Inégalité
En bref : Une inégalité compare deux nombres ou deux expressions avec un des signes strict ou large ; elle se transforme comme une équation, sauf que multiplier par un négatif retourne son sens.
SecondeNombres et calculs
Définition : Inégalité
Une inégalité exprime qu’un nombre est plus petit ou plus grand qu’un autre. Elle est stricte avec \(<\) ou \(>\), et large avec \(\le\) ou \(\ge\), qui acceptent l’égalité.
Plusieurs transformations sont permises. Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres ne change pas le sens. Multiplier ou diviser par un nombre positif non plus. Mais multiplier ou diviser par un nombre négatif retourne le sens : \(2<5\) devient \(-2>-5\). Une double inégalité comme \(2<x<5\) encadre un nombre entre deux bornes.
Comment le reconnaître
- Le texte utilise « au moins », « au plus », « strictement supérieur » ou « compris entre ».
- Un budget, une limite de vitesse ou une capacité fixe une borne à ne pas dépasser.
- On compare deux expressions contenant \(x\) et l’on cherche quand l’une dépasse l’autre.
- On connaît un encadrement de \(x\) et l’on veut en déduire celui d’une expression en \(x\).
La méthode
- Isoler l’inconnue en ajoutant ou en retranchant le même nombre des deux côtés.
- Diviser par le coefficient de \(x\) : s’il est négatif, retourner le sens de l’inégalité.
- Écrire la solution avec un signe, puis sous forme d’intervalle, en respectant les bornes ouvertes ou fermées.
- Pour un encadrement, appliquer la même suite d’opérations aux trois parties de la double inégalité.
Inégalité : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre \(4-3x>19\), puis, sachant que \(2<x<5\), encadrer \(3x-1\).
Corrigé
On retranche \(4\) : \(-3x>15\). On divise par \(-3\), nombre négatif, donc le sens se retourne : \(x<-5\). Les solutions forment l’intervalle \(]-\infty\,;\,-5[\), avec \(-5\) exclu.
Pour l’encadrement, on multiplie d’abord par \(3\) : \(6<3x<15\). On retranche ensuite \(1\) : \(5<3x-1<14\).
À toi de jouer
Question 1
Résoudre \(-2x\le 14\).
Voir la réponse
On divise par \(-2\) et l’on retourne le sens : \(x\ge -7\).
Question 2
Vrai ou faux : si \(a<b\), alors \(a^2<b^2\) ?
Voir la réponse
Faux. Avec \(a=-3\) et \(b=1\), on a bien \(a<b\), mais \(a^2=9\) est supérieur à \(b^2=1\).
Ne pas confondre Inégalité et Inéquation
Une inégalité compare simplement deux quantités et peut être vraie ou fausse, comme \(7>3\). Une inéquation contient une inconnue : on cherche l’ensemble des valeurs de \(x\) qui rendent l’inégalité vraie. Résoudre une inéquation revient donc à transformer des inégalités.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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