Suite numérique
En bref : Une suite numérique est une liste infinie de réels numérotés par les entiers : à chaque rang n, elle associe un nombre noté u_n, que l’on obtient par une formule ou par un procédé de calcul.
PremièreSuites
Définition : Suite numérique
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels : à chaque entier \(n\), appelé rang, elle fait correspondre un réel \(u_n\).
On la note \((u_n)\) pour désigner l’ensemble de la liste et \(u_n\) pour son terme de rang \(n\). Elle peut être définie par une formule explicite, comme \(u_n=\frac{n+1}{n+2}\), ou par récurrence, en construisant chaque terme à partir du précédent.
Comment le reconnaître
- Un phénomène évolue par étapes numérotées et se modélise par une suite numérique : jours, mois, années, étages d’une construction.
- Une notation avec un indice, comme \(u_0\), \(u_{n+1}\) ou \((v_n)\), apparaît.
- L’énoncé demande « le terme de rang 9 » ou « le premier rang pour lequel le terme dépasse un seuil ».
- On observe que les points d’un nuage se rapprochent d’une valeur ou s’éloignent sans limite.
La méthode
- Pour étudier une suite numérique, repérer son mode de définition : formule explicite en \(n\) ou relation de récurrence.
- Pour une formule explicite, remplacer \(n\) par le rang demandé dans toute l’expression.
- Placer les points \((n\,;\,u_n)\) dans un repère pour visualiser le comportement de la suite.
- Pour trouver un rang, résoudre l’équation ou l’inéquation d’inconnue \(n\) et ne retenir que les entiers.
Suite numérique : exemple corrigé
Énoncé
Une suite est définie par \(u_n=\frac{n+1}{n+2}\). Calculer \(u_0\), \(u_3\) et \(u_9\), puis trouver le rang pour lequel \(u_n=\frac{19}{20}\).
Corrigé
\(u_0=\frac{1}{2}\), \(u_3=\frac{4}{5}=0{,}8\) et \(u_9=\frac{10}{11}\).
Pour \(u_n=\frac{19}{20}\), on identifie numérateur et dénominateur : \(n+1=19\) et \(n+2=20\), d’où \(n=18\).
À toi de jouer
Question 1
Pour \(v_n=3n^2-4\), calculer \(v_5\).
Voir la réponse
\(v_5=3\times 25-4=71\).
Question 2
Quelle différence y a-t-il entre \((u_n)\) et \(u_n\) ?
Voir la réponse
\((u_n)\) désigne toute la suite ; \(u_n\) est un seul nombre, son terme de rang \(n\).
Ne pas confondre Suite numérique et Fonction
Une fonction usuelle est définie sur un intervalle de réels et sa courbe est continue. Une suite n’existe que pour les entiers : sa représentation est un nuage de points isolés, jamais une courbe d’un seul trait. Calculer \(u_{2{,}5}\) n’a donc aucun sens.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Terme d'une suite
- Suite définie par récurrence
- Suite arithmétique
- Suite géométrique
- Suite croissante
- Fonction
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