Suite croissante
En bref : Une suite croissante est une suite dont chaque terme est supérieur ou égal au précédent ; on le prouve en montrant que u(n+1) – u(n) est positif ou nul pour tout rang n.
PremièreSuites
Définition : Suite croissante
Une suite croissante ne redescend jamais : \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout entier \(n\). Elle est strictement croissante quand l’inégalité est stricte.
Une suite peut n’être croissante qu’à partir d’un certain rang : elle peut commencer par baisser, puis monter définitivement. Pour décider, on étudie le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\), qui se simplifie souvent bien.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande « les variations de la suite » ou « le sens de variation ».
- On doit montrer qu’une quantité qui évolue de rang en rang ne diminue jamais, donc qu’on a une suite croissante.
- Les premiers termes calculés montent, mais une preuve est exigée pour tous les rangs.
- Une suite est définie par une formule en \(n\) comme \(2n^2-5n\), dont le comportement n’est pas évident.
La méthode
- Exprimer \(u_{n+1}\) en remplaçant \(n\) par \(n+1\) dans la formule, en développant avec soin.
- Calculer la différence \(u_{n+1}-u_n\) et la simplifier au maximum.
- Étudier son signe pour \(n\) entier : positif ou nul partout, on a une suite croissante.
- Si le signe change, préciser à partir de quel rang il est constant, puis conclure.
Suite croissante : exemple corrigé
Énoncé
Soit la suite définie pour tout entier \(n\) par \(u_n=2n^2-5n\). À partir de quel rang est-elle croissante ?
Corrigé
On a \(u_{n+1}=2(n+1)^2-5(n+1)=2n^2-n-3\). Donc \(u_{n+1}-u_n=(2n^2-n-3)-(2n^2-5n)=4n-3\).
Cette différence est positive dès que \(4n-3\ge 0\), c’est-à-dire \(n\ge 1\) pour un entier. Les premiers termes \(0\), \(-3\), \(-2\), \(3\) le confirment : la suite est croissante à partir du rang 1, mais pas au rang 0.
À toi de jouer
Question 1
Pour \(v_n=7+4n\), calculer \(v_{n+1}-v_n\) et conclure.
Voir la réponse
\(v_{n+1}-v_n=4>0\) : la suite est strictement croissante.
Question 2
La suite \(w_n=\frac{1}{n+1}\) est-elle croissante ?
Voir la réponse
Non : les termes \(1\), \(0{,}5\), \(0{,}33\ldots\) diminuent, elle est décroissante.
Ne pas confondre Suite croissante et Suite majorée, minorée, bornée
Croissante parle du sens de variation : chaque terme dépasse le précédent. Majorée parle d’une limite haute : tous les termes restent sous un nombre fixé. Une suite peut être croissante sans être majorée, comme \(n^2\), ou majorée sans être croissante.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Suite numérique
- Fonction croissante
- Fonction décroissante
- Fonction monotone
- Suite majorée, minorée, bornée
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