4=0,1$

2) Calcul de P(X>5) :

La probabilité P(X>3) est de 0,5 (symétrie de la normale).

P(X>5)<P(X>3)=0,5

3) Calcul de P(X<5 | X≥1) :

P(X<3)=0,5

$P(X\geq1)=1-P(X<1)=0,6$

$P(X<5|X\geq1)=\frac{P(X<5)}{P(X\geq1)}=\frac{0,5}{0,6}\approx0,83$

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