Corrigé du bac de maths 2022 : Liban, jour 1
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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Probabilités conditionnelles, arbre pondéré, probabilités totales, loi binomiale, espérance
Partie A
1. Arbre pondéré.
Les données fournissent \(P(J) = 0{,}2\), donc \(P(\overline{J}) = 0{,}8\), puis les probabilités conditionnelles \(P_J(C) = 0{,}06\) et \(P_{\overline{J}}(C) = 0{,}125\). Sur chaque nœud, la somme des branches vaut 1, ce qui donne \(P_J(\overline{C}) = 0{,}94\) et \(P_{\overline{J}}(\overline{C}) = 0{,}875\).
- \(J\) (0,2)
- \(C\) (0,06)
- \(\overline{C}\) (0,94)
- \(\overline{J}\) (0,8)
- \(C\) (0,125)
- \(\overline{C}\) (0,875)
En conclusion : premier niveau \(J\) (0,2) et \(\overline{J}\) (0,8) ; second niveau \(C\) avec 0,06 après \(J\) et 0,125 après \(\overline{J}\).
2. Calculer \(P(J \cap C)\).
Ensuite, on suit le chemin \(J\) puis \(C\) de l'arbre : la probabilité d'une intersection est le produit des probabilités portées par les branches.
\[P(J \cap C) = P(J) \times P_J(C) = 0{,}2 \times 0{,}06 = 0{,}012.\]
En conclusion : \(P(J \cap C) = 0{,}012\).
3. Montrer que \(P(C) = 0{,}112\).
Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne donc \(P(C) = P(J \cap C) + P(\overline{J} \cap C)\). Alors, on calcule le second terme : \(P(\overline{J} \cap C) = 0{,}8 \times 0{,}125 = 0{,}1\).
\[P(C) = 0{,}012 + 0{,}1 = 0{,}112.\]
En conclusion : la probabilité qu'un skieur prenne l'option coupe-file est bien \(0{,}112\).
4. Sachant \(C\), probabilité d'avoir un forfait SENIOR.
Un skieur SENIOR est un skieur de \(\overline{J}\). Puis on cherche la probabilité conditionnelle « à l'envers » \(P_C(\overline{J})\), que l'on obtient par la définition :
\[P_C(\overline{J}) = \dfrac{P(\overline{J} \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}112} = \dfrac{25}{28} \approx 0{,}8929.\]
En conclusion : \(P_C(\overline{J}) \approx 0{,}893\).
Question 5
5. Les moins de 25 ans sont-ils moins de 15 % des utilisateurs du coupe-file ?
La proportion demandée est celle des JUNIOR parmi les skieurs ayant pris l'option, c'est-à-dire \(P_C(J)\). C'est l'évènement contraire du précédent dans l'univers restreint à \(C\) :
\[P_C(J) = 1 - P_C(\overline{J}) = \dfrac{0{,}012}{0{,}112} = \dfrac{3}{28} \approx 0{,}107.\]
Environ 10,7 % des utilisateurs du coupe-file ont moins de 25 ans, ce qui est bien inférieur à 15 %.
En conclusion : oui, c'est vrai, car \(P_C(J) \approx 0{,}107 \lt 0{,}15\).
Partie B
1. Paramètres de la loi binomiale.
Par ailleurs, on répète 30 fois, de façon supposée indépendante, la même épreuve de Bernoulli : interroger un skieur, le succès étant « il a choisi l'option coupe-file », de probabilité 0,112. \(X\) compte les succès.
En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(30\,;\,0{,}112)\).
2. Probabilité qu'au moins un skieur ait l'option.
« Au moins un » est le contraire de « aucun ». Ensuite, on passe donc par \(P(X = 0) = (1 - 0{,}112)^{30} = 0{,}888^{30}\).
\[P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}888^{30} \approx 1 - 0{,}02834 \approx 0{,}97166.\]
En conclusion : \(P(X \geqslant 1) \approx 0{,}972\).
3. Probabilité qu'au plus un skieur ait l'option.
Par ailleurs, on additionne les deux cas \(X = 0\) et \(X = 1\), avec la formule \(P(X = k) = \binom{30}{k} 0{,}112^k \times 0{,}888^{30 - k}\) :
\[P(X \leqslant 1) = 0{,}888^{30} + 30 \times 0{,}112 \times 0{,}888^{29} \approx 0{,}02834 + 0{,}10723 \approx 0{,}13557.\]
En conclusion : \(P(X \leqslant 1) \approx 0{,}136\).
4. Espérance de \(X\).
Pour une loi binomiale, l'espérance vaut \(n \times p\) :
\[E(X) = 30 \times 0{,}112 = 3{,}36.\]
Sur un grand nombre d'échantillons de 30 skieurs, on compte en moyenne un peu plus de trois utilisateurs du coupe-file par groupe.
En conclusion : \(E(X) = 3{,}36\).
Corrigé de l’exercice 2 (bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
QCM : suite géométrique et logarithme, propriétés de ln, asymptotes, tangente, convexité, suite arithmético-géométrique
Aucune justification n'est exigée sur la copie, mais chaque réponse est expliquée ici pour que la méthode serve à l'entraînement.
1. Heure à laquelle le volume passe sous un quart de litre.
Baisser de 15 % revient à multiplier par \(0{,}85\). Après \(n\) heures, le volume vaut \(0{,}85^n\) litre. Ensuite, on résout \(0{,}85^n \lt 0{,}25\) en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante : \(n \ln(0{,}85) \lt \ln(0{,}25)\). Comme \(\ln(0{,}85) \lt 0\), le sens de l'inégalité change en divisant :
\[n \gt \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)} \approx 8{,}53.\]
Contrôle : \(0{,}85^8 \approx 0{,}272\) est encore au-dessus de 0,25 alors que \(0{,}85^9 \approx 0{,}232\) est en dessous.
Réponse c. : 9 heures.
2. Relation entre \(f(2x)\) et \(f(x)\) pour \(f(x) = 4\ln(3x)\).
Alors, on utilise \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\) puis \(n\ln(a) = \ln(a^n)\) :
\[f(2x) = 4\ln(2 \times 3x) = 4\ln(2) + 4\ln(3x) = \ln(2^4) + f(x) = f(x) + \ln(16).\]
Réponse b. : \(f(2x) = f(x) + \ln(16)\).
3. Asymptotes de la courbe de \(g(x) = \dfrac{\ln(x)}{x - 1}\).
En \(+\infty\) : on écrit \(g(x) = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{x}{x - 1}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) tend vers 0 et \(\dfrac{x}{x - 1}\) tend vers 1, donc \(g(x)\) tend vers 0 : l'axe des abscisses est asymptote horizontale.
En 1 : \(g(x) = \dfrac{\ln(x) - \ln(1)}{x - 1}\) est un taux d'accroissement de \(\ln\) en 1. Sa limite est le nombre dérivé \(\ln'(1) = \dfrac{1}{1} = 1\), qui est fini : il n'y a pas d'asymptote verticale.
Réponse c. : aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
Question 4
4. Nombre d'annulations de \(h\) sur \(\left]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2\right]\).
Pour \(x \gt 0\), on a \(x^2 \gt 0\), donc \(h(x) = 0\) équivaut à \(1 + 2\ln(x) = 0\), soit \(\ln(x) = -\dfrac12\), c'est-à-dire \(x = \text{e}^{-\frac12} \approx 0{,}607\). Or \(\dfrac{1}{\text{e}} = \text{e}^{-1} \approx 0{,}368\) : la seule solution appartient bien à l'intervalle.
Réponse b. : \(h\) s'annule exactement une fois, en \(\text{e}^{-\frac12}\).
5. Tangente à \(\mathcal{C}_h\) au point d'abscisse \(\sqrt{\text{e}}\).
La tangente a pour équation \(y = h'(a)(x - a) + h(a)\) avec \(a = \sqrt{\text{e}}\), et \(\ln(\sqrt{\text{e}}) = \dfrac12\).
\[h(\sqrt{\text{e}}) = \text{e}\left(1 + 2 \times \dfrac12\right) = 2\text{e} \qquad h'(\sqrt{\text{e}}) = 4\sqrt{\text{e}}\left(1 + \dfrac12\right) = 6\sqrt{\text{e}}.\]
\[y = 6\sqrt{\text{e}}\left(x - \sqrt{\text{e}}\right) + 2\text{e} = 6\sqrt{\text{e}}\,x - 6\text{e} + 2\text{e} = \left(6\text{e}^{\frac12}\right)x - 4\text{e}.\]
Réponse d. : \(y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right)x - 4\text{e}\).
6. Nombre de points d'inflexion de \(\mathcal{C}_h\) sur \(]0\,;\,2]\).
Puis on dérive \(h'(x) = 4x\left(1 + \ln(x)\right)\) comme un produit \(uv\) avec \(u = 4x\) et \(v = 1 + \ln(x)\) :
\[h''(x) = 4\left(1 + \ln(x)\right) + 4x \times \dfrac{1}{x} = 8 + 4\ln(x) = 4\left(2 + \ln(x)\right).\]
\(h''(x)\) est du signe de \(2 + \ln(x)\) : négatif pour \(x \lt \text{e}^{-2}\), positif pour \(x \gt \text{e}^{-2}\). Comme \(\text{e}^{-2} \approx 0{,}135\) est dans \(]0\,;\,2]\), la dérivée seconde s'annule en changeant de signe une seule fois : la courbe passe de concave à convexe en un seul point.
Réponse b. : un seul point d'inflexion, d'abscisse \(\text{e}^{-2}\).
Question 7
7. Monotonie de la suite \(u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 3\), \(u_0 = 6\).
Ensuite, on calcule \(u_1 = \dfrac12 \times 6 + 3 = 6\). Plus généralement, si \(u_n = 6\), alors \(u_{n+1} = 3 + 3 = 6\) : par récurrence, tous les termes valent 6. En effet 6 est le point fixe de \(x \mapsto \dfrac12 x + 3\), solution de \(x = \dfrac12 x + 3\), et la suite démarre exactement sur ce point fixe.
Réponse d. : la suite est constante (égale à 6).
Corrigé de l’exercice 3 (bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Fonction exponentielle, limites et croissances comparées, variations, théorème des valeurs intermédiaires, suite récurrente, récurrence, algorithme de seuil en Python
Partie A
1. a) Limite de \(f\) en \(-\infty\).
Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), l'exposant \(0{,}5x - 2\) tend aussi vers \(-\infty\), et comme \(\lim_{X \to -\infty} \text{e}^X = 0\), le terme \(\text{e}^{0{,}5x - 2}\) tend vers 0 par composition. Le reste \(1 + x\) tend vers \(-\infty\). Par somme :
En conclusion : \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
1. b) Factorisation, puis limite en \(+\infty\).
Pour \(x \neq 0\), on factorise \(0{,}5x\) dans \(x - \text{e}^{0{,}5x - 2}\), en remarquant que \(x = 0{,}5x \times 2\) et que \(\text{e}^{0{,}5x - 2} = \text{e}^{0{,}5x} \times \text{e}^{-2}\) :
\[f(x) = 1 + 0{,}5x \times 2 - 0{,}5x \times \dfrac{\text{e}^{0{,}5x} \times \text{e}^{-2}}{0{,}5x} = 1 + 0{,}5x\left(2 - \dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x} \times \text{e}^{-2}\right).\]
En \(+\infty\), on pose \(X = 0{,}5x\), qui tend vers \(+\infty\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\text{e}^X}{X}\) tend vers \(+\infty\) ; multipliée par la constante positive \(\text{e}^{-2}\), elle tend encore vers \(+\infty\), donc la parenthèse tend vers \(-\infty\). Le facteur \(0{,}5x\) tend vers \(+\infty\), donc le produit tend vers \(-\infty\), et ajouter 1 ne change rien.
En conclusion : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
2. a) Calcul de \(f'(x)\).
La dérivée de \(\text{e}^{u}\) est \(u'\text{e}^{u}\) ; ici \(u(x) = 0{,}5x - 2\), donc \(u' = 0{,}5\).
En conclusion : \(f'(x) = 1 - 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x - 2}\) pour tout réel \(x\).
Question 2 b
2. b) Résoudre \(f'(x) \lt 0\).
Ensuite, on isole l'exponentielle puis on applique \(\ln\), strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), ce qui conserve le sens de l'inégalité :
\[f'(x) \lt 0 \iff 0{,}5\,\text{e}^{0{,}5x - 2} \gt 1 \iff \text{e}^{0{,}5x - 2} \gt 2 \iff 0{,}5x - 2 \gt \ln(2) \iff x \gt 4 + 2\ln(2).\]
En conclusion : l'ensemble des solutions est \(]4 + 2\ln(2)\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variation de \(f\).
Le même calcul avec des inégalités inversées montre que \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \lt 4 + 2\ln(2)\), et \(f'\) s'annule en \(4 + 2\ln(2)\). La valeur du maximum s'obtient avec \(\text{e}^{\ln(2)} = 2\) :
\[f(4 + 2\ln(2)) = 1 + 4 + 2\ln(2) - \text{e}^{2 + \ln(2) - 2} = 5 + 2\ln(2) - 2 = 3 + 2\ln(2).\]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4 + 2\ln(2)\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | croissante ↗ | \(3 + 2\ln(2)\) | décroissante ↘ | \(-\infty\) |
En conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,4 + 2\ln(2)]\), décroissante sur \([4 + 2\ln(2)\,;\,+\infty[\), de maximum \(3 + 2\ln(2) \approx 4{,}39\).
4. Unique solution de \(f(x) = 0\) sur \([-1\,;\,0]\).
L'intervalle \([-1\,;\,0]\) est contenu dans \(]-\infty\,;\,4 + 2\ln(2)]\), où \(f\) est strictement croissante ; \(f\) est continue car dérivable. Puis on calcule les valeurs aux bornes :
\[f(-1) = 1 - 1 - \text{e}^{-0{,}5 - 2} = -\text{e}^{-2{,}5} \approx -0{,}082 \lt 0 \qquad f(0) = 1 - \text{e}^{-2} \approx 0{,}865 \gt 0.\]
0 est compris entre \(f(-1)\) et \(f(0)\). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l'équation \(f(x) = 0\) a une solution unique \(\alpha\) dans \([-1\,;\,0]\).
En conclusion : l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [-1\,;\,0]\).
Partie B
1. a) Récurrence : \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).
Ensuite, on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\) ».
Initialisation. \(u_0 = 0\) et \(u_1 = f(0) = 1 - \text{e}^{-2} \approx 0{,}86\). Alors, on a bien \(0 \leqslant u_1 \leqslant 4\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. Les trois nombres \(u_n\), \(u_{n+1}\) et 4 sont inférieurs ou égaux à 4, donc à \(4 + 2\ln(2)\) : ils sont dans l'intervalle où \(f\) est croissante. Appliquer \(f\) conserve donc l'ordre : \(f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(4)\). Or \(f(4) = 1 + 4 - \text{e}^{0} = 4\). Donc on obtient \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).
1. b) Convergence de \((u_n)\).
L'inégalité \(u_n \leqslant u_{n+1}\) dit que la suite est croissante, et \(u_{n+1} \leqslant 4\) (avec \(u_0 = 0\)) qu'elle est majorée par 4. Le théorème de convergence monotone s'applique.
En conclusion : \((u_n)\) est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite \(\ell \leqslant 4\).
2. a) Montrer que \(\ell = 4\).
Ensuite, on résout l'équation \(\ell = f(\ell)\) :
\[\ell = 1 + \ell - \text{e}^{0{,}5\ell - 2} \iff \text{e}^{0{,}5\ell - 2} = 1 \iff 0{,}5\ell - 2 = 0 \iff \ell = 4.\]
La deuxième équivalence vient de ce que \(\text{e}^X = 1\) seulement pour \(X = 0\). L'équation n'a qu'une solution, c'est donc la limite.
En conclusion : la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell = 4\).
Question 2 b
2. b) Interpréter valeur(3.99) = 12.
La fonction part de \(u = u_0 = 0\) et \(n = 0\). À chaque tour de boucle, elle remplace \(u\) par \(f(u)\), donc calcule le terme suivant, et augmente \(n\) de 1 : au bout du tour, \(u\) contient \(u_n\). La boucle continue tant que \(u \leqslant a\) et s'arrête au premier terme strictement supérieur à \(a\). Elle renvoie donc le plus petit indice \(n\) tel que \(u_n \gt a\).
Avec \(a = 3{,}99\), le résultat 12 signifie que \(u_{11} \leqslant 3{,}99\) et \(u_{12} \gt 3{,}99\). Un calcul à la calculatrice le confirme : \(u_{11} \approx 3{,}9855\) et \(u_{12} \approx 3{,}9927\). Comme la suite est croissante, tous les termes à partir de \(u_{12}\) sont à moins de 0,01 de la limite 4.
En conclusion : \(u_{12}\) est le premier terme de la suite qui dépasse 3,99 ; à partir du rang 12, \(3{,}99 \lt u_n \leqslant 4\).
Corrigé de l’exercice 4 (bac 2022, Liban, jour 1) 6 points
Géométrie dans l'espace : milieu, vecteur normal, équation cartésienne de plan, distances, intersection de plans, représentation paramétrique, plans médiateurs, sphère
1. a) Coordonnées de R et de \(\overrightarrow{\text{AB}}\).
Le milieu a pour coordonnées les moyennes de celles des extrémités : \(\left(\dfrac{5 + 1}{2}\,;\,\dfrac{0 + 4}{2}\,;\,\dfrac{-1 - 1}{2}\right)\). Le vecteur s'obtient par différence « arrivée moins départ » : \(\overrightarrow{\text{AB}}(1 - 5\,;\,4 - 0\,;\,-1 + 1)\).
En conclusion : \(\text{R}(3\,;\,2\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{\text{AB}}(-4\,;\,4\,;\,0)\).
1. b) Équation de \(\mathcal{P}_1\).
Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) a une équation de la forme \(ax + by + cz + d = 0\). Avec \(\overrightarrow{\text{AB}}\), on obtient \(-4x + 4y + d = 0\). Le point R est dans le plan : \(-4 \times 3 + 4 \times 2 + d = 0\), donc \(d = 4\). L'équation \(-4x + 4y + 4 = 0\) se simplifie en divisant par \(-4\).
En conclusion : \(\mathcal{P}_1 : x - y - 1 = 0\).
1. c) E appartient à \(\mathcal{P}_1\) et EA = EB.
Alors, on remplace les coordonnées de E : \(10 - 9 - 1 = 0\), l'équation est vérifiée, donc \(\text{E} \in \mathcal{P}_1\).
Puis on compare les carrés des distances : \(\overrightarrow{\text{EA}}(-5\,;\,-9\,;\,-9)\) donne \(\text{EA}^2 = 25 + 81 + 81 = 187\), et \(\overrightarrow{\text{EB}}(-9\,;\,-5\,;\,-9)\) donne \(\text{EB}^2 = 81 + 25 + 81 = 187\). Deux longueurs positives de même carré sont égales.
En conclusion : \(\text{E} \in \mathcal{P}_1\) et \(\text{EA} = \text{EB} = \sqrt{187}\).
Question 2 a
2. a) \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.
Ensuite, on lit les vecteurs normaux sur les équations : \(\vec{n_1}(1\,;\,-1\,;\,0)\) pour \(\mathcal{P}_1\) et \(\vec{n_2}(1\,;\,0\,;\,-1)\) pour \(\mathcal{P}_2\). S'ils étaient colinéaires, on aurait \(\vec{n_2} = k\vec{n_1}\) ; la première coordonnée imposerait \(k = 1\), mais la deuxième donnerait \(0 = -1\), impossible. Deux plans dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires ne sont pas parallèles.
En conclusion : \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants selon une droite.
2. b) Représentation paramétrique de \(\Delta\).
Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) est sur \(\Delta\) si et seulement si ses coordonnées vérifient les deux équations. Par ailleurs, on prend \(z = t\) comme paramètre. L'équation de \(\mathcal{P}_2\) donne \(x = z + 2 = 2 + t\), puis celle de \(\mathcal{P}_1\) donne \(y = x - 1 = 1 + t\).
\[\left\{\begin{array}{l} x - y - 1 = 0\\ x - z - 2 = 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + t\\ z = t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R}).\]
En conclusion : \(\Delta\) passe par le point \((2\,;\,1\,;\,0)\), dirigée par \(\vec{u}(1\,;\,1\,;\,1)\), et admet la représentation paramétrique annoncée.
3. Intersection de \(\Delta\) et \(\mathcal{P}_3\).
Le vecteur normal de \(\mathcal{P}_3\) est \(\vec{n_3}(0\,;\,1\,;\,1)\). Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{n_3} = 0 + 1 + 1 = 2\) n'est pas nul : \(\Delta\) n'est pas parallèle à \(\mathcal{P}_3\), elle le coupe donc en un seul point.
Puis on remplace \(y\) et \(z\) par leur expression en \(t\) dans l'équation de \(\mathcal{P}_3\) : \((1 + t) + t - 3 = 0\), soit \(2t - 2 = 0\) et \(t = 1\). Par ailleurs, on reporte dans la représentation de \(\Delta\) : \(x = 3\), \(y = 2\), \(z = 1\).
En conclusion : \(\Delta\) coupe \(\mathcal{P}_3\) au point \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\).
Question 4 a
4. a) \(\Omega\text{A} = \Omega\text{B} = \Omega\text{C} = \Omega\text{D}\).
Le point \(\Omega\) est sur \(\Delta\), donc dans \(\mathcal{P}_1\) et dans \(\mathcal{P}_2\), et il est aussi dans \(\mathcal{P}_3\). Comme \(\mathcal{P}_1\) est le plan médiateur de [AB], \(\Omega\text{A} = \Omega\text{B}\). De même, \(\Omega \in \mathcal{P}_2\) donne \(\Omega\text{A} = \Omega\text{C}\), et \(\Omega \in \mathcal{P}_3\) donne \(\Omega\text{A} = \Omega\text{D}\).
Vérification directe : \(\overrightarrow{\Omega\text{A}}(2\,;\,-2\,;\,-2)\), \(\overrightarrow{\Omega\text{B}}(-2\,;\,2\,;\,-2)\), \(\overrightarrow{\Omega\text{C}}(-2\,;\,-2\,;\,2)\), \(\overrightarrow{\Omega\text{D}}(2\,;\,2\,;\,2)\) ont tous pour carré de norme \(4 + 4 + 4 = 12\).
En conclusion : \(\Omega\text{A} = \Omega\text{B} = \Omega\text{C} = \Omega\text{D}\).
4. b) Sphère contenant A, B, C et D.
Les quatre points sont à la même distance de \(\Omega\). Ils appartiennent donc à la sphère de centre \(\Omega\) dont le rayon est cette distance commune : \(\Omega\text{A} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
En conclusion : A, B, C et D sont sur la sphère de centre \(\Omega(3\,;\,2\,;\,1)\) et de rayon \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\).
Ce qu’il faut retenir de ce sujet
- Bien distinguer \(P_J(C)\), donnée par l'énoncé, de \(P_C(J)\), qu'il faut calculer par \(\dfrac{P(J \cap C)}{P(C)}\) après la formule des probabilités totales.
- « Au moins un » se traite par l'évènement contraire \(1 - P(X = 0)\) ; « au plus un » demande d'additionner \(P(X = 0)\) et \(P(X = 1)\).
- En résolvant \(q^n \lt a\) avec \(0 \lt q \lt 1\), diviser par \(\ln(q) \lt 0\) inverse l'inégalité : erreur classique à éviter.
- Une limite de la forme \(\dfrac{\ln(x) - \ln(1)}{x - 1}\) est un nombre dérivé ; face à une forme indéterminée avec l'exponentielle, on factorise pour faire apparaître \(\dfrac{\text{e}^X}{X}\).
- Pour une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\), la récurrence repose sur la croissance de \(f\) sur le bon intervalle et sur un point fixe (\(f(4) = 4\)) ; croissante et majorée implique convergente.
- Un point équidistant de quatre points est à l'intersection de plans médiateurs : c'est le centre de la sphère qui les contient.
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Ce corrigé du bac 2022, Liban, jour 1 du 18 mai 2022 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (6 points) traite : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, probabilités totales, loi binomiale, espérance. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) aborde : qCM : suite géométrique et logarithme, propriétés de ln, asymptotes, tangente, convexité, suite arithmético-géométrique. Puis, la correction de l'exercice 3 (6 points) aborde : fonction exponentielle, limites et croissances comparées, variations, théorème des valeurs intermédiaires, suite récurrente, récurrence, algorithme de seuil en Python. Enfin, la correction de l'exercice 4 (6 points) porte sur : géométrie dans l'espace : milieu, vecteur normal, équation cartésienne de plan, distances, intersection de plans, représentation paramétrique, plans médiateurs, sphère.
Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.
Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2022, Liban, jour 1
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.
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