Calculer avec les puissances
Produits, quotients et puissances de puissances. — Nombres et calculs, quatrième.
Une puissance n'est qu'une écriture abrégée d'une multiplication répétée : 2⁵ signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Toutes les règles de calcul sur les puissances se retrouvent à partir de cette définition, et c'est exactement pour cela qu'il faut les faire redémontrer en classe plutôt que les faire apprendre par cœur : un élève qui a compris pourquoi a⁴ × a³ = a⁷ ne confondra plus jamais avec a¹².
Ce quiz balaie les quatre situations qui reviennent en contrôle : le produit de deux puissances de même base, leur quotient, la puissance d'une puissance et les exposants négatifs. Les bases restent volontairement petites pour que le calcul mental porte sur la règle d'exposant et non sur la multiplication elle-même.
Ce que ce quiz fait travailler
- Multiplier deux puissances de même base
- Diviser deux puissances de même base
- Calculer la puissance d'une puissance
- Donner la valeur d'une puissance à exposant négatif
La méthode, étape par étape
- ProduitMême base : on additionne les exposants. aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
- QuotientMême base : on soustrait les exposants. aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
- Puissance de puissanceOn multiplie les exposants. (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ
- Exposant négatifa⁻ⁿ est l'inverse de aⁿ. Par exemple 2⁻³ = 1/8
Les erreurs les plus fréquentes
- Additionner les bases : 2³ × 2⁴ ne fait pas 4⁷ mais 2⁷. La base ne change jamais.
- Confondre produit et puissance de puissance : a² × a³ = a⁵, mais (a²)³ = a⁶.
- Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 5⁻² vaut 0,04, un nombre positif.
Conseils d'utilisation en classe
Commencez par une série sur les produits seuls, puis ajoutez les quotients à la série suivante.
Faites systématiquement justifier une réponse sur deux en revenant à l'écriture développée.