Étude de fonction avec logarithme : contrôle de maths en terminale

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Ce qu’évalue le contrôle : étude de fonction avec logarithme

Le sujet du contrôle : étude de fonction avec logarithme

Exercice 1 – Dérivées avec le logarithme (3 points)

Pour chaque fonction, justifie d’abord qu’elle est dérivable sur l’intervalle indiqué, puis calcule sa dérivée et donne-la sous forme factorisée.

1. \(f_1(x) = x^2 \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1 point)
2. \(f_2(x) = \ln\left(x^2 + 3\right)\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. \(f_3(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1 point)

Exercice 2 – Limites et croissances comparées (3 points)

Détermine les limites suivantes. Quand tu rencontres une forme indéterminée, nomme-la avant de la lever.

1. \(\lim_{x \to 0,\, x > 0} \left(x^2 – 3\ln x\right)\) (0,5 point)
2. \(\lim_{x \to +\infty} \left(x – 3\ln x\right)\), en factorisant par \(x\). (1 point)
3. \(\lim_{x \to 0,\, x > 0} \left(x\ln x + 2\right)\) (0,5 point)
4. Les limites de \(h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}\) en 0 par valeurs positives, puis en \(+\infty\). (1 point)

Exercice 3 – Étude d’une fonction et de ses zéros (6 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x – 4\ln x\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal. De plus, la droite \(T\) tracée en pointillés est la tangente horizontale à \(\mathcal{C}_f\).

1. Calcule la limite de \(f\) en 0, puis sa limite en \(+\infty\) en écrivant \(f(x) = x\left(1 – 4\dfrac{\ln x}{x}\right)\). (1,5 point)
2. Montre que \(f^{\prime}(x) = \dfrac{x – 4}{x}\), étudie son signe, puis complète le tableau de variations ci-dessous. Donne la valeur exacte du minimum sous la forme \(a + b\ln 2\). (1,5 point)

3. 1. Démontre que l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(\alpha < 4 < \beta\). (1 point)
   2. À l’aide de la calculatrice, donne un encadrement de \(\alpha\) et de \(\beta\) d’amplitude \(10^{-2}\). (0,5 point)
4. 1. Calcule \(f^{\prime\prime}(x)\), puis étudie la convexité de \(f\). (0,5 point)
   2. Détermine une équation de la tangente \(D\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1. (0,5 point)
   3. Déduis-en que, pour tout réel \(x > 0\), \(\ln x \leq x – 1\). (0,5 point)

Exercice 4 – Une équation à paramètre (4 points)

On considère maintenant \(g\), la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\), et \(m\) un nombre réel.

1. Calcule \(g^{\prime}(x)\), puis dresse le tableau de variations de \(g\) en précisant la valeur exacte de son maximum. (1,5 point)
2. Détermine ensuite les limites de \(g\) en 0 et en \(+\infty\). (1 point)
3. Selon les valeurs de \(m\), indique le nombre de solutions de l’équation \(g(x) = m\) sur \(]0\,;+\infty[\). Justifie ta discussion, car chaque cas compte. (1 point)
4. Vérifie que \(g(2) = g(4)\). Quelles sont alors toutes les solutions de l’équation \(g(x) = \dfrac{\ln 2}{2}\) ? (0,5 point)

Exercice 5 – Le bénéfice d’un atelier de lampes (4 points)

Un atelier artisanal fabrique chaque mois entre 100 et 1 500 lampes de bureau. Quand il en produit et vend \(x\) centaines, avec \(x \in [1\,;15]\), son bénéfice mensuel, en milliers d’euros, vaut :

\[B(x) = 12\ln x – 2x – 4\]

1. Étudie les variations de \(B\) sur \([1\,;15]\). Combien de lampes l’atelier doit-il donc fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Donne ce bénéfice arrondi à l’euro. (1,5 point)
2. 1. Démontre que l’équation \(B(x) = 0\) admet une solution \(x_1\) dans \([1\,;6]\) et une solution \(x_2\) dans \([6\,;15]\). (1 point)
   2. Donne un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\) de \(x_1\) et de \(x_2\). Ainsi, pour quels nombres de lampes l’atelier est-il rentable ? (1 point)
3. Montre que \(B\) est concave sur \([1\,;15]\). Que peut-on dire alors du bénéfice supplémentaire apporté par chaque centaine de lampes quand la production augmente ? (0,5 point)

Réviser étude de fonction avec logarithme avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon fonction logarithme népérien ; entraîne-toi sur la fiche logarithme népérien avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

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