Suite divergente
En bref : Une suite divergente est une suite qui n’a pas de limite finie : ses termes tendent vers plus ou moins l’infini, ou bien oscillent sans se stabiliser.
TerminaleSuites
Définition : Suite divergente
Une suite divergente est une suite qui ne converge pas. Deux situations se présentent : soit les termes deviennent aussi grands qu’on veut en valeur absolue, avec une limite égale à \(+\infty\) ou \(-\infty\), soit ils ne s’approchent d’aucune valeur et la limite n’existe pas.
Par exemple \(n^2\) tend vers \(+\infty\), tandis que \((-1)^n\) alterne entre \(1\) et \(-1\) sans limite. Une suite non bornée est forcément divergente.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de montrer qu’une suite « tend vers \(+\infty\) » ou « n’admet pas de limite ».
- Les termes calculés grandissent de plus en plus vite, ou changent de signe en alternance.
- Une raison géométrique \(q\) supérieure à \(1\) ou égale à \(-1\) apparaît.
- Le sujet modélise une grandeur qui explose, comme un coût cumulé ou une population sans limite de ressources.
La méthode
- Calculer plusieurs termes et repérer le comportement : croissance sans fin ou oscillation.
- Pour une limite infinie, factoriser le terme dominant et appliquer les opérations sur les limites.
- Pour une absence de limite, exhiber deux sous-suites (rangs pairs et impairs) qui ont des limites différentes.
- Rédiger : la suite diverge, vers l’infini ou sans limite.
Suite divergente : exemple corrigé
Énoncé
Étudier le comportement de la suite \(u_n=2n^2-7n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Corrigé
On factorise par le terme dominant : \(u_n=n^2\left(2-\frac{7}{n}\right)\).
Quand \(n\to+\infty\), \(n^2\to+\infty\) et \(2-\frac{7}{n}\to 2\). Par produit, \(u_n\to+\infty\) : la suite diverge, avec une limite infinie. Vérification : \(u_{10}=200-70=130\).
À toi de jouer
Question 1
La suite \(v_n=3+(-1)^n\) a-t-elle une limite ?
Voir la réponse
Non : les rangs pairs donnent \(4\) et les rangs impairs donnent \(2\). Sans limite, elle diverge.
Question 2
Une suite géométrique de raison \(1{,}2\) et de premier terme \(5\) diverge-t-elle ?
Voir la réponse
Oui : \(5\times 1{,}2^n\) tend vers \(+\infty\) car \(1{,}2\) est supérieur à \(1\).
Ne pas confondre Suite divergente et Suite convergente
Une suite convergente a une limite finie et ses termes finissent par se serrer autour d’elle. Une suite divergente n’a pas de limite finie : elle part à l’infini ou elle oscille. Attention, « diverger » n’implique pas toujours « tendre vers l’infini ».
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Suite convergente
- Limite d'une suite
- Suite géométrique
- Suite majorée, minorée, bornée
- Suite croissante
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