Primitives de fonctions usuelles : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « primitives de fonctions usuelles », question par question.
Cette correction reprend les six exercices dans l’ordre et montre, pour chaque primitive, la forme reconnue puis le coefficient ajusté. Chaque résultat se vérifie par une dérivation rapide, que tu peux refaire au brouillon. Pour l’exercice 4, un graphique met en évidence la courbe solution parmi toute la famille de primitives.
Sous chaque exercice, un barème détaillé sépare la méthode et le résultat. Lis donc d’abord la rédaction, puis compare-la à ta copie ligne par ligne. Quand une erreur revient, par exemple un facteur \(\dfrac{1}{2}\) oublié, note-la dans ta fiche de révision afin de ne plus la refaire au bac.
L’énoncé complet se trouve ici : Primitives de fonctions usuelles : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : primitives de fonctions usuelles
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Vérifier une primitive | 3 points |
| 2. Primitives des fonctions de référence | 4 points |
| 3. Reconnaître une forme composée | 5 points |
| 4. Une primitive qui passe par un point | 3 points |
| 5. Quelle courbe pour la primitive ? | 2 points |
| 6. L’altitude d’un drone | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : primitives de fonctions usuelles
Exercice 1 – Vérifier une primitive (3 points)
- On dérive le produit \(uv\) avec \(u(x) = x^2 – 2x + 2\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{x}\), donc \(u^{\prime}(x) = 2x – 2\) et \(v^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}\).
\(F^{\prime}(x) = (2x – 2)\,\mathrm{e}^{x} + (x^2 – 2x + 2)\,\mathrm{e}^{x}\).
Puis \(F^{\prime}(x) = (2x – 2 + x^2 – 2x + 2)\,\mathrm{e}^{x} = x^2\,\mathrm{e}^{x}\).
Ainsi \(F^{\prime} = f\) sur \(\mathbb{R}\) : \(F\) est bien une primitive de \(f\). - Sur \(]0 \,;\, +\infty[\), la dérivée de \(x\ln x\) vaut \(1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1\).
Donc \(F^{\prime}(x) = \ln x + 1 – 1 = \ln x\).
Par conséquent, \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
Piège classique : essayer de « trouver » la primitive au lieu de dériver \(F\). Or on demande seulement une vérification, et dériver suffit.
Exercice 2 – Primitives des fonctions de référence (4 points)
- Une primitive de \(x^n\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\). Donc \(F_1(x) = 4 \times \dfrac{x^4}{4} – 6 \times \dfrac{x^2}{2} + 2x\).
Ainsi \(F_1(x) = x^4 – 3x^2 + 2x\). - Une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est \(-\dfrac{1}{x}\), et une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) est \(\ln x\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
Donc \(F_2(x) = -\dfrac{3}{x} + \ln x\). - Une primitive de \(\mathrm{e}^{x}\) est \(\mathrm{e}^{x}\) ; de plus, une primitive de \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) est \(\sqrt{x}\).
Par conséquent, \(F_3(x) = 5\,\mathrm{e}^{x} – \sqrt{x}\). - Une primitive de \(\cos x\) est \(\sin x\), alors qu’une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\).
Donc une primitive de \(-2\sin x\) est \(-2 \times (-\cos x) = 2\cos x\).
Ainsi \(F_4(x) = \sin x + 2\cos x\).
Piège classique : donner \(\cos x\) comme primitive de \(\sin x\). En effet, la dérivée de \(\cos x\) vaut \(-\sin x\) : il faut donc un signe moins.
Exercice 3 – Reconnaître une forme composée (5 points)
- Avec \(u(x) = x^2\), on a \(u^{\prime}(x) = 2x\) : \(g_1\) est de la forme \(u^{\prime}\mathrm{e}^{u}\).
Donc \(G_1(x) = \mathrm{e}^{x^2}\). - Avec \(u(x) = x^2 + 4\), strictement positif, on a \(u^{\prime}(x) = 2x\). Or \(3x = \dfrac{3}{2} \times 2x\), donc \(g_2 = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{u^{\prime}}{u}\).
Ainsi \(G_2(x) = \dfrac{3}{2}\ln(x^2 + 4)\). - Avec \(u(x) = x^2 + x\), on a \(u^{\prime}(x) = 2x + 1\) : \(g_3\) est de la forme \(u^{\prime}u^3\), dont une primitive est \(\dfrac{u^4}{4}\).
Donc \(G_3(x) = \dfrac{(x^2 + x)^4}{4}\). - Avec \(u(x) = x^2 + 9\), strictement positif, on a \(u^{\prime}(x) = 2x\). Alors \(g_4 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\), et une primitive de \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) est \(2\sqrt{u}\).
Donc \(G_4(x) = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{x^2 + 9}\).
Ainsi \(G_4(x) = \sqrt{x^2 + 9}\). - Avec \(u(x) = -3x + 1\), on a \(u^{\prime}(x) = -3\). Puis \(g_5 = -\dfrac{1}{3} \times u^{\prime}\mathrm{e}^{u}\).
Par conséquent, \(G_5(x) = -\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{-3x + 1}\).
Piège classique : oublier le coefficient \(-\dfrac{1}{3}\) dans \(G_5\). Pourtant, en dérivant \(\mathrm{e}^{-3x+1}\), on obtient \(-3\,\mathrm{e}^{-3x+1}\) et non \(g_5\).
Exercice 4 – Une primitive qui passe par un point (3 points)
- Une primitive de \(f\) est \(x \mapsto x^3 – 2x^2 + x\).
Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x \mapsto x^3 – 2x^2 + x + C\), où \(C\) est un réel quelconque. - \(F(2) = 8 – 8 + 2 + C = 2 + C\).
Or \(F(2) = 5\), donc \(2 + C = 5\), d’où \(C = 3\).
La primitive cherchée est \(F(x) = x^3 – 2x^2 + x + 3\).
- Deux primitives diffèrent d’une constante \(C\) : on passe donc d’une courbe à l’autre en ajoutant \(C\) à chaque ordonnée, soit une translation verticale. Ensuite, la condition \(F(2) = 5\) impose une seule valeur de \(C\). Une seule courbe de la famille passe donc par \(P\).
Exercice 5 – Quelle courbe pour la primitive ? (2 points)
- La courbe de \(f\) est au-dessus de l’axe des abscisses sur \([-2 \,;\, -1[\) et sur \(]1 \,;\, 2]\), puis en dessous sur \(]-1 \,;\, 1[\). Donc \(f(x) > 0\) sur \([-2 \,;\, -1[\) et sur \(]1 \,;\, 2]\), alors que \(f(x) < 0\) sur \(]-1 \,;\, 1[\).
- Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F^{\prime} = f\). Ainsi \(F\) est croissante sur \([-2 \,;\, -1]\), décroissante sur \([-1 \,;\, 1]\), puis croissante sur \([1 \,;\, 2]\).
La courbe A fait l’inverse : elle décroît, puis croît, puis décroît. Quant à la courbe C, elle est croissante sur tout l’intervalle.
Seule la courbe B convient : elle monte jusqu’en \(-1\), descend jusqu’en 1, puis remonte.
Piège classique : chercher une courbe qui a la même forme que celle de \(f\). Au contraire, c’est le signe de \(f\) qui compte, car il donne les variations de la primitive.
Exercice 6 – L’altitude d’un drone (3 points)
- Les primitives de \(v\) sont les fonctions \(t \mapsto t^3 – 6t^2 + 12t + C\).
Or \(h(0) = C = 10\).
Donc \(h(t) = t^3 – 6t^2 + 12t + 10\). - \(h(2) = 8 – 24 + 24 + 10 = 18\).
Ensuite, \(h(4) = 64 – 96 + 48 + 10 = 26\).
Le drone est à 18 mètres du sol après 2 secondes, puis à 26 mètres après 4 secondes. - On développe : \(3(t – 2)^2 = 3(t^2 – 4t + 4) = 3t^2 – 12t + 12 = v(t)\).
Ainsi \(v(t) \geq 0\) pour tout \(t\), donc \(h\) est croissante sur \([0 \,;\, 4]\) : le drone ne redescend jamais.
À \(t = 2\), la vitesse s’annule : le drone marque un court arrêt à 18 mètres, puis reprend sa montée.
Piège classique : oublier la constante et écrire \(h(t) = t^3 – 6t^2 + 12t\). Pourtant, le drone part du toit à 10 mètres, et non du sol.
À retenir de ce contrôle
- Pour vérifier que F est une primitive de f sur un intervalle, on dérive F et on doit retrouver exactement f.
- Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante, donc leurs courbes se déduisent par translation verticale.
- Une primitive de u′e^u est e^u, une primitive de u′/u est ln(u) lorsque u est strictement positive.
- Quand u′ n’apparaît qu’à un coefficient près, on écrit ce coefficient devant puis on compense par son inverse.
- Une primitive F est croissante là où f est positive, et décroissante là où f est négative.
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