Équations paramétriques de droites : contrôle de maths en terminale
Voici un contrôle de maths en terminale sur le thème « équations paramétriques de droites », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue la représentation paramétrique d’une droite de l’espace, puis celle d’un plan. D’abord, tu écris les équations d’une droite et tu testes si des points lui appartiennent. Ensuite, dans un pavé droit, tu étudies deux diagonales et tu prouves que deux droites sont non coplanaires.
Tu compares aussi des droites parallèles ou sécantes en résolvant un système à deux inconnues. Enfin, un problème de drones te fait chercher le point commun de deux trajectoires et vérifier s’il existe un réel risque de collision. Fais ce contrôle à la fin du chapitre sur les droites et plans de l’espace, avant le produit scalaire dans l’espace.
Ce qu’évalue le contrôle : équations paramétriques de droites
L’essentiel du sujet
- Niveauterminale
- Durée2 heures
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Droites et plans de l’espace (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Écrire une représentation paramétrique d’une droite définie par un point et un vecteur directeur
- Tester l’appartenance d’un point à une droite ou à un plan donné par une représentation paramétrique
- Déterminer si deux droites de l’espace sont parallèles, sécantes ou non coplanaires en résolvant un système
- Écrire une représentation paramétrique d’un plan défini par trois points non alignés
- Modéliser deux trajectoires rectilignes pour étudier un risque de collision
Avant de commencer le devoir
Avant chaque calcul, nomme les paramètres avec des lettres différentes pour deux droites distinctes, car un même \(t\) fausserait le système. Pour étudier deux droites, compare d’abord leurs vecteurs directeurs, puis résous le système formé par deux équations. Vérifie ensuite la troisième : c’est elle qui décide si un point commun existe. Enfin, remplace toujours la solution trouvée dans les trois coordonnées pour contrôler ton résultat.
Le sujet du contrôle : équations paramétriques de droites
Exercice 1 – Une droite et trois points (3 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère le point \(A(2 \,;\, -1 \,;\, 3)\) et le vecteur \(\vec{u}(1 \,;\, 2 \,;\, -2)\). On note \(d\) la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\).
- Écris une représentation paramétrique de la droite \(d\).
- Les points \(B(5 \,;\, 5 \,;\, -3)\) et \(C(0 \,;\, -5 \,;\, 6)\) appartiennent-ils à \(d\) ? Justifie ta réponse, car un seul paramètre doit convenir.
- Détermine ensuite les coordonnées du point d’intersection de \(d\) avec le plan d’équation \(z = 0\).
Exercice 2 – Deux diagonales d’un pavé (5 points)
\(ABCDEFGH\) est un pavé droit tel que \(AB = 4\), \(AD = 3\) et \(AE = 2\). On se place dans le repère orthonormé \(\left(A \,;\, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) où \(\overrightarrow{AB} = 4\vec{i}\), \(\overrightarrow{AD} = 3\vec{j}\) et \(\overrightarrow{AE} = 2\vec{k}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Tout d’abord, donne les coordonnées des points \(B\), \(C\), \(D\), \(G\) et \(H\).
- Écris une représentation paramétrique de la droite \((AG)\), puis une de la droite \((BD)\).
- Démontre ensuite que les droites \((AG)\) et \((BD)\) sont non coplanaires.
- Montre enfin que les droites \((AG)\) et \((BH)\) sont sécantes. Précise les coordonnées de leur point d’intersection \(\Omega\) : que représente ce point pour le pavé ?
Exercice 3 – Parallèles ou sécantes ? (3 points)
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les trois droites suivantes, définies par leurs représentations paramétriques :
\(d_1 : x = 1 + 2t\), \(y = -3 + t\), \(z = 4 – t\), avec \(t \in \mathbb{R}\) ;
\(d_2 : x = 3 – 4s\), \(y = 2 – 2s\), \(z = 1 + 2s\), avec \(s \in \mathbb{R}\) ;
\(d_3 : x = 5 + k\), \(y = -1 + k\), \(z = 2 + 3k\), avec \(k \in \mathbb{R}\).
- Montre d’abord que \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles. Sont-elles confondues ou strictement parallèles ?
- Démontre que \(d_1\) et \(d_3\) sont sécantes, puis calcule les coordonnées de leur point commun.
Exercice 4 – Un plan défini par trois points (4 points)
Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne les points \(A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)\), \(B(3 \,;\, 1 \,;\, 0)\) et \(C(0 \,;\, 2 \,;\, 1)\).
- Montre que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
- Déduis-en alors une représentation paramétrique du plan \((ABC)\).
- Ensuite, le point \(D(4 \,;\, 4 \,;\, -3)\) appartient-il au plan \((ABC)\) ? Et le point \(E(2 \,;\, 3 \,;\, 1)\) ?
- Trouve alors le point où le plan \((ABC)\) coupe l’axe des cotes.
Exercice 5 – Deux drones au-dessus du stade (5 points)
Afin de filmer un match, deux drones survolent un stade. L’unité du repère est le mètre et le temps \(t\) est mesuré en secondes à partir du décollage des prises de vue. Le sol correspond au plan d’équation \(z = 0\).
Le drone 1 part du point \(P(0 \,;\, 0 \,;\, 10)\) et sa position à l’instant \(t\) est \(M_1(3t \,;\, 4t \,;\, 10 + t)\). De plus, au même instant, le drone 2 part du point \(Q(-2 \,;\, 8 \,;\, 16)\) et sa position est \(M_2(-2 + 5t \,;\, 8 + 4t \,;\, 16)\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Donne la position du drone 1 au bout de 2 secondes, puis son altitude.
- On note \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) les droites portant les deux trajectoires. Démontre qu’elles sont sécantes en un point \(K\) dont tu donneras les coordonnées.
- Les deux drones passent-ils en \(K\) au même instant ? Explique pourquoi les trajectoires se croisent sans que les drones se touchent.
- Montre alors que le carré de la distance entre les drones à l’instant \(t\) vaut \(M_1M_2^2 = 5t^2 – 20t + 104\).
- Par sécurité, les drones doivent toujours rester à plus de 10 mètres l’un de l’autre. Détermine donc la distance minimale entre eux, puis dis si cette règle est respectée.
Réviser équations paramétriques de droites avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, entraîne-toi sur la fiche droites et plans de l’espace et vecteurs de l’espace et les équations paramétriques et cartésiennes de droites avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en terminale regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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