Intervalle
En bref : Un intervalle est l’ensemble de tous les réels compris entre deux bornes, qui peuvent être incluses (crochet tourné vers le nombre) ou exclues (crochet tourné vers l’extérieur), ou être infinies.
SecondeNombres et calculs
Définition : Intervalle
Un intervalle regroupe tous les nombres réels situés entre deux bornes, sans trou. Il se note avec des crochets : \([a\,;\,b]\) contient \(a\) et \(b\), alors que \(]a\,;\,b[\) les exclut.
Un crochet tourné vers le nombre signifie « borne comprise », un crochet tourné vers l’extérieur « borne exclue ». Le symbole \(\infty\) n’est pas un nombre : il est toujours accompagné d’un crochet ouvert, comme dans \([3\,;\,+\infty[\). Les intervalles servent à écrire proprement les solutions d’une inéquation ou l’ensemble de définition d’une fonction, et l’on peut les combiner par intersection \(\cap\) ou réunion \(\cup\).
Comment le reconnaître
- Le résultat d’une inéquation doit être écrit proprement avec des crochets plutôt qu’avec un signe.
- L’énoncé précise « compris entre » une valeur minimale et une valeur maximale, parfois bornes incluses.
- On colorie une portion de droite graduée entre deux repères, avec des bouts pleins ou vides.
- Il faut dire à quel ensemble appartient un nombre ou combiner deux ensembles de solutions.
La méthode
- Identifier les deux bornes et décider, d’après le signe, si chacune est comprise (≤ ou ≥) ou exclue (< ou >).
- Écrire la borne inférieure à gauche, la borne supérieure à droite, séparées par un point-virgule.
- Fermer le crochet vers le nombre pour une borne comprise, l’ouvrir vers l’extérieur sinon ; l’infini est toujours ouvert.
- Pour une intersection, garder la zone commune sur la droite graduée ; pour une réunion, garder tout ce qui est colorié.
Intervalle : exemple corrigé
Énoncé
Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des réels \(x\) tels que \(-3\le x<4{,}5\). Le nombre \(4{,}5\) en fait-il partie ? Donner l’intersection de cet ensemble et de \([1\,;\,8]\).
Corrigé
La borne \(-3\) est comprise (signe \(\le\)), la borne \(4{,}5\) est exclue (signe \(<\)). On écrit \([-3\,;\,4{,}5[\). Le nombre \(4{,}5\) n’en fait donc pas partie.
Sur la droite graduée, la partie commune à \([-3\,;\,4{,}5[\) et \([1\,;\,8]\) commence en \(1\), borne comprise, et s’arrête avant \(4{,}5\). L’intersection est \([1\,;\,4{,}5[\).
À toi de jouer
Question 1
Écrire \(x>7\) sous forme d’intervalle.
Voir la réponse
La borne \(7\) est exclue et il n’y a pas de limite à droite : \(]7\,;\,+\infty[\).
Question 2
Le nombre \(6\) appartient-il à \(]-\infty\,;\,2]\cup]6\,;\,+\infty[\) ?
Voir la réponse
Non : \(6\) est plus grand que \(2\), et il est la borne exclue du second morceau.
Ne pas confondre Intervalle et Inégalité
Une inégalité comme \(2\le x<5\) est une phrase mathématique qu’un nombre vérifie ou non. L’intervalle \([2\,;\,5[\) est l’ensemble de tous les nombres qui la vérifient. Les deux écritures disent la même chose, mais l’une est une condition et l’autre un ensemble.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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