PGCD et nombres premiers
Décomposer, simplifier, partager. — Nombres et calculs, troisième.
Tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique, admis au collège mais utilisé constamment. De cette décomposition découlent le calcul du PGCD, la simplification des fractions et la résolution des problèmes de partage.
Ce quiz entraîne la reconnaissance des nombres premiers jusqu'à 50, la décomposition de nombres usuels, et le calcul du PGCD de deux nombres simples. Il introduit aussi la notion de nombres premiers entre eux, qui caractérise exactement les fractions irréductibles.
Ce que ce quiz fait travailler
- Reconnaître un nombre premier
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Calculer le PGCD de deux entiers
- Reconnaître deux nombres premiers entre eux
La méthode, étape par étape
- Tester la primalitéOn essaie de diviser par 2, 3, 5, 7… jusqu'à dépasser la racine carrée du nombre.
- DécomposerOn divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus grand.
- PGCDOn multiplie les facteurs premiers communs, avec leur plus petit exposant.
- Premiers entre euxDeux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Les erreurs les plus fréquentes
- Considérer 1 comme un nombre premier : il ne l'est pas.
- Oublier que 2 est premier, et que c'est le seul nombre premier pair.
- Confondre PGCD et PPCM.
Conseils d'utilisation en classe
Faites mémoriser la liste des nombres premiers jusqu'à 50 : elle suffit pour tout le collège.
Reliez immédiatement le PGCD à la simplification de fractions : c'est sa principale utilité.