Dérivées de sinus et cosinus : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « dérivées de sinus et cosinus », question par question.
Cette correction reprend les six exercices dans l’ordre du sujet. Pour le cercle, elle montre comment compter les graduations afin de retrouver chaque angle, puis comment lire le cosinus et le sinus par projection sur les axes. Les dérivées sont détaillées ligne par ligne, avec la formule utilisée à chaque fois, notamment celle de \(\cos(ax + b)\).
De plus, les solutions des équations sont repérées sur les courbes, ce qui permet de vérifier qu’aucune n’a été oubliée. Pour la marée, un tableau de variations et une courbe résument l’étude. Compare ensuite ta copie au barème de chaque exercice, puis lis les pièges signalés, car ils coûtent souvent des points au bac.
L’énoncé complet se trouve ici : Dérivées de sinus et cosinus : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : dérivées de sinus et cosinus
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Quatre points sur le cercle | 4 points |
| 2. Parité et période | 3 points |
| 3. Une série de dérivées | 4 points |
| 4. Lire des solutions sur les courbes | 3 points |
| 5. Une limite célèbre | 2 points |
| 6. La marée dans le port de Kerlouan | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : dérivées de sinus et cosinus
Exercice 1 – Quatre points sur le cercle (4 points)
- Un tour complet compte 24 graduations de \(\frac{\pi}{12}\). On compte donc les graduations depuis \(I\), dans le sens direct pour les points du haut et dans le sens indirect pour ceux du bas.
\(A\) est à 8 graduations dans le sens direct : \(8 \times \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}\).
\(B\) est à 3 graduations dans le sens indirect : \(-3 \times \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}\).
\(C\) est à 10 graduations dans le sens indirect : \(-10 \times \frac{\pi}{12} = -\frac{5\pi}{6}\).
\(D\) est à 2 graduations dans le sens direct : \(2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\).
\(A\) : \(\frac{2\pi}{3}\) ; \(B\) : \(-\frac{\pi}{4}\) ; \(C\) : \(-\frac{5\pi}{6}\) ; \(D\) : \(\frac{\pi}{6}\). - Le cosinus est l’abscisse du point, et le sinus son ordonnée.
Pour \(A\) : \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\) et \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Pour \(B\) : \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Ainsi \(A\left(-\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) et \(B\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). - On écrit \(\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}\). Or \(4\pi\) correspond à deux tours complets, donc \(\frac{25\pi}{6}\) et \(\frac{\pi}{6}\) repèrent le même point. C’est le point \(D\), et \(\sin\left(\frac{25\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).
- Puisque \(C\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(O\), ses coordonnées sont les opposées de celles de \(D\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)\). Donc \(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
Piège classique : donner \(\frac{7\pi}{6}\) pour le point \(C\). Ce réel repère bien \(C\), mais il n’appartient pas à \(]-\pi\,;\,\pi]\) ; il faut donc lui retirer \(2\pi\).
Exercice 2 – Parité et période (3 points)
- L’ensemble \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout réel \(x\), \(f(-x) = 2\cos(-3x) = 2\cos(3x) = f(x)\), car la fonction cosinus est paire. La fonction \(f\) est donc paire.
- Pour tout réel \(x\) :
\(f\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 2\cos\left(3x + 3 \times \frac{2\pi}{3}\right) = 2\cos(3x + 2\pi)\).
Or la fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique, donc \(2\cos(3x + 2\pi) = 2\cos(3x) = f(x)\). Par conséquent, \(f\) est périodique de période \(\frac{2\pi}{3}\). - L’ensemble \(\mathbb{R}^*\) est symétrique par rapport à 0. Ensuite, pour tout \(x \neq 0\) :
\(g(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = g(x)\), car la fonction sinus est impaire. La fonction \(g\) est donc paire. - Comme \(f\) est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : on obtient d’abord la courbe sur \(\left[-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\right]\). Cet intervalle a pour longueur \(\frac{2\pi}{3}\), soit une période. Ensuite, on translate ce morceau de courbe par les vecteurs \(k \times \frac{2\pi}{3}\,\vec{i}\), avec \(k\) entier relatif.
Piège classique : croire que \(g\) est impaire parce qu’elle contient un sinus. En fait, le quotient de deux fonctions impaires est pair, comme le montre le calcul.
Exercice 3 – Une série de dérivées (4 points)
- On dérive terme à terme : \(f_1^{\prime}(x) = 3\cos x – 2 \times (-\sin x)\). Donc \(f_1^{\prime}(x) = 3\cos x + 2\sin x\).
- On utilise la formule \((\cos(ax + b))^{\prime} = -a\sin(ax + b)\) avec \(a = 4\) et \(b = -\frac{\pi}{3}\). Ainsi \(f_2^{\prime}(x) = -4\sin\left(4x – \frac{\pi}{3}\right)\).
- On pose \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \sin x\), d’où \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(v^{\prime}(x) = \cos x\). Puis on applique \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\). Donc \(f_3^{\prime}(x) = 2x\sin x + x^2\cos x\).
- Pour tout réel \(x\), \(\cos x \geq -1\), donc \(2 + \cos x \geq 1 > 0\) : le dénominateur ne s’annule jamais.
On pose \(u(x) = \sin x\) et \(v(x) = 2 + \cos x\), d’où \(u^{\prime}(x) = \cos x\) et \(v^{\prime}(x) = -\sin x\).
\(f_4^{\prime}(x) = \frac{\cos x(2 + \cos x) – \sin x \times (-\sin x)}{(2 + \cos x)^2}\)
\(f_4^{\prime}(x) = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2}\)
Or \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Par conséquent, \(f_4^{\prime}(x) = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}\).
Piège classique : oublier le facteur 4 dans la dérivée de \(f_2\), ou écrire \(+4\sin\) au lieu de \(-4\sin\). En effet, la dérivée du cosinus est l’opposé du sinus.
Exercice 4 – Lire des solutions sur les courbes (3 points)
- On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). Sur un tour, les solutions sont donc \(\frac{\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3}\). On ajoute puis on retire \(2\pi\) pour parcourir \([-2\pi\,;\,2\pi]\) :
\(\frac{\pi}{3} – 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\).
\(S = \left\{-\frac{5\pi}{3}\,;\,-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{5\pi}{3}\right\}\). - On sait que \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Par ailleurs, \(\sin(\pi – \alpha) = \sin \alpha\), donc la seconde solution est \(\pi – \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{5\pi}{4}\), qui n’est pas dans \(]-\pi\,;\,\pi]\). On lui retire alors \(2\pi\) : \(\frac{5\pi}{4} – 2\pi = -\frac{3\pi}{4}\). \(S = \left\{-\frac{3\pi}{4}\,;\,-\frac{\pi}{4}\right\}\).
- Les solutions de \(\sin x = \frac{1}{2}\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) sont \(\frac{\pi}{6}\) et \(\pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). Entre ces deux valeurs, la courbe du sinus est au-dessus de la droite \(y = \frac{1}{2}\), et elle est en dessous ailleurs. \(S = \left[\frac{\pi}{6}\,;\,\frac{5\pi}{6}\right]\).
Piège classique : donner \(\frac{5\pi}{4}\) à la question 2. Cette valeur est bien une solution de l’équation, mais elle sort de l’intervalle imposé ; vérifie donc toujours l’intervalle.
Exercice 5 – Une limite célèbre (2 points)
- Pour \(x \neq 0\), le taux de variation de la fonction sinus entre 0 et \(x\) vaut \(\frac{\sin x – \sin 0}{x – 0} = \frac{\sin x}{x}\). Comme la fonction sinus est dérivable en 0, ce taux tend vers le nombre dérivé \(\sin^{\prime}(0) = \cos 0 = 1\). Donc \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).
- Pour \(x \neq 0\), on écrit \(\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \frac{\sin(3x)}{3x}\). Quand \(x\) tend vers 0, \(X = 3x\) tend aussi vers 0, donc \(\frac{\sin X}{X}\) tend vers 1. Ainsi \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\).
- De même, \(\frac{\cos x – 1}{x} = \frac{\cos x – \cos 0}{x – 0}\) est le taux de variation du cosinus entre 0 et \(x\). Il tend donc vers \(\cos^{\prime}(0) = -\sin 0 = 0\). Finalement, \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x – 1}{x} = 0\).
Piège classique : remplacer \(x\) par 0 et conclure. On obtient alors la forme indéterminée « 0 sur 0 », qui ne permet aucune conclusion sans le nombre dérivé.
Exercice 6 – La marée dans le port de Kerlouan (4 points)
- \(h(0) = 5 + 3\cos 0 = 5 + 3 = 8\) et \(h(6) = 5 + 3\cos \pi = 5 – 3 = 2\). À la pleine mer, il y a 8 m d’eau, et 6 heures plus tard, à la basse mer, il ne reste que 2 m.
- On utilise \((\cos(at))^{\prime} = -a\sin(at)\) avec \(a = \frac{\pi}{6}\) :
\(h^{\prime}(t) = 3 \times \left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\).
Donc \(h^{\prime}(t) = -\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\). - Quand \(t\) parcourt \([0\,;\,12]\), le réel \(\frac{\pi t}{6}\) parcourt \([0\,;\,2\pi]\).
Sur \([0\,;\,6]\), \(\frac{\pi t}{6} \in [0\,;\,\pi]\), donc \(\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq 0\) et \(h^{\prime}(t) \leq 0\).
Sur \([6\,;\,12]\), \(\frac{\pi t}{6} \in [\pi\,;\,2\pi]\), donc \(\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \leq 0\) et \(h^{\prime}(t) \geq 0\).
Par conséquent, \(h\) est décroissante sur \([0\,;\,6]\), de 8 à 2, puis croissante sur \([6\,;\,12]\), de 2 à 8.
- On résout \(h(t) \geq 6{,}5\), soit \(3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq 1{,}5\), c’est-à-dire \(\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq \frac{1}{2}\).
Pour \(X = \frac{\pi t}{6}\) dans \([0\,;\,2\pi]\), on a \(\cos X \geq \frac{1}{2}\) lorsque \(X \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{3}\right]\) ou \(X \in \left[\frac{5\pi}{3}\,;\,2\pi\right]\).
Puis on revient à \(t = \frac{6X}{\pi}\) : \(t \in [0\,;\,2]\) ou \(t \in [10\,;\,12]\).
Le voilier de Yanis peut passer pendant les 2 heures qui suivent la pleine mer, puis durant les 2 dernières heures, entre 10 h et 12 h après la pleine mer. - La mer descend le plus vite lorsque \(h^{\prime}(t)\) est minimale, donc lorsque \(\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\) vaut 1. Sur \([0\,;\,2\pi]\), cela n’arrive que pour \(\frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2}\), soit \(t = 3\). Alors \(h^{\prime}(3) = -\frac{\pi}{2} \approx -1{,}57\). La baisse est la plus rapide 3 heures après la pleine mer : l’eau descend alors d’environ \(1{,}57\) m par heure.
Piège classique : résoudre \(\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq \frac{1}{2}\) seulement sur \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{3}\right]\). Pourtant, \(\frac{\pi t}{6}\) parcourt un tour complet, donc la marée montante offre une seconde période de passage.
À retenir de ce contrôle
- Pour tous réels a et b, la dérivée de sin(ax + b) est a cos(ax + b) et celle de cos(ax + b) est −a sin(ax + b).
- Sur un tour, l’équation cos x = cos α a pour solutions α et −α, alors que sin x = sin α a pour solutions α et π − α.
- Une fonction f est périodique de période T lorsque f(x + T) = f(x) pour tout x ; pour a positif, cos(ax) est de période 2π divisé par a.
- La limite de sin x sur x en 0 vaut 1, car c’est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0, égal à cos 0.
- Pour étudier le signe de sin(kt) sur un intervalle, on détermine d’abord l’intervalle parcouru par kt, puis on lit le signe sur le cercle.
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