Corrigé des 45 exercices sur les nombres complexes en terminale à télécharger en PDF

On calcule d’abord les puissances de \(1+i\) :

\[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i,\qquad (1+i)^3=2i(1+i)=2i+2i^2=-2+2i. \]
\[ \begin{aligned} P(1+i) &= (-2+2i)+2\times 2i-6(1+i)+8 \\ &= -2+2i+4i-6-6i+8 \\ &= 0. \end{aligned} \]

De même, \((1-i)^2=-2i\) et \((1-i)^3=-2i(1-i)=-2-2i\) :

\[ \begin{aligned} P(1-i) &= (-2-2i)+2\times(-2i)-6(1-i)+8 \\ &= -2-2i-4i-6+6i+8 \\ &= 0. \end{aligned} \]

Remarque : les coefficients de \(P\) étant réels, \(P(\overline{z})=\overline{P(z)}\), donc \(P(1-i)=\overline{P(1+i)}=0\) pouvait se déduire directement.

a) \(f(3)=\dfrac{2i\times 3-1}{3-1}=\dfrac{-1+6i}{2}=-\dfrac12+3i\).

b) \(2i\times\dfrac12 i-1=i^2-1=-2\), donc

\[ f\left(\tfrac12 i\right)=\frac{-2}{-1+\frac12 i}=\frac{-2\left(-1-\frac12 i\right)}{(-1)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{2+i}{\frac54}=\frac85+\frac45 i. \]

c) On simplifie d’abord : \(\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2i}{2}=i\). Donc

\[ f(i)=\frac{2i\times i-1}{i-1}=\frac{-3}{-1+i}=\frac{-3(-1-i)}{(-1)^2+1^2}=\frac{3+3i}{2}=\frac32+\frac32 i. \]

On met chaque quotient sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur (\((3+5i)(3-5i)=9+25=34\)) :

\[ z_1=\frac{(1-i)(3-5i)}{34}=\frac{3-5i-3i+5i^2}{34}=\frac{-2-8i}{34}=-\frac{1}{17}-\frac{4}{17}i, \]
\[ z_2=\frac{(1+i)(3+5i)}{34}=\frac{3+5i+3i+5i^2}{34}=\frac{-2+8i}{34}=-\frac{1}{17}+\frac{4}{17}i. \]

De même, on remarque que \(z_2=\overline{z_1}\). Alors :

• \(z_1+z_2=-\dfrac{2}{17}\) : partie imaginaire nulle, c’est un réel ;
• \(z_1-z_2=-\dfrac{8}{17}i\) : partie réelle nulle, c’est un imaginaire pur.

Pour \(az^2+bz+c=0\) à coefficients réels, on calcule \(\Delta=b^2-4ac\). Ensuite, si \(\Delta\lt 0\), les solutions sont \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), conjuguées.

• 1. a) \(2z^2+3z-5=0\) : \(\Delta=9+40=49\), \(z=\dfrac{-3\pm 7}{4}\) : \(S=\left\{-\frac52\,;\,1\right\}\).
• 1. b) \(2z^2+3z+5=0\) : \(\Delta=9-40=-31\) : \(S=\left\{\frac{-3-i\sqrt{31}}{4}\,;\,\frac{-3+i\sqrt{31}}{4}\right\}\).
• 2. a) \(z^2+4=0\iff z^2=(2i)^2\) : \(S=\{-2i\,;\,2i\}\).
• 2. b) \(z^2-4z+4=(z-2)^2=0\) : \(S=\{2\}\) (racine double, \(\Delta=0\)).
• 3. a) En multipliant par 6 : \(2z^2+z+6=0\), \(\Delta=1-48=-47\) : \(S=\left\{\frac{-1-i\sqrt{47}}{4}\,;\,\frac{-1+i\sqrt{47}}{4}\right\}\).
• 3. b) \(9z^2+25=0\iff z^2=-\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac53 i\right)^2\) : \(S=\left\{-\frac53 i\,;\,\frac53 i\right\}\).
• 4. a) \(3z^2+6z+4=0\) : \(\Delta=36-48=-12\), \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), \(z=\dfrac{-6\pm 2i\sqrt3}{6}\) : \(S=\left\{-1-\frac{\sqrt3}{3}i\,;\,-1+\frac{\sqrt3}{3}i\right\}\).
• 4. b) \(5z^2+2z=z(5z+2)=0\) : \(S=\left\{0\,;\,-\frac25\right\}\).

\(z^2-(1+\sqrt3)z+\sqrt3=0\). Discriminant :

\[ \Delta=(1+\sqrt3)^2-4\sqrt3=1+2\sqrt3+3-4\sqrt3=1-2\sqrt3+3=(1-\sqrt3)^2. \]

\(\Delta\gt 0\) et \(\sqrt\Delta=|1-\sqrt3|=\sqrt3-1\). Ensuite, les solutions sont réelles :

\[ z_1=\frac{1+\sqrt3-(\sqrt3-1)}{2}=1,\qquad z_2=\frac{1+\sqrt3+\sqrt3-1}{2}=\sqrt3. \]

Vérification : somme \(1+\sqrt3\) et produit \(\sqrt3\), conformes aux coefficients.

a) \(\theta=\pi\) : \(\cos\pi=-1\), l’équation devient \(z^2+2z+1=0\), soit \((z+1)^2=0\) : \(S=\{-1\}\).

b) \(\theta=\dfrac\pi3\) : \(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\), l’équation devient \(z^2-z+1=0\). \(\Delta=1-4=-3\lt 0\), donc

\[ z=\frac{1-i\sqrt3}{2}\quad\text{ou}\quad z=\frac{1+i\sqrt3}{2}. \]

Puis ce sont \(\cos\dfrac\pi3\pm i\sin\dfrac\pi3\), c’est-à-dire \(\mathrm{e}^{\pm i\pi/3}\) : en général, les solutions sont \(\cos\theta\pm i\sin\theta\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

\(z^2+3z+1=0\) : \(\Delta=9-4=5\gt 0\), \(z=\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\) ou \(z=\dfrac{-3+\sqrt5}{2}\).

\(z^2-z+6=0\) : \(\Delta=1-24=-23\lt 0\), \(z=\dfrac{1-i\sqrt{23}}{2}\) ou \(z=\dfrac{1+i\sqrt{23}}{2}\).

a) Regroupons les facteurs de Xcas deux par deux. De plus, d’une part

\[ (z+i\sqrt2)(z-i\sqrt2)=z^2-(i\sqrt2)^2=z^2+2. \]

Par ailleurs, d’autre part, les deux premiers facteurs s’écrivent \(\left(z-\frac{-3+i\sqrt7}{2}\right)\left(z-\frac{-3-i\sqrt7}{2}\right)\). Ainsi, leur produit est \(z^2-Sz+P\) avec \(S=-3\) et \(P=\dfrac{9+7}{4}=4\) : c’est \(z^2+3z+4\). Par ailleurs, il reste à vérifier :

\[ (z^2+3z+4)(z^2+2)=z^4+2z^2+3z^3+6z+4z^2+8=z^4+3z^3+6z^2+6z+8=P(z). \]

De même, la copie d’écran est donc justifiée.

b) \(P(z)=0\) équivaut à \(z^2+3z+4=0\) ou \(z^2+2=0\). Puis la première a pour discriminant \(9-16=-7\), d’où \(z=\dfrac{-3\pm i\sqrt7}{2}\) ; la seconde donne \(z=\pm i\sqrt2\).

Si \(z_1+z_2=S\) et \(z_1z_2=P\), alors \(z_1\) et \(z_2\) sont les solutions de \(z^2-Sz+P=0\), car \((z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2\).

Ensuite, ici \(S=-2\), \(P=10\) : on résout \(z^2+2z+10=0\). \(\Delta=4-40=-36=(6i)^2\), donc

\[ z=\frac{-2-6i}{2}=-1-3i\quad\text{ou}\quad z=\frac{-2+6i}{2}=-1+3i. \]

Vérification : \((-1-3i)+(-1+3i)=-2\) et \((-1-3i)(-1+3i)=1+9=10\).

• \(z_1=(2+3i)(-1+i)=-2+2i-3i+3i^2=\mathbf{-5-i}\) ; \(z_2=(1-i)^2=1-2i+i^2=\mathbf{-2i}\).
• \(z_1=(5-i)(1-2i)(3+2i)\) : \((5-i)(1-2i)=5-10i-i+2i^2=3-11i\), puis \((3-11i)(3+2i)=9+6i-33i-22i^2=\mathbf{31-27i}\). \(z_2=\dfrac1i=\dfrac{-i}{-i^2}=\mathbf{-i}\).
• \(z_1=(2+i)^2(2-i)^2=\big((2+i)(2-i)\big)^2=(4+1)^2=\mathbf{25}\). \(z_2=\dfrac{1}{5+2i}=\dfrac{5-2i}{25+4}=\mathbf{\dfrac{5}{29}-\dfrac{2}{29}i}\).
• \(z_1=\dfrac{3+4i}{1+i}=\dfrac{(3+4i)(1-i)}{2}=\dfrac{3-3i+4i-4i^2}{2}=\mathbf{\dfrac72+\dfrac12 i}\). \(z_2=\dfrac{1}{\sqrt3+4i}=\dfrac{\sqrt3-4i}{3+16}=\mathbf{\dfrac{\sqrt3}{19}-\dfrac{4}{19}i}\).

1. On part de \(i^2=-1\) et on multiplie par \(i\) à chaque étape :

• a) \(i^3=i^2\times i=\mathbf{-i}\) ;
• b) \(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=\mathbf{1}\) ;
• c) \(i^5=i^4\times i=\mathbf{i}\) ;
• d) \(i^6=i^4\times i^2=\mathbf{-1}\) ;
• e) \(i^7=i^4\times i^3=\mathbf{-i}\).

2. Comme \(i^4=1\), on a \(i^{4k}=(i^4)^k=1^k=1\) pour tout entier \(k\). Ensuite, les puissances de \(i\) se répètent donc tous les 4 rangs :

• a) \(n=4k\) : \(i^n=(i^4)^k=\mathbf{1}\) ;
• b) \(n=4k+1\) : \(i^n=i^{4k}\times i=\mathbf{i}\) ;
• c) \(n=4k+2\) : \(i^n=i^{4k}\times i^2=\mathbf{-1}\) ;
• d) \(n=4k+3\) : \(i^n=i^{4k}\times i^3=\mathbf{-i}\).

On pose \(z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

a) Avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) et \(i^2=-1\) :

\[ z^2=\dfrac{1}{4}-2\times\dfrac{1}{2}\times i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i^2\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

b) \(z^3=z^2\times z\). Puis on remarque que \(z^2=\overline{z}\), donc \(z^3=\overline{z}\,z=|z|^2\) :

\[ z^3=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1. \]

c) On multiplie par le conjugué :

\[ \dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\,\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}=\dfrac{-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

Puis on retrouve \(\dfrac{1}{z}=z^2\), ce qui est cohérent avec \(z^3=1\).

Si M a pour affixe \(z\), alors \(|z|=OM\) et un argument de \(z\) est une mesure de l’angle \(\left(\vec{u},\overrightarrow{OM}\right)\) (pour \(z\neq 0\)).

• a) \(|z|=5\) signifie \(OM=5\) : l’ensemble est le cercle de centre O et de rayon 5.
• b) \(\arg(z)=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\) : M est différent de O et l’angle \(\left(\vec{u},\overrightarrow{OM}\right)\) mesure \(\dfrac{\pi}{6}\). L’ensemble est la demi-droite d’origine O, privée de O, qui fait un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec l’axe des réels.
• c) M est sur la demi-droite d’origine O (privée de O) d’angle \(-\dfrac{\pi}{3}\) et à une distance de O au plus égale à 4. L’ensemble est le segment d’extrémités O (exclu) et le point d’affixe \(4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=2-2\sqrt{3}\,i\) (inclus).

a) Condition : \(2z^2+1\neq 0\), c’est-à-dire \(z\neq \dfrac{i}{\sqrt{2}}\) et \(z\neq -\dfrac{i}{\sqrt{2}}\). De plus, alors

\[ z^2+2z+5=2z^2+1 \iff z^2-2z-4=0. \]

\(\Delta=(-2)^2-4\times 1\times(-4)=20\gt 0\) : deux solutions réelles \(z=\dfrac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}\), qui respectent la condition.

b) Condition : \(z\neq 0\). De plus, on multiplie par \(z^2\) :

\[ 1-4z+5z^2=0 \iff 5z^2-4z+1=0. \]

\(\Delta=16-20=-4\lt 0\) : deux solutions complexes conjuguées \(z=\dfrac{4\pm 2i}{10}=\dfrac{2\pm i}{5}\), non nulles.

c) Condition : \(z\neq 1\). Ensuite, on multiplie par \(z-1\) :

\[ z-2=z(z-1) \iff z^2-2z+2=0. \]

\(\Delta=4-8=-4\lt 0\) : \(z=\dfrac{2\pm 2i}{2}=1\pm i\), différentes de 1.

a) A(−5 ; 1), B(1 ; 2), C(2 ; −1) et D(−4 ; −2) sont placés sur la figure ci-dessous.

b) ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), c’est-à-dire \(z_B-z_A=z_C-z_D\).

\[ z_B-z_A=(1+2i)-(-5+i)=6+i \quad \text{et} \quad z_C-z_D=(2-i)-(-4-2i)=6+i. \]

Par ailleurs, les affixes sont égales, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : ABCD est un parallélogramme.

c) Le centre M est le milieu de la diagonale [AC] :

\[ z_M=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{-5+i+2-i}{2}=-\dfrac{3}{2}. \]

d) BCMN est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{NM}\), soit \(z_C-z_B=z_M-z_N\). Donc

\[ z_N=z_M-z_C+z_B=-\dfrac{3}{2}-(2-i)+(1+2i)=-\dfrac{5}{2}+3i. \]

a) Les points A(3 ; 1), B(2 ; −2), C(0 ; 2) et D(1 ; 5) sont représentés ci-dessous.

b) Première méthode : les vecteurs.

\[ z_B-z_A=(2-2i)-(3+i)=-1-3i \quad \text{et} \quad z_C-z_D=2i-(1+5i)=-1-3i. \]

Donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : ABCD est un parallélogramme.

Deuxième méthode : les diagonales. Le milieu de [AC] a pour affixe \(\dfrac{3+i+2i}{2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\) et le milieu de [BD] a pour affixe \(\dfrac{2-2i+1+5i}{2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i\). Par ailleurs, les diagonales ont le même milieu : ABCD est un parallélogramme.

c) Le centre I du parallélogramme est ce milieu commun des diagonales.

a) M(3 ; −1) et A(−1 ; 2) sont placés sur la figure.

b) M′ est le symétrique de M par rapport à A, donc A est le milieu de [MM′] :

\[ z_A=\dfrac{z_M+z_{M^{\prime}}}{2} \iff z_{M^{\prime}}=2z_A-z_M=2(-1+2i)-(3-i)=-5+5i. \]

On écrit \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels et on calcule la partie imaginaire de \(Z\) :

\[ \begin{aligned} Z=z^2+iz &= x^2-y^2+2ixy+ix-y \\ &= \left(x^2-y^2-y\right)+i\,x(2y+1). \end{aligned} \]

\(Z\) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle : \(x(2y+1)=0\).

a)

• A : \(x=3\), \(y=-\dfrac{1}{2}\) ; \(2y+1=0\), donc A appartient à \(\mathcal{F}\).
• B : \(x=-5\), \(y=1\) ; \(x(2y+1)=-5\times 3=-15\neq 0\), donc B n’appartient pas à \(\mathcal{F}\).
• C : \(x=0\), \(y=-\dfrac{3}{2}\) ; \(x=0\), donc C appartient à \(\mathcal{F}\).

b) \(x(2y+1)=0 \iff x=0\) ou \(y=-\dfrac{1}{2}\). Puis l’ensemble \(\mathcal{F}\) est la réunion de l’axe des imaginaires (\(x=0\)) et de la droite d’équation \(y=-\dfrac{1}{2}\).

1. a) \(|z_1|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2\). Ensuite, un argument \(\theta\) vérifie

\[ \cos\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta=\dfrac{1}{2}, \quad \text{donc} \quad \theta=\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]. \]

b) \(z_1=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\).

2. a) \(z_2=6\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\).

b) \(\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc

\[ z_2=6\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\,i. \]

a) Soit \(z=2\sqrt{3}-2i\). \(|z|=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4\). Puis on factorise par le module :

\[ z=4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right). \]

b) Le nombre de module 4 et d’argument \(\dfrac{2\pi}{3}\) est

\[ 4\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=4\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2\sqrt{3}\,i. \]

Le module est la distance OM et un argument est l’angle entre l’axe des réels (demi-axe positif) et \(\overrightarrow{OM}\).

• a) A est sur le demi-axe réel positif, à 3 de O : \(|z_A|=3\), \(\arg(z_A)=0\), \(z_A=3(\cos 0+i\sin 0)\).
• b) B est sur le demi-axe réel négatif : \(|z_B|=2\), \(\arg(z_B)=\pi\), \(z_B=2(\cos\pi+i\sin\pi)\).
• c) C est sur le demi-axe imaginaire positif : \(|z_C|=2\), \(\arg(z_C)=\dfrac{\pi}{2}\), \(z_C=2\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\).
• d) D est sur la diagonale du premier carreau : \(OD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), angle \(\dfrac{\pi}{4}\), \(z_D=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\).
• e) E est symétrique de D par rapport à O : \(OE=\sqrt{2}\), angle \(\dfrac{\pi}{4}-\pi=-\dfrac{3\pi}{4}\), \(z_E=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)\).
• f) \(OF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\) ; F est sur la bissectrice du deuxième quadrant, angle \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(z_F=2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\).

1. a) On développe :

\[ \begin{aligned} zz^{\prime} &= (\sqrt{3}-i)(-2+2i) \\ &= -2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\,i+2i-2i^2 \\ &= (2-2\sqrt{3})+(2+2\sqrt{3})\,i. \end{aligned} \]

b) \(z=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)\) : \(|z|=2\), \(\arg(z)=-\dfrac{\pi}{6}\). \(z^{\prime}=2\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)\) : \(|z^{\prime}|=2\sqrt{2}\), \(\arg(z^{\prime})=\dfrac{3\pi}{4}\).

Ainsi, le module d’un produit est le produit des modules et un argument du produit est la somme des arguments :

\[ |zz^{\prime}|=2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}, \qquad \arg(zz^{\prime})=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{-2\pi+9\pi}{12}=\dfrac{7\pi}{12}. \]

Donc \(zz^{\prime}=4\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)\).

c) On identifie les parties réelles et imaginaires des deux écritures :

\[ \cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{2-2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}, \qquad \sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{2+2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}. \]

2. a) Par la formule de Moivre, \((zz^{\prime})^6\) a pour module \((4\sqrt{2})^6=4^6\times 8=32\,768\) et pour argument \(6\times\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{7\pi}{2}=4\pi-\dfrac{\pi}{2}\), soit \(-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Donc

\[ (zz^{\prime})^6=32\,768\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=-32\,768\,i, \]

qui est un imaginaire pur.

b) Un argument de \((zz^{\prime})^{36}\) est \(36\times\dfrac{7\pi}{12}=21\pi=\pi+10\times 2\pi\), soit \(\pi\,[2\pi]\). De plus, un nombre d’argument \(\pi\) est un réel (négatif) : \((zz^{\prime})^{36}=-(4\sqrt{2})^{36}=-2^{90}\).

a) A(3 ; 2), B(−5 ; 2) et C(0 ; −3) sont placés sur la figure plus bas.

b) Milieux :

\[ z_{A^{\prime}}=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{-5+2i-3i}{2}=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i, \qquad z_{B^{\prime}}=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{3+2i-3i}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i. \]

c) \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA^{\prime}}\) se traduit par \(z_G-z_A=\dfrac{2}{3}\left(z_{A^{\prime}}-z_A\right)\). Or \(z_{A^{\prime}}-z_A=-\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}i\), donc

\[ z_G=3+2i+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}i\right)=3-\dfrac{11}{3}+\left(2-\dfrac{5}{3}\right)i=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}i. \]

d) On compare les vecteurs \(\overrightarrow{BG}\) et \(\overrightarrow{BB^{\prime}}\) :

\[ z_G-z_B=-\dfrac{2}{3}+5+\left(\dfrac{1}{3}-2\right)i=\dfrac{13}{3}-\dfrac{5}{3}i, \qquad z_{B^{\prime}}-z_B=\dfrac{3}{2}+5+\left(-\dfrac{1}{2}-2\right)i=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}i. \]

\(\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}i=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{13}{3}-\dfrac{5}{3}i\right)\), donc \(\overrightarrow{BB^{\prime}}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BG}\) : les vecteurs sont colinéaires et B′, G et B sont alignés. De même, G est le centre de gravité du triangle ABC (\(z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\)).

1. A(−4 ; 2), B(−1 ; −1) et C(4 ; 1) sont placés sur la figure.

2. a) ABCM est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}\), soit \(z_B-z_A=z_C-z_M\). Donc

\[ z_M=z_C-z_B+z_A=(4+i)-(-1-i)+(-4+2i)=1+4i. \]

b) M(1 ; 4) est placé sur la figure.

3. a) ABCM est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\). Ensuite, ABNC est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}\). Puis par conséquent \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CN}\).

b) \(z_N-z_C=z_C-z_M\), donc \(z_N=2z_C-z_M=2(4+i)-(1+4i)=7-2i\). De plus, C est le milieu de [MN].

On remplace le cosinus et le sinus par leurs valeurs exactes, puis on développe.

• a) \(z=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\).
• b) \(z=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i\).
• c) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\), donc \(z=\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).

On écrit chaque nombre sous la forme \(x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels : \(x\) est la partie réelle, \(y\) la partie imaginaire (c’est un réel, sans le \(i\)).

Détails : pour \(d\), \(\dfrac{2i-1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}i=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\,i\) ; pour \(h\), \(i^7=i^4\times i^3=1\times(-i)=-i\).

Comme \(a\) est réel, \(z=a^2+1+2i(a^2-3)\) a pour partie réelle \(a^2+1\) et pour partie imaginaire \(2(a^2-3)\).

1. \(z\) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle :

\[ 2(a^2-3)=0 \iff a^2=3 \iff a=\sqrt{3} \text{ ou } a=-\sqrt{3}. \]

2. \(z\) est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : \(a^2+1=0\), soit \(a^2=-1\). Par ailleurs, c’est impossible pour un réel \(a\), car \(a^2\geqslant 0\) donc \(a^2+1\geqslant 1\).

On utilise les identités remarquables et \(i^2=-1\).

• 1. \(Z_1=(2+4i)^2=4+16i+16i^2=4+16i-16=-12+16i\).
• 2. \(Z_2=(3-2i)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i\).
• 3. \((1+i)^2=1+2i-1=2i\), donc \(Z_3=(1+i)^3=2i(1+i)=2i+2i^2=-2+2i\).

Le conjugué de \( z = x + iy \) (avec \( x, y \) réels) est \( \overline{z} = x – iy \) : on garde la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire. Ensuite, on repère donc d’abord la forme algébrique de chaque nombre.

• 1. \( A = 3 + 2i \), donc \( \overline{A} = 3 – 2i \).
• 2. \( B = i = 0 + 1i \), donc \( \overline{B} = -i \).
• 3. \( C = 3i – 4 = -4 + 3i \), donc \( \overline{C} = -4 – 3i \).
• 4. \( D = -5 – 6i \), donc \( \overline{D} = -5 + 6i \).

On utilise les propriétés du conjugué : \( \overline{1 + i} = 1 – i \), \( \overline{1 – i} = 1 + i \), et le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués.

\[ \overline{z_1} = \overline{\left(\frac{1+i}{1-i}\right)} = \frac{\overline{1+i}}{\overline{1-i}} = \frac{1-i}{1+i} = z_2 . \]

Ainsi \( z_2 = \overline{z_1} \). Ainsi, si l’on note \( z_1 = x + iy \), alors

\[ z_1 + z_2 = z_1 + \overline{z_1} = (x + iy) + (x – iy) = 2x = 2\,\text{Re}(z_1), \]

qui est un nombre réel. (Pour information, le calcul donne \( z_1 = i \) et \( z_2 = -i \), donc \( z_1 + z_2 = 0 \).)

Pour obtenir la forme algébrique \( x + iy \), on développe, on remplace \( i^2 \) par \( -1 \), puis on regroupe parties réelles et parties imaginaires.

Série 1 (sommes et différences)

• 1. \( a = (2 – 3) + (2 – 3)i = \mathbf{-1 – i} \).
• 2. \( b = 1 + i – \frac{1}{3} – \frac{2}{3}i = \mathbf{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}i} \).
• 3. \( c = -2 + 3i – 3 + 3i = \mathbf{-5 + 6i} \).
• 4. \( d = \frac{5}{2} + \frac{3}{2}i + \frac{5}{2} + \frac{3}{2}i = \mathbf{5 + 3i} \).

Puis, série 2 (produits par un réel ou par un imaginaire)

• 1. \( a = -1 – i – i + 2i^2 = -1 – 2i – 2 = \mathbf{-3 – 2i} \).
• 2. \( b = 2i – 2i^2 – 3i – 3i^2 = 2i + 2 – 3i + 3 = \mathbf{5 – i} \).
• 3. \( c = -2 + 4i – 3i + 6 = \mathbf{4 + i} \) (car \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \) et \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \)).
• 4. \( d = 4i – i^2\sqrt{2} + 2i^2\sqrt{3} – 6i = 4i + \sqrt{2} – 2\sqrt{3} – 6i = \mathbf{(\sqrt{2} – 2\sqrt{3}) – 2i} \).

Série 3 (produits de deux complexes)

• 1. \( a = 2 + 6i + i + 3i^2 = \mathbf{-1 + 7i} \).
• 2. \( b = 3 + \frac{9}{4}i – 4i – 3i^2 = \mathbf{6 – \frac{7}{4}i} \).
• 3. \( c = -\frac{1}{2} – i – \frac{1}{2}i – i^2 = \mathbf{\frac{1}{2} – \frac{3}{2}i} \).
• 4. \( d = -2 + \frac{8}{3}i – 3i + 4i^2 = \mathbf{-6 – \frac{1}{3}i} \).

Puis, série 4 (carrés et identités remarquables)

• 1. \( a = 9 + 30i + 25i^2 = \mathbf{-16 + 30i} \).
• 2. \( b = (3i)^2 – 2 \times 3i \times \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = -9 – 2i + \frac{1}{9} = \mathbf{-\frac{80}{9} – 2i} \).
• 3. \( c = 2^2 – (3i)^2 = 4 + 9 = \mathbf{13} \) (produit d’un nombre par son conjugué).
• 4. \( d = (\sqrt{2} + i\sqrt{3})(\sqrt{2} – i\sqrt{3}) = 2 + 3 = \mathbf{5} \).

Comme \( a \) et \( b \) sont réels, \( z_1 \) et \( z_2 \) sont écrits sous forme algébrique :

• \( \text{Re}(z_1) = a^2 + a \) et \( \text{Im}(z_1) = b^2 + 1 \) ;
• \( \text{Re}(z_2) = 3a^2 – 3 \) et \( \text{Im}(z_2) = 2b \).

De même, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :

\[ z_1 = z_2 \iff \begin{cases} a^2 + a = 3a^2 – 3 \\ b^2 + 1 = 2b \end{cases} \iff \begin{cases} 2a^2 – a – 3 = 0 \\ (b – 1)^2 = 0 \end{cases} \]

Ensuite, pour la première équation : \( \Delta = (-1)^2 – 4 \times 2 \times (-3) = 25 \), donc \( a = \frac{1 – 5}{4} = -1 \) ou \( a = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2} \). Par ailleurs, la seconde donne \( b = 1 \).

Vérification pour \( a = -1 \) : \( z_1 = 0 + 2i \) et \( z_2 = 0 + 2i \).

Comme \( x \) est réel, on écrit \( z_1 + z_2 \) sous forme algébrique :

\[ z_1 + z_2 = (3x – 3 + x^2 – x) + i(x^2 + 1 + x^2 – 1) = (x^2 + 2x – 3) + i\,(2x^2). \]

1. \( z_1 + z_2 \) est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : \( x^2 + 2x – 3 = 0 \). Puis on a \( \Delta = 4 + 12 = 16 \), donc \( x = \frac{-2 – 4}{2} = -3 \) ou \( x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \). Ensuite, pour ces valeurs, \( z_1 + z_2 = 18i \) ou \( z_1 + z_2 = 2i \).

2. \( z_1 + z_2 \) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle : \( 2x^2 = 0 \), soit \( x = 0 \). Puis alors \( z_1 + z_2 = -3 \).

Méthode : on écrit d’abord \( z \) sous forme algébrique (développement, ou multiplication par le conjugué du dénominateur pour un quotient), puis on change le signe de la partie imaginaire.

Série 1

• 1. \( z = 2i – 2 – 3i + 6 = 4 – i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{4 + i} \).
• 2. \( z = -2i + 2 + 3i + 6 = 8 + i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{8 – i} \).
• 3. \( z = 2 + 6i + i – 3 = -1 + 7i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-1 – 7i} \).
• 4. \( z = 6i – 2 – 9 – 3i = -11 + 3i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-11 – 3i} \).

Puis, série 2 (puissances)

• 1. \( z = 1 + 2i – 1 = 2i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-2i} \).
• 2. \( (2 + i)^2 = 3 + 4i \), puis \( z = (3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i – 4 = 2 + 11i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{2 – 11i} \).
• 3. \( (1 – i)^2 = -2i \), puis \( z = (-2i)^2 = -4 \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-4} \) (un réel est égal à son conjugué).
• 4. \( (3 + 2i)^2 = 5 + 12i \), puis \( z = (5 + 12i)(3 + 2i) = 15 + 10i + 36i – 24 = -9 + 46i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-9 – 46i} \).

Série 3 (quotients) : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

• 1. \( z = \frac{1}{i} = \frac{-i}{-i^2} = -i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{i} \).
• 2. \( z = \frac{1 – i}{(1 + i)(1 – i)} = \frac{1 – i}{2} \), donc \( \overline{z} = \mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i} \).
• 3. \( z = \frac{(2 + i)(1 + 2i)}{1 + 4} = \frac{2 + 4i + i – 2}{5} = i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-i} \).
• 4. \( z = \frac{(1 – i)(-1 – 2i)}{(-1 + 2i)(-1 – 2i)} = \frac{-1 – 2i + i – 2}{5} = -\frac{3}{5} – \frac{1}{5}i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-\frac{3}{5} + \frac{1}{5}i} \).
• 5. \( z = \frac{(3 + 2i)(-3 – 2i)}{(-3 + 2i)(-3 – 2i)} = \frac{-(5 + 12i)}{13} = -\frac{5}{13} – \frac{12}{13}i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-\frac{5}{13} + \frac{12}{13}i} \).
• 6. \( z = \frac{(-1 – i)(2 – i)}{5} = \frac{-2 + i – 2i – 1}{5} = -\frac{3}{5} – \frac{1}{5}i \), donc \( \overline{z} = \mathbf{-\frac{3}{5} + \frac{1}{5}i} \).

Méthode : on vérifie que \( P(a) = 0 \) ; alors \( P(z) = (z – a)\,Q(z) \), et on trouve \( Q \) par identification des coefficients (ou division). Puis on factorise enfin \( Q \) grâce au discriminant, qui peut être négatif dans \( \mathbb{C} \) : si \( \Delta \lt 0 \), les racines sont \( \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \).

1. \( P(-2) = -8 + 16 – 12 + 4 = 0 \), donc \( -2 \) est racine. \( P(z) = (z + 2)(z^2 + 2z + 2) \) (on vérifie en développant : \( z^3 + 2z^2 + 2z + 2z^2 + 4z + 4 \)). De plus, pour \( z^2 + 2z + 2 \) : \( \Delta = 4 – 8 = -4 \), racines \( \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \).

\[ P(z) = (z + 2)(z + 1 – i)(z + 1 + i). \]

2. \( P(1) = 2 – 14 + 38 – 26 = 0 \). \( P(z) = (z – 1)(2z^2 – 12z + 26) = 2(z – 1)(z^2 – 6z + 13) \). Ensuite, pour \( z^2 – 6z + 13 \) : \( \Delta = 36 – 52 = -16 \), racines \( \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i \).

\[ P(z) = 2(z – 1)(z – 3 – 2i)(z – 3 + 2i). \]

3. \( P(-1) = 1 + 2 + 1 – 2 – 2 = 0 \). \( P(z) = (z + 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 2) \). Par ailleurs, le quotient s’annule en 1 (\( 1 – 3 + 4 – 2 = 0 \)) : \( z^3 – 3z^2 + 4z – 2 = (z – 1)(z^2 – 2z + 2) \), et \( z^2 – 2z + 2 \) a pour discriminant \( -4 \), racines \( 1 \pm i \).

\[ P(z) = (z + 1)(z – 1)(z – 1 – i)(z – 1 + i). \]

4. \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), \( i^4 = 1 \), donc \( P(i) = 1 – (-i) – 5(-1) – i – 6 = 1 + i + 5 – i – 6 = 0 \). De plus, comme \( P \) est à coefficients réels, \( \overline{i} = -i \) est aussi racine, et \( P \) est divisible par \( (z – i)(z + i) = z^2 + 1 \) : \( P(z) = (z^2 + 1)(z^2 – z – 6) \). Enfin \( z^2 – z – 6 \) a pour racines 3 et \( -2 \) (\( \Delta = 25 \)).

\[ P(z) = (z – i)(z + i)(z – 3)(z + 2). \]

Partie 1 : parties réelle et imaginaire

• 1. \( z_1 = 2 \) : \( \text{Re} = 2 \), \( \text{Im} = 0 \).
• 2. \( z_2 = -3i \) : \( \text{Re} = 0 \), \( \text{Im} = -3 \).
• 3. \( z_3 = -3 + i \) : \( \text{Re} = -3 \), \( \text{Im} = 1 \).
• 4. \( z_4 = 2 + (-3 + i) = -1 + i \) : \( \text{Re} = -1 \), \( \text{Im} = 1 \).
• 5. \( z_5 = -3i(-3 + i) = 9i – 3i^2 = 3 + 9i \) : \( \text{Re} = 3 \), \( \text{Im} = 9 \).

Attention : la partie imaginaire est un réel (on écrit \( \text{Im}(z_2) = -3 \), pas \( -3i \)).

Partie 2 : identification (on égale parties réelles et parties imaginaires, \( a \) et \( b \) étant réels)

• 1. \( a + 3i = 2 + i(1 – b) \iff a = 2 \) et \( 3 = 1 – b \), donc \( a = 2 \) et \( b = -2 \).
• 2. Le membre de droite vaut \( 2bi – i^2a^2 + 3a + 3 = (a^2 + 3a + 3) + 2bi \). On obtient :
  \[ \begin{cases} 2 + a = a^2 + 3a + 3 \\ b^2 + b = 2b \end{cases} \iff \begin{cases} (a + 1)^2 = 0 \\ b(b – 1) = 0 \end{cases} \]
  donc \( a = -1 \) et \( b = 0 \) ou \( b = 1 \).

Partie 3 : formes algébriques

• 1. \( z_1 = 3 – 2i – 3 – 2i = \mathbf{-4i} \).
• 2. \( z_2 = 2 + 2i + 2i^2 – i = 2 + 2i – 2 – i = \mathbf{i} \).
• 3. \( z_3 = 3 + 2i + 3i + 2i^2 = \mathbf{1 + 5i} \).
• 4. \( (1 – i)^2 = -2i \), donc \( z_4 = -2i(1 – i) = -2i + 2i^2 = \mathbf{-2 – 2i} \).
• 5. \( (1 – i)^4 = (-2i)^2 = -4 \), donc \( z_5 = -4(1 – i) = \mathbf{-4 + 4i} \).

On développe en utilisant \( i^2 = -1 \) et \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \).

1.

\[ \begin{aligned} z &= 6i\sqrt{3} + 15 + 2i^2 \times 3 + 5i\sqrt{3} \\ &= 15 – 6 + 11\sqrt{3}\,i \\ &= 9 + 11\sqrt{3}\,i \end{aligned} \]

2.

\[ \begin{aligned} z &= 6\sqrt{6}\,i – 4 + 3i^2 \times 3 – i\sqrt{6} \\ &= -4 – 9 + 5\sqrt{6}\,i \\ &= -13 + 5\sqrt{6}\,i \end{aligned} \]

3.

\[ \begin{aligned} z &= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{2}{4}i – \frac{\sqrt{2}}{4}i – \frac{2}{4}i^2 \\ &= \frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{2 – \sqrt{2}}{4}i \end{aligned} \]

4.

\[ \begin{aligned} z &= 2\sqrt{6} – 4i – \frac{3}{2}i + \frac{\sqrt{6}}{2}i^2 \\ &= \frac{3\sqrt{6}}{2} – \frac{11}{2}i \end{aligned} \]

5.

\[ \begin{aligned} z &= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}i – \frac{\sqrt{2}}{4}i – \frac{\sqrt{6}}{4}i^2 \\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}i \end{aligned} \]

Chaque produit est de la forme \( (u + v)(u – v) = u^2 – v^2 \), ou \( (x + iy)(x – iy) = x^2 + y^2 \) : on gagne beaucoup de temps en le repérant.

• 1. \( z = 3^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 9 + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{37}{4}} \).
• 2. Avec \( u = \frac{2}{5}i \) et \( v = \frac{1}{3} \) : \( z = (u – v)(u + v) = u^2 – v^2 = -\frac{4}{25} – \frac{1}{9} = \mathbf{-\frac{61}{225}} \).
• 3. \( z = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \mathbf{1} \).
• 4. Avec \( u = \frac{1}{2}i \) et \( v = \frac{\sqrt{3}}{2} \) : \( z = (u – v)(u + v) = u^2 – v^2 = -\frac{1}{4} – \frac{3}{4} = \mathbf{-1} \).
• 5. Avec \( u = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( v = i\frac{\sqrt{2}}{2} \) : \( z = (u – v)(u + v) = \frac{2}{4} – \left(-\frac{2}{4}\right) = \mathbf{1} \).
• 6. Avec \( u = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( v = i\frac{2\sqrt{3}}{3} \) : \( z = (u + v)(u – v) = u^2 – v^2 = \frac{3}{4} + \frac{12}{9} = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{25}{12}} \).

Par ailleurs, tous ces produits sont réels : c’est normal, chacun est (au signe près) le produit d’un nombre par son conjugué.

Partie 1 : on calcule d’abord chaque nombre, puis son conjugué.

• 1. \( z_1 = -2 \) est réel : \( \overline{z_1} = \mathbf{-2} \).
• 2. \( z_2 = -\frac{3}{4}i \) : \( \overline{z_2} = \mathbf{\frac{3}{4}i} \).
• 3. \( z_3 = -2 + i \) : \( \overline{z_3} = \mathbf{-2 – i} \).
• 4. \( z_4 = -2 – \frac{3}{4}i \) : \( \overline{z_4} = \mathbf{-2 + \frac{3}{4}i} \).
• 5. \( z_5 = -\frac{3}{4}i(-2 + i) = \frac{3}{2}i – \frac{3}{4}i^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{2}i \) : \( \overline{z_5} = \mathbf{\frac{3}{4} – \frac{3}{2}i} \).
• 6. \( z_3 + z_4 = -4 + \frac{1}{4}i \), donc \( z_6 = -\frac{3}{4}i\left(-4 + \frac{1}{4}i\right) = 3i + \frac{3}{16} \) : \( \overline{z_6} = \mathbf{\frac{3}{16} – 3i} \).

Partie 2 : on calcule le nombre sous la barre, puis on prend son conjugué.

• 1. \( 10 – (2 + 3i) = 8 – 3i \), donc \( z_1 = \mathbf{8 + 3i} \).
• 2. \( (2 – 3i)(i + 2) = 2i + 4 – 3i^2 – 6i = 7 – 4i \), donc \( z_2 = \mathbf{7 + 4i} \).
• 3. \( \frac{1}{4 + 2i} = \frac{4 – 2i}{16 + 4} = \frac{1}{5} – \frac{1}{10}i \), donc \( z_3 = \mathbf{\frac{1}{5} + \frac{1}{10}i} \).
• 4. \( \frac{3 + i}{1 – 4i} = \frac{(3 + i)(1 + 4i)}{17} = \frac{3 + 12i + i – 4}{17} = -\frac{1}{17} + \frac{13}{17}i \), donc \( z_4 = \mathbf{-\frac{1}{17} – \frac{13}{17}i} \).

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient le réel \( x^2 + y^2 \).

1. \( (2 + i)(2 – i) = 5 \).

\[ a = \frac{(\sqrt{2} + i\sqrt{3})(2 – i)}{5} = \frac{2\sqrt{2} – i\sqrt{2} + 2i\sqrt{3} + \sqrt{3}}{5} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5} + \frac{2\sqrt{3} – \sqrt{2}}{5}i \]

2. \( (3 + i)(3 – i) = 10 \).

\[ b = \frac{(2i – \sqrt{2})(3 – i)}{10} = \frac{6i + 2 – 3\sqrt{2} + i\sqrt{2}}{10} = \frac{2 – 3\sqrt{2}}{10} + \frac{6 + \sqrt{2}}{10}i \]

3. \( (-1 + i)(-1 – i) = 2 \).

\[ c = \frac{\left(\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-1 – i)}{2} = \frac{-\frac{1}{2} – \frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i – \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} – 1}{4}i \]

4. Le dénominateur vaut \( -\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) \) et \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \). Donc :

\[ \begin{aligned} d &= -\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} – 1}{2}i\right) \\ &= -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} – \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}i \end{aligned} \]

Comme le suggère l’aide, on prend le conjugué de l’équation qui contient \( \overline{z_1} \) et \( \overline{z_2} \) (\( \overline{\overline{z}} = z \), \( \overline{i} = -i \)) : on obtient un système linéaire classique en \( z_1 \) et \( z_2 \), que l’on résout par combinaison.

1. Conjugué de la 2e équation : \( \frac{1}{2}z_1 – i z_2 = 0 \). Puis en soustrayant à la 1re : \( (1 + i)z_2 = 2 \), donc \( z_2 = \frac{2}{1 + i} = \frac{2(1 – i)}{2} = 1 – i \). Puis \( z_1 = 2i z_2 = 2i(1 – i) = 2 + 2i \).

2. Conjugué : \( z_1 + 2z_2 = 2 \). Ensuite, en ajoutant à \( 3z_1 – 2z_2 = -2 + 4i \) : \( 4z_1 = 4i \), donc \( z_1 = i \) et \( z_2 = \frac{2 – i}{2} = 1 – \frac{1}{2}i \).

3. Conjugué : \( z_1 + 2z_2 = 8 + i \). Puis en retranchant \( z_1 – z_2 = 3 – 4i \) : \( 3z_2 = 5 + 5i \), donc \( z_2 = \frac{5}{3} + \frac{5}{3}i \) et \( z_1 = 3 – 4i + \frac{5}{3} + \frac{5}{3}i = \frac{14}{3} – \frac{7}{3}i \).

4. Conjugué : \( 3z_1 – z_2 = 6 \), donc \( 9z_1 – 3z_2 = 18 \). De plus, en retranchant \( 6z_1 – 3z_2 = 12 + i \) : \( 3z_1 = 6 – i \), donc \( z_1 = 2 – \frac{1}{3}i \), puis \( z_2 = 3z_1 – 6 = -i \).

Vérification (système 4) : \( 6z_1 – 3z_2 = 12 – 2i + 3i = 12 + i \).

On a \( z_1 = 1 – 3i \), \( z_2 = 3 + 2i \), \( \overline{z_1} = 1 + 3i \) et \( \overline{z_2} = 3 – 2i \).

1. \( z_1 + z_2 = 4 – i \), donc \( \overline{z_1 + z_2} = 4 + i \) : VRAI.

2. \( z_1 z_2 = 3 + 2i – 9i – 6i^2 = 9 – 7i \), donc \( \overline{z_1 z_2} = 9 + 7i \neq 9 – 7i \) : FAUX (9 − 7i est le produit lui-même, pas son conjugué).

3. \( z_1^2 = 1 – 6i – 9 = -8 – 6i \), puis \( z_1^3 = (-8 – 6i)(1 – 3i) = -8 + 24i – 6i + 18i^2 = -26 + 18i \), donc \( \overline{z_1^3} = -26 – 18i \) : VRAI.

4. \( z_1\overline{z_2} = (1 – 3i)(3 – 2i) = 3 – 2i – 9i + 6i^2 = -3 – 11i \), puis \( (-3 – 11i)^2 = 9 + 66i – 121 = -112 + 66i \), donc le conjugué vaut \( -112 – 66i \neq 112 – 66i \) : FAUX.

Partie 1 : équations produit. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul (règle valable dans \( \mathbb{C} \)).

• 1. \( z + 3i = 0 \) ou \( 2z – 3 + i = 0 \) : \( z = -3i \) ou \( z = \frac{3 – i}{2} \). \( S = \left\{ -3i ; \frac{3}{2} – \frac{1}{2}i \right\} \).
• 2. \( z = 2i \) ou \( iz = -1 \), soit \( z = -\frac{1}{i} = i \). \( S = \{ i ; 2i \} \).
• 3. \( iz = -1 – i \), soit \( z = \frac{-1 – i}{i} = (-1 – i)(-i) = -1 + i \) ; ou \( 3iz = 1 \), soit \( z = \frac{1}{3i} = -\frac{1}{3}i \). \( S = \left\{ -1 + i ; -\frac{1}{3}i \right\} \).
• 4. \( z = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 – i}{2} \) ou \( z = -\frac{1}{2 + i} = -\frac{2 – i}{5} \). \( S = \left\{ \frac{1}{2} – \frac{1}{2}i ; -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \right\} \).

Partie 2 : équations \( z^2 = -a \) avec \( a \gt 0 \). Comme \( -a = (i\sqrt{a})^2 \), on a \( z^2 + a = (z – i\sqrt{a})(z + i\sqrt{a}) \), donc les solutions sont \( i\sqrt{a} \) et \( -i\sqrt{a} \).

• 1. \( z^2 = -1 \) : \( S = \{ -i ; i \} \).
• 2. \( z^2 = -2 \) : \( S = \{ -i\sqrt{2} ; i\sqrt{2} \} \).
• 3. \( z^2 = -16 \) : \( S = \{ -4i ; 4i \} \).
• 4. \( z^2 = -20 \) : \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \), \( S = \{ -2i\sqrt{5} ; 2i\sqrt{5} \} \).
• 5. \( z^2 = -\frac{1}{4} \) : \( S = \left\{ -\frac{1}{2}i ; \frac{1}{2}i \right\} \).
• 6. \( z^2 = -\frac{1}{3} \) : \( \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( S = \left\{ -\frac{\sqrt{3}}{3}i ; \frac{\sqrt{3}}{3}i \right\} \).
• 7. \( z^2 = -\frac{11}{4} \) : \( S = \left\{ -\frac{\sqrt{11}}{2}i ; \frac{\sqrt{11}}{2}i \right\} \).
• 8. \( z^2 = -\frac{3}{2} \) : \( \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \), \( S = \left\{ -\frac{\sqrt{6}}{2}i ; \frac{\sqrt{6}}{2}i \right\} \).

On utilise l’identité, valable pour tout complexe \( a \) et tout entier \( n \geqslant 1 \) :

\[ z^n – a^n = (z – a)\left(z^{n-1} + a z^{n-2} + a^2 z^{n-3} + \dots + a^{n-1}\right). \]

Ainsi, pour \( n = 3 \) : \( z^3 – a^3 = (z – a)(z^2 + az + a^2) \). De même, tout le travail consiste à trouver \( a \) tel que \( a^n \) soit le bon nombre.

• 1. \( (-1)^3 = -1 \), donc \( z^3 + 1 = z^3 – (-1)^3 \) : \( P(z) = \mathbf{(z + 1)(z^2 – z + 1)} \).
• 2. \( 2^3 = 8 \) : \( P(z) = z^3 – 2^3 = \mathbf{(z – 2)(z^2 + 2z + 4)} \).
• 3. \( i^3 = -i \), donc \( z^3 + i = z^3 – i^3 \) : \( P(z) = (z – i)(z^2 + iz + i^2) = \mathbf{(z – i)(z^2 + iz – 1)} \).
• 4. \( (2i)^3 = 8i^3 = -8i \), donc \( z^3 + 8i = z^3 – (2i)^3 \) : \( P(z) = (z – 2i)(z^2 + 2iz + (2i)^2) = \mathbf{(z – 2i)(z^2 + 2iz – 4)} \).
• 5. \( (2i)^5 = 32i^5 = 32i \), donc \( z^5 – 32i = z^5 – (2i)^5 \) et, avec \( (2i)^2 = -4 \), \( (2i)^3 = -8i \), \( (2i)^4 = 16 \) :
  \[ P(z) = (z – 2i)\left(z^4 + 2iz^3 – 4z^2 – 8iz + 16\right). \]

Ensuite, on vérifie chaque résultat en redéveloppant : par exemple \( (z – i)(z^2 + iz – 1) = z^3 + iz^2 – z – iz^2 + z + i = z^3 + i \).

On factorise d’abord dans \( \mathbb{R} \) (facteur commun, regroupement), puis on décompose les facteurs \( z^2 + c \) (\( c \gt 0 \)) par \( z^2 + c = (z – i\sqrt{c})(z + i\sqrt{c}) \), et les trinômes à discriminant négatif grâce à leurs racines complexes conjuguées.

1. \( P(z) = z(z^2 + 4) = \mathbf{z(z – 2i)(z + 2i)} \).

2. \( P(z) = z^2(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(z^2 + 1) = \mathbf{(z + 1)(z – i)(z + i)} \).

3. \( P(z) = z^2(z – 2) + (z – 2) = (z – 2)(z^2 + 1) = \mathbf{(z – 2)(z – i)(z + i)} \).

4. \( P(z) = z(z^4 – 1) = z(z^2 – 1)(z^2 + 1) = \mathbf{z(z – 1)(z + 1)(z – i)(z + i)} \).

5. Comme le suggère l’aide : \( P(z) = z^3(z^2 + 3) + (z^2 + 3) = (z^2 + 3)(z^3 + 1) \). Or \( z^2 + 3 = (z – i\sqrt{3})(z + i\sqrt{3}) \) et \( z^3 + 1 = (z + 1)(z^2 – z + 1) \) ; le trinôme \( z^2 – z + 1 \) a pour discriminant \( \Delta = 1 – 4 = -3 \), donc pour racines \( \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \).

\[ P(z) = (z + 1)(z – i\sqrt{3})(z + i\sqrt{3})\left(z – \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(z – \frac{1 – i\sqrt{3}}{2}\right). \]

6. On regroupe deux par deux : \( P(z) = z^4(z – 1) + 5z^2(z – 1) + 4(z – 1) = (z – 1)(z^4 + 5z^2 + 4) \). Ensuite, en posant \( Z = z^2 \) : \( Z^2 + 5Z + 4 = (Z + 1)(Z + 4) \). Donc :

\[ P(z) = (z – 1)(z^2 + 1)(z^2 + 4) = (z – 1)(z – i)(z + i)(z – 2i)(z + 2i). \]