Étude d’une fonction trigonométrique : corrigé du contrôle de maths en terminale
Voici le corrigé du contrôle de maths en terminale sur le thème « étude d’une fonction trigonométrique », question par question.
Cette correction rédige chaque étape de l’étude comme sur une copie de bac. Pour la parité et la période, elle montre le calcul de f(−x) ou de f(x + T) en entier. Les dérivées sont ensuite détaillées avec la formule utilisée, puis simplifiées.
Pour l’étude de fonction, la dérivée factorisée et le tableau de signes sont justifiés à l’aide du cercle trigonométrique. Le tableau de variations complet est dessiné. Enfin, le problème de la grande roue est illustré par la courbe de la hauteur avec le seuil de 32 mètres. Compare d’abord ta copie, puis refais seul les questions manquées.
L’énoncé complet se trouve ici : Étude d’une fonction trigonométrique : contrôle de maths en terminale.
Barème du contrôle corrigé : étude d’une fonction trigonométrique
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Symétries et période | 3 points |
| 2. Dériver sinus et cosinus | 3 points |
| 3. Étude de 2cos(x) + cos(2x) | 6 points |
| 4. Une inégalité à démontrer | 3 points |
| 5. La grande roue de la fête | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : étude d’une fonction trigonométrique
Exercice 1 – Symétries et période (3 points)
- Pour tout réel \(x\) :
\(f\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(3x + 2\pi\right) + 1 = \cos(3x) + 1 = f(x)\), car le cosinus est \(2\pi\)-périodique.
Donc \(f\) est périodique de période \(\dfrac{2\pi}{3}\). - L’ensemble \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout réel \(x\), le sinus étant impair :
\(g(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x) \times \left(-\sin(x)\right) = x\sin(x) = g(x)\).
Ainsi, \(g\) est paire. - Pour tout réel \(x\), on a \(\sin(-x) = -\sin(x)\) et \(\cos(-x) = \cos(x)\), d’où :
\(k(-x) = \sin(-x)\cos^2(-x) = -\sin(x)\cos^2(x) = -k(x)\).
Par conséquent, \(k\) est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Piège classique : écrire \(\cos\left(3\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right)\right) = \cos(3x) + 2\pi\). En réalité, on développe d’abord l’intérieur : \(3x + 2\pi\).
Exercice 2 – Dériver sinus et cosinus (3 points)
- La dérivée de \(\sin(ax + b)\) est \(a\cos(ax + b)\). Ici \(a = 2\), donc :
\(f_1^{\prime}(x) = 6\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right)\). - On écrit \(f_2 = u^2\) avec \(u(x) = \cos(x)\), alors \(f_2^{\prime} = 2u^{\prime}u\) :
\(f_2^{\prime}(x) = 2 \times \left(-\sin(x)\right) \times \cos(x) = -2\sin(x)\cos(x)\).
Ainsi, \(f_2^{\prime}(x) = -\sin(2x)\). - On pose \(u(x) = \sin(x)\) et \(v(x) = 2 + \cos(x)\), qui ne s’annule jamais car \(\cos(x) \geq -1\). D’après la formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) :
\(f_3^{\prime}(x) = \dfrac{\cos(x)\left(2 + \cos(x)\right) – \sin(x) \times \left(-\sin(x)\right)}{\left(2 + \cos(x)\right)^2}\).
Le numérateur vaut \(2\cos(x) + \cos^2(x) + \sin^2(x) = 2\cos(x) + 1\), car \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
Donc \(f_3^{\prime}(x) = \dfrac{2\cos(x) + 1}{\left(2 + \cos(x)\right)^2}\).
Piège classique : oublier le facteur 2 venant de la fonction intérieure \(2x – \dfrac{\pi}{4}\), et écrire \(3\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right)\).
Exercice 3 – Étude de 2cos(x) + cos(2x) (6 points)
- Pour tout réel \(x\), \(f(x + 2\pi) = 2\cos(x + 2\pi) + \cos(2x + 4\pi) = 2\cos(x) + \cos(2x) = f(x)\).
De même, le cosinus est pair, donc \(f(-x) = 2\cos(-x) + \cos(-2x) = f(x)\).
Ainsi, \(f\) est \(2\pi\)-périodique et paire. L’étude sur \([0 ; \pi]\) donne alors la courbe sur \([-\pi ; 0]\) par symétrie d’axe l’axe des ordonnées. Ensuite, on obtient toute la courbe par translations de \(2\pi\). - La dérivée de \(\cos(2x)\) est \(-2\sin(2x)\), donc :
\(f^{\prime}(x) = -2\sin(x) – 2\sin(2x)\).
Or \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), d’où \(f^{\prime}(x) = -2\sin(x) – 4\sin(x)\cos(x)\).
On factorise enfin par \(-2\sin(x)\) : \(f^{\prime}(x) = -2\sin(x)\left(1 + 2\cos(x)\right)\). - Sur \([0 ; \pi]\), \(\sin(x) \geq 0\) et il ne s’annule qu’en 0 et en \(\pi\), donc \(-2\sin(x) \leq 0\).
Ensuite, \(1 + 2\cos(x) > 0\) équivaut à \(\cos(x) > -\dfrac{1}{2}\). Sur le cercle, cela correspond à \(x \in \left[0 ; \dfrac{2\pi}{3}\right[\) ; au contraire, \(1 + 2\cos(x) < 0\) sur \(\left]\dfrac{2\pi}{3} ; \pi\right]\).
Par conséquent, \(f^{\prime}(x) < 0\) sur \(\left]0 ; \dfrac{2\pi}{3}\right[\) et \(f^{\prime}(x) > 0\) sur \(\left]\dfrac{2\pi}{3} ; \pi\right[\).
Valeurs : \(f(0) = 2 + 1 = 3\) ; puis \(f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -1 – \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}\) ; enfin \(f(\pi) = -2 + 1 = -1\).
Donc \(f\) est décroissante sur \(\left[0 ; \dfrac{2\pi}{3}\right]\), puis croissante sur \(\left[\dfrac{2\pi}{3} ; \pi\right]\).
- Sur \(\left[0 ; \dfrac{2\pi}{3}\right]\), \(f\) est continue et strictement décroissante, avec \(f(0) = 3 > 0\) et \(f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{3}{2} < 0\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 0\) y admet donc une unique solution \(\alpha\).
Sur \(\left[\dfrac{2\pi}{3} ; \pi\right]\), en revanche, \(f(x) \leq -1\), donc l’équation n’a pas de solution.
À la calculatrice, \(f(1{,}19) \approx 0{,}020 > 0\) et \(f(1{,}20) \approx -0{,}013 < 0\), d’où \(1{,}19 < \alpha < 1{,}20\).
Comme \(f\) est paire, \(-\alpha\) est aussi solution. L’équation possède donc exactement deux solutions sur \([-\pi ; \pi]\) : \(\alpha\) et \(-\alpha\).
Piège classique : oublier que \(\sin(x)\) s’annule en 0 et en \(\pi\). La dérivée vaut alors 0 aux deux bornes, sans changer les variations.
Exercice 4 – Une inégalité à démontrer (3 points)
- \(g^{\prime}(x) = 1 – \cos(x)\). Or \(\cos(x) \leq 1\) pour tout réel \(x\), donc \(g^{\prime}(x) \geq 0\).
De plus, \(g^{\prime}\) ne s’annule qu’en des points isolés (les multiples de \(2\pi\)). Ainsi, \(g\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\). - Comme \(g\) est croissante, pour tout \(x \geq 0\), \(g(x) \geq g(0) = 0 – \sin(0) = 0\).
Donc \(x – \sin(x) \geq 0\), c’est-à-dire \(\sin(x) \leq x\) pour tout réel \(x \geq 0\). - Pour tout réel \(x\), \(\sin(x) \leq 1\), donc \(-\sin(x) \geq -1\) et \(g(x) = x – \sin(x) \geq x – 1\).
Puisque \(\lim_{x \to +\infty} (x – 1) = +\infty\), le théorème de comparaison donne \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).
Piège classique : chercher la limite de \(\sin(x)\) en \(+\infty\). Elle n’existe pas, c’est pourquoi on passe par une minoration.
Exercice 5 – La grande roue de la fête (5 points)
- La roue tourne à vitesse constante et fait un tour, soit \(2\pi\) radians, en 8 minutes. L’angle est donc proportionnel au temps : \(\theta = \dfrac{2\pi}{8} \times t = \dfrac{\pi t}{4}\).
Ensuite, \(h(0) = 22 – 20\cos(0) = 2\) et \(h(4) = 22 – 20\cos(\pi) = 22 + 20 = 42\).
Au départ, la nacelle est à 2 m du sol ; au bout de 4 minutes, elle atteint le sommet, à 42 m. - La dérivée de \(\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)\) est \(-\dfrac{\pi}{4}\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)\), donc :
\(h^{\prime}(t) = -20 \times \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right) = 5\pi\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)\).
Quand \(t \in [0 ; 4]\), l’angle \(\dfrac{\pi t}{4}\) parcourt \([0 ; \pi]\) où le sinus est positif. En revanche, pour \(t \in [4 ; 8]\), il parcourt \([\pi ; 2\pi]\) où le sinus est négatif.
Ainsi, \(h\) est croissante sur \([0 ; 4]\), puis décroissante sur \([4 ; 8]\), avec un maximum de 42 m. - On résout \(22 – 20\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right) \geq 32\), c’est-à-dire \(-20\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right) \geq 10\).
On divise par \(-20\), qui est négatif, donc on change le sens : \(\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right) \leq -\dfrac{1}{2}\).
Sur le cercle, pour \(\theta \in [0 ; 2\pi]\), \(\cos(\theta) \leq -\dfrac{1}{2}\) équivaut à \(\theta \in \left[\dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3}\right]\).
Alors \(\dfrac{2\pi}{3} \leq \dfrac{\pi t}{4} \leq \dfrac{4\pi}{3}\), donc \(\dfrac{8}{3} \leq t \leq \dfrac{16}{3}\).
La durée vaut \(\dfrac{16}{3} – \dfrac{8}{3} = \dfrac{8}{3}\) min, soit 2 min et \(\dfrac{2}{3} \times 60 = 40\) s.
Chloé voit le lac entre \(t = \dfrac{8}{3}\) et \(t = \dfrac{16}{3}\), c’est-à-dire pendant 2 minutes et 40 secondes.
- \(h(1) = 22 – 20\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 22 – 20 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 22 – 10\sqrt{2}\).
Au bout d’une minute, la nacelle est à \(22 – 10\sqrt{2} \approx 7{,}86\) m du sol.
Piège classique : garder le sens de l’inégalité en divisant par \(-20\). On obtiendrait alors les instants où la nacelle est en bas, et non en haut.
À retenir de ce contrôle
- Une fonction paire vérifie f(−x) = f(x) et une fonction T-périodique vérifie f(x + T) = f(x) pour tout réel x.
- La dérivée de sin(ax + b) vaut a cos(ax + b), tandis que la dérivée de cos(ax + b) vaut −a sin(ax + b).
- Pour étudier le signe d’une dérivée trigonométrique, on la factorise puis on lit le signe de chaque facteur sur le cercle.
- L’inéquation cos(x) ≤ −1/2 se résout sur le cercle : sur [0 ; 2π], ses solutions forment l’intervalle [2π/3 ; 4π/3].
- Pour prouver une inégalité entre deux fonctions, on étudie les variations de leur différence puis on utilise sa valeur minimale.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider étude d’une fonction trigonométrique après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonctions cosinus et sinus ; entraîne-toi sur la fiche fonctions sinus et cosinus.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en terminale.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «Étude d'une fonction trigonométrique : corrigé du contrôle de maths en terminale» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Terminale
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
