Variable aléatoire : espérance et variance
Le gain moyen sur un grand nombre de parties. — Probabilités et statistiques, première.
L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités. Elle s'interprète très concrètement : c'est le gain moyen par partie lorsqu'on répète l'expérience un grand nombre de fois, ce qui permet de dire si un jeu est favorable, défavorable ou équitable.
Le quiz entraîne la construction d'une loi, le calcul de l'espérance et de la variance, et l'interprétation en termes de jeu équitable. Les lois proposées ne comportent que deux ou trois valeurs, pour que le calcul reste mental.
Ce que ce quiz fait travailler
- Vérifier qu'une loi de probabilité est complète
- Calculer une espérance
- Calculer une variance et un écart type
- Déterminer si un jeu est équitable
La méthode, étape par étape
- Loi de probabilitéLa somme des probabilités vaut 1.
- EspéranceE(X) = somme des xᵢ pᵢ.
- VarianceV(X) = E(X²) − E(X)².
- Jeu équitableLe jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.
Les erreurs les plus fréquentes
- Calculer une moyenne simple sans pondérer par les probabilités.
- Oublier d'élever E(X) au carré dans la variance.
- Annoncer une variance négative.
Conseils d'utilisation en classe
Le type « Jeu équitable » donne du sens à l'espérance : c'est le meilleur point d'entrée du chapitre.
Faites systématiquement vérifier que la somme des probabilités vaut 1 avant tout calcul.