Borne d’un intervalle
En bref : Une borne d’un intervalle est l’une de ses deux extrémités ; elle est incluse si le crochet est tourné vers l’intervalle et exclue s’il est tourné vers l’extérieur.
SecondeNombres et calculs
Définition : Borne d'un intervalle
Un intervalle de nombres réels est délimité par deux extrémités, appelées bornes : celle de gauche, la plus petite, et celle de droite, la plus grande. Dans \([-3\,;\,5[\), ce sont \(-3\) et \(5\).
Le crochet précise si l’extrémité appartient à l’intervalle. Un crochet tourné vers l’intérieur la contient : l’intervalle est fermé de ce côté. Un crochet tourné vers l’extérieur l’exclut : il est ouvert de ce côté. Ainsi \(-3\) appartient à \([-3\,;\,5[\), mais \(5\) n’y appartient pas. Les symboles \(-\infty\) et \(+\infty\) ne sont pas des nombres réels : le crochet qui les touche est toujours ouvert.
Comment le reconnaître
- Une condition s’écrit avec un signe strict ou large, comme \(-3 \le x < 5\), et il faut la traduire en intervalle.
- On demande si un nombre précis, situé tout au bout de l’ensemble, en fait partie ou non.
- Un graphique montre un cercle plein ou un cercle vide à l’extrémité d’un segment tracé sur une droite graduée.
- Une tolérance, une plage de température ou un créneau horaire est donné avec une valeur minimale et une valeur maximale.
La méthode
- Repérer les deux extrémités, de la plus petite à la plus grande, et les écrire de gauche à droite.
- Pour chacune, regarder si l’inégalité est large (\(\le\), \(\ge\)) ou stricte (\(<\), \(>\)).
- Mettre un crochet tourné vers l’intervalle quand l’inégalité est large, vers l’extérieur quand elle est stricte.
- Pour tester un nombre, le comparer aux deux extrémités en tenant compte de ces crochets, et conclure par une phrase.
Borne d'un intervalle : exemple corrigé
Énoncé
Un four de pâtisserie à Reims doit être réglé à une température \(T\) vérifiant \(175 \le T < 210\) (en °C). Écrire l'intervalle, donner ses extrémités et dire si les températures 175, 199,5 et 210 conviennent.
Corrigé
L’inégalité est large à gauche et stricte à droite : \(T \in [175\,;\,210[\). Les extrémités sont \(175\) et \(210\).
La première est incluse : 175 convient. Le nombre \(199{,}5\) est entre les deux : il convient.
La seconde est exclue : 175 et 199,5 conviennent, 210 ne convient pas.
À toi de jouer
Question 1
Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des réels \(x\) tels que \(-2 < x \le 7\).
Voir la réponse
Strict à gauche, large à droite : \(]-2\,;\,7]\).
Question 2
Dans \(]-\infty\,;\,4]\), l’extrémité de gauche appartient-elle à l’intervalle ?
Voir la réponse
Non : \(-\infty\) n’est pas un nombre réel et son crochet est ouvert. L’extrémité \(4\) est incluse.
Ne pas confondre Borne d'un intervalle et Intervalle
Un intervalle est un ensemble de nombres, comme tous ceux compris entre deux valeurs. Une borne n’est que l’une de ses extrémités. Deux intervalles peuvent avoir les mêmes extrémités et être différents, selon qu’elles sont incluses ou non : \([1\,;\,2]\) contient 1 et 2, alors que \(]1\,;\,2[\) les exclut.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Seconde · Nombres et calculs
