Corrigé du bac de maths 2022 : France, jour 1
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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2022, France, jour 1) 7 points
Dérivée d'un produit avec exponentielle, tableau de variations, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, logarithme
Partie A : premier protocole
1. a) Calculer \(f'(t)\).
Ensuite, on écrit \(f = u \times v\) avec \(u(t) = 3t\) et \(v(t) = \text{e}^{-0{,}5t+1}\). Alors, on a \(u'(t) = 3\) et, comme la dérivée de \(\text{e}^{w}\) est \(w'\text{e}^{w}\), \(v'(t) = -0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t+1}\).
La formule \((uv)' = u'v + uv'\) donne, pour tout \(t\) de \([0\,;\,10]\) :
\[f'(t) = 3\,\text{e}^{-0{,}5t+1} + 3t \times \left(-0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5t+1}\right) = 3\,\text{e}^{-0{,}5t+1}\left(1 - 0{,}5t\right).\]
En conclusion : \(f'(t) = 3(-0{,}5t + 1)\text{e}^{-0{,}5t+1}\) pour tout \(t \in [0\,;\,10]\).
1. b) Tableau de variations de \(f\).
Une exponentielle est toujours strictement positive et \(3 \gt 0\) : le signe de \(f'(t)\) est donc celui de \(-0{,}5t + 1\), fonction affine décroissante qui s'annule pour \(t = 2\). Ainsi \(f'(t) \gt 0\) sur \([0\,;\,2[\), \(f'(2) = 0\) et \(f'(t) \lt 0\) sur \(]2\,;\,10]\).
Valeurs utiles : \(f(0) = 0\), \(f(2) = 6\,\text{e}^{0} = 6\) et \(f(10) = 30\,\text{e}^{-4} \approx 0{,}55\).
| \(t\) | \(0\) | \(2\) | \(10\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f'(t)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(0\) | croissante \(\nearrow\) | \(6\) | décroissante \(\searrow\) | \(30\,\text{e}^{-4}\) |
En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,2]\) et strictement décroissante sur \([2\,;\,10]\).
1. c) Instant et valeur du maximum.
Le tableau montre que \(f\) atteint son maximum sur \([0\,;\,10]\) en \(t = 2\), et que ce maximum vaut \(f(2) = 6\).
En conclusion : la quantité de médicament est maximale 2 heures après la prise ; elle vaut alors 6 mg.
2. a) Unique solution \(\alpha\) de \(f(t) = 5\) sur \([0\,;\,2]\).
Sur \([0\,;\,2]\), la fonction \(f\) est continue (elle est dérivable) et strictement croissante ; elle prend donc toutes les valeurs de \([f(0)\,;\,f(2)] = [0\,;\,6]\), chacune une seule fois. Comme \(5\) appartient à \([0\,;\,6]\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone) garantit que l'équation \(f(t) = 5\) possède une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;\,2]\).
Pour l'approcher, on balaie avec la calculatrice : \(f(1{,}02) \approx 4{,}995 \lt 5\) et \(f(1{,}03) \approx 5{,}019 \gt 5\), donc \(1{,}02 \lt \alpha \lt 1{,}03\) ; plus finement \(\alpha \approx 1{,}022\).
En conclusion : \(\alpha \approx 1{,}02\) à \(10^{-2}\) près.
Question 2 b
2. b) Durée d'efficacité à la minute près.
D'après les variations de \(f\), la quantité est au moins égale à 5 mg exactement lorsque \(t\) est compris entre \(\alpha\) et \(\beta\) : avant \(\alpha\) la fonction n'a pas encore atteint 5, après \(\beta\) elle est repassée sous 5. La durée d'efficacité est donc \(\beta - \alpha \approx 3{,}46 - 1{,}02 = 2{,}44\) heures.
Ensuite, on convertit : \(0{,}44 \times 60 = 26{,}4\) minutes, donc environ 2 h 26 min, soit 146 minutes. (Avec des valeurs plus précises, \(\beta - \alpha \approx 2{,}440\) h, soit 146,4 min : l'arrondi est le même.)
En conclusion : le médicament est efficace pendant environ 146 minutes, c'est-à-dire 2 h 26 min.
Partie B : second protocole
1. Calculer \(u_1\).
Pendant la première heure, les 2 mg injectés perdent 30 % : il en reste \(2 \times 0{,}7 = 1{,}4\) mg. Par ailleurs, on ajoute alors la nouvelle dose de \(1{,}8\) mg : \(u_1 = 1{,}4 + 1{,}8 = 3{,}2\).
En conclusion : \(u_1 = 3{,}2\) mg.
2. Justifier la relation de récurrence.
Juste après l'injection de la \(n\)-ième heure, le sang contient \(u_n\) mg. Une heure plus tard, une baisse de 30 % revient à multiplier par \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\) : il reste \(0{,}7u_n\) mg. Ensuite, on réinjecte alors \(1{,}8\) mg, et la quantité juste après cette injection est \(u_{n+1}\).
En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}7u_n + 1{,}8\).
3. a) Récurrence : \(u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6\).
Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6\) ».
Initialisation. \(u_0 = 2\) et \(u_1 = 3{,}2\) : on a bien \(2 \leqslant 3{,}2 \lt 6\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) soit vraie : \(u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6\). La fonction \(g : x \mapsto 0{,}7x + 1{,}8\) est affine de coefficient positif, donc strictement croissante : elle conserve l'ordre. En l'appliquant aux trois membres, on obtient \(g(u_n) \leqslant g(u_{n+1}) \lt g(6)\), c'est-à-dire \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \lt 0{,}7 \times 6 + 1{,}8 = 6\). Ainsi \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire ; par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leqslant u_{n+1} \lt 6\).
Question 3 b
3. b) Convergence de \((u_n)\).
L'inégalité \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\) signifie que la suite est croissante, et \(u_{n+1} \lt 6\) (avec \(u_0 = 2 \lt 6\)) signifie qu'elle est majorée par 6. Le théorème de convergence monotone s'applique : toute suite croissante et majorée converge.
En conclusion : la suite \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\), avec \(\ell \leqslant 6\).
3. c) Valeur de \(\ell\) et interprétation.
La fonction \(g : x \mapsto 0{,}7x + 1{,}8\) est continue. En passant à la limite dans \(u_{n+1} = g(u_n)\), puisque \(u_{n+1}\) et \(u_n\) tendent toutes deux vers \(\ell\), on obtient \(\ell = 0{,}7\ell + 1{,}8\), soit \(0{,}3\ell = 1{,}8\) et donc \(\ell = 6\).
Interprétation : en prolongeant indéfiniment les injections, la quantité de médicament présente juste après chaque injection se rapproche de 6 mg, sans jamais l'atteindre.
En conclusion : \(\ell = 6\) ; à long terme, la quantité de médicament dans le sang juste après une injection se stabilise vers 6 mg.
4. a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}7\).
Pour tout entier naturel \(n\), on part de la définition au rang \(n+1\) et on remplace \(u_{n+1}\) :
\[v_{n+1} = 6 - u_{n+1} = 6 - 0{,}7u_n - 1{,}8 = 4{,}2 - 0{,}7u_n = 0{,}7\left(6 - u_n\right) = 0{,}7\,v_n.\]
Le premier terme vaut \(v_0 = 6 - u_0 = 6 - 2 = 4\).
En conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}7\) et de premier terme \(v_0 = 4\).
Question 4 b
4. b) Expressions de \(v_n\) puis de \(u_n\).
Le terme général d'une suite géométrique est \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = 4 \times 0{,}7^n\). Puisque \(v_n = 6 - u_n\), on isole \(u_n = 6 - v_n\).
En conclusion : \(v_n = 4 \times 0{,}7^n\) et \(u_n = 6 - 4 \times 0{,}7^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
4. c) Nombre d'injections réalisées.
Puis on cherche le premier rang \(n\) tel que \(u_n \geqslant 5{,}5\). Ensuite, on résout l'inéquation :
\[6 - 4 \times 0{,}7^n \geqslant 5{,}5 \iff 4 \times 0{,}7^n \leqslant 0{,}5 \iff 0{,}7^n \leqslant 0{,}125.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), elle conserve donc le sens de l'inégalité : \(n\ln(0{,}7) \leqslant \ln(0{,}125)\). Comme \(\ln(0{,}7) \lt 0\), diviser par ce nombre renverse l'inégalité :
\[n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}7)} \approx 5{,}83.\]
Le plus petit entier qui convient est \(n = 6\). Vérification : \(u_5 = 6 - 4 \times 0{,}7^5 \approx 5{,}328 \lt 5{,}5\) et \(u_6 \approx 5{,}529 \geqslant 5{,}5\).
Le seuil est donc franchi juste après l'injection de la sixième heure, et on s'arrête là. Alors, on a fait l'injection initiale (rang 0) puis une injection à chacune des heures 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
En conclusion : 7 injections sont réalisées au total (l'injection initiale de 2 mg et 6 réinjections de \(1{,}8\) mg).
Corrigé de l’exercice 2 (bac 2022, France, jour 1) 7 points
Représentation paramétrique d'une droite, produit scalaire, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal sur une droite, distance, volume d'un tétraèdre
1. a) Un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\).
Dans une représentation paramétrique, les coefficients du paramètre \(t\) donnent les coordonnées d'un vecteur directeur : ici \(2\), \(-1\) et \(2\).
En conclusion : \(\overrightarrow{u}\,(2\,;\,-1\,;\,2)\) dirige \(\mathcal{D}\).
1. b) B appartient-il à \(\mathcal{D}\) ?
Puis on cherche un même réel \(t\) vérifiant les trois équations avec les coordonnées de B. La première, \(1 + 2t = -1\), impose \(t = -1\). Par ailleurs, on contrôle les deux autres avec cette valeur : \(y = 2 - (-1) = 3\) et \(z = 2 + 2 \times (-1) = 0\). Ce sont bien les coordonnées de B.
En conclusion : B est le point de \(\mathcal{D}\) de paramètre \(t = -1\), donc \(\text{B} \in \mathcal{D}\).
1. c) Calculer \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}\).
\(\overrightarrow{\text{AB}}\) a pour coordonnées \((-1-(-1)\,;\,3-1\,;\,0-3) = (0\,;\,2\,;\,-3)\). Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées :
\[\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 2 = -8.\]
En conclusion : \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = -8\).
2. a) Équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).
Le plan \(\mathcal{P}\) est orthogonal à \(\mathcal{D}\), donc un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) est normal à \(\mathcal{P}\). Avec \(\overrightarrow{u}\,(2\,;\,-1\,;\,2)\), une équation de \(\mathcal{P}\) est de la forme \(2x - y + 2z + d = 0\).
Le point A \((-1\,;\,1\,;\,3)\) est dans \(\mathcal{P}\) : \(2 \times (-1) - 1 + 2 \times 3 + d = 0\), soit \(3 + d = 0\), donc \(d = -3\).
En conclusion : \(\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 3 = 0\).
Question 2 b
2. b) Coordonnées de H.
H est sur \(\mathcal{D}\) : ses coordonnées s'écrivent \((1+2t\,;\,2-t\,;\,2+2t)\) pour un certain réel \(t\). H est aussi dans \(\mathcal{P}\), donc on injecte ces expressions dans l'équation du plan :
\[2(1+2t) - (2-t) + 2(2+2t) - 3 = 0 \iff 9t + 1 = 0 \iff t = -\dfrac19.\]
Ensuite, on reporte : \(x = 1 - \dfrac29 = \dfrac79\), \(y = 2 + \dfrac19 = \dfrac{19}{9}\), \(z = 2 - \dfrac29 = \dfrac{16}{9}\).
En conclusion : \(\text{H}\left(\dfrac79\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right)\).
2. c) Longueur AH exacte.
\(\overrightarrow{\text{AH}}\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac79 + 1\,;\,\dfrac{19}{9} - 1\,;\,\dfrac{16}{9} - 3\right) = \left(\dfrac{16}{9}\,;\,\dfrac{10}{9}\,;\,-\dfrac{11}{9}\right)\). Le repère étant orthonormé :
\[\text{AH} = \sqrt{\dfrac{256 + 100 + 121}{81}} = \dfrac{\sqrt{477}}{9} = \dfrac{3\sqrt{53}}{9} = \dfrac{\sqrt{53}}{3}.\]
En conclusion : \(\text{AH} = \dfrac{\sqrt{53}}{3} \approx 2{,}43\).
3. a) Existence de \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{HB}} = k\overrightarrow{u}\).
Les points H et B sont tous deux sur la droite \(\mathcal{D}\). Le vecteur \(\overrightarrow{\text{HB}}\) est donc porté par \(\mathcal{D}\) (ou nul si H et B étaient confondus), et il est colinéaire à n'importe quel vecteur directeur de \(\mathcal{D}\), en particulier à \(\overrightarrow{u}\), qui n'est pas nul.
En conclusion : il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{HB}} = k\overrightarrow{u}\).
3. b) Montrer que \(k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\|\overrightarrow{u}\|^2}\).
Par ailleurs, on décompose \(\overrightarrow{\text{AB}}\) en passant par H (relation de Chasles) et on utilise la bilinéarité du produit scalaire :
\[\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = \left(\overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HB}}\right) \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{\text{HB}} \cdot \overrightarrow{u}.\]
A et H sont deux points du plan \(\mathcal{P}\), dont \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur normal ; donc \(\overrightarrow{\text{AH}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{u} = 0\). Il reste \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = (k\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{u} = k\,\|\overrightarrow{u}\|^2\). Comme \(\overrightarrow{u}\) n'est pas nul, on peut diviser par \(\|\overrightarrow{u}\|^2\).
En conclusion : \(k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\|\overrightarrow{u}\|^2}\).
Question 3 c
3. c) Valeur de \(k\) et coordonnées de H.
\(\|\overrightarrow{u}\|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9\) et \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = -8\) (question 1. c), donc \(k = -\dfrac89\).
Alors \(\overrightarrow{\text{HB}} = -\dfrac89\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées \(\left(-\dfrac{16}{9}\,;\,\dfrac89\,;\,-\dfrac{16}{9}\right)\). Or \(\overrightarrow{\text{HB}} = \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OH}}\), donc \(\overrightarrow{\text{OH}} = \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{HB}}\) :
\[x_{\text{H}} = -1 + \dfrac{16}{9} = \dfrac79,\quad y_{\text{H}} = 3 - \dfrac89 = \dfrac{19}{9},\quad z_{\text{H}} = 0 + \dfrac{16}{9} = \dfrac{16}{9}.\]
En conclusion : \(k = -\dfrac89\), et l'on retrouve \(\text{H}\left(\dfrac79\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right)\).
4. Aire du triangle ACH.
Les points A, C et H sont dans le plan \(\mathcal{P}\) : on prend le triangle ACH comme base du tétraèdre. Le sommet opposé est B, qui est sur \(\mathcal{D}\), droite perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) en H. La hauteur issue de B est donc le segment [BH], de longueur \(\text{BH}\).
D'après 3. c), \(\text{BH} = \|\overrightarrow{\text{HB}}\| = |k| \times \|\overrightarrow{u}\| = \dfrac89 \times 3 = \dfrac83\).
La formule du volume donne \(\dfrac89 = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{ACH}} \times \dfrac83\), c'est-à-dire \(\dfrac89 = \dfrac89 \times \mathcal{A}_{\text{ACH}}\).
En conclusion : l'aire du triangle ACH vaut 1 unité d'aire.
Corrigé de l’exercice 3 (bac 2022, France, jour 1) 7 points
Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle (Bayes), loi binomiale, fonction de répartition en Python, moyenne pondérée
1. a) Probabilité de \(S\).
L'énoncé indique que 25 % des salariés ont suivi le stage ; en choisissant un salarié au hasard, cette proportion devient une probabilité.
En conclusion : \(P(S) = 0{,}25\).
1. b) Compléter les quatre branches de l'arbre.
52 % des salariés sont des femmes : \(P(F) = 0{,}52\), donc \(P(\overline{F}) = 1 - 0{,}52 = 0{,}48\). Parmi les femmes, 40 % ont suivi le stage : \(P_F(S) = 0{,}4\), d'où \(P_F(\overline{S}) = 0{,}6\).
- Branche vers \(F\) : \(0{,}52\) ; puis de \(F\) vers \(S\) : \(0{,}4\) et de \(F\) vers \(\overline{S}\) : \(0{,}6\).
- Branche vers \(\overline{F}\) : \(0{,}48\) ; les branches issues de \(\overline{F}\) ne sont pas demandées (on les calcule en 1. e).
En conclusion : les pointillés valent \(0{,}52\) (vers \(F\)), \(0{,}48\) (vers \(\overline{F}\)), \(0{,}4\) (de \(F\) vers \(S\)) et \(0{,}6\) (de \(F\) vers \(\overline{S}\)).
1. c) Montrer que \(P(F \cap S) = 0{,}208\).
Ensuite, on suit le chemin \(F\) puis \(S\) sur l'arbre et on multiplie les probabilités rencontrées : \(P(F \cap S) = P(F) \times P_F(S) = 0{,}52 \times 0{,}4 = 0{,}208\).
En conclusion : \(P(F \cap S) = 0{,}208\).
1. d) Probabilité que ce soit une femme sachant qu'elle a suivi le stage.
Alors, on cherche \(P_S(F)\), c'est-à-dire la probabilité « inverse » de celle de l'arbre. Par définition d'une probabilité conditionnelle :
\[P_S(F) = \dfrac{P(F \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}208}{0{,}25} = 0{,}832.\]
En conclusion : \(P_S(F) = 0{,}832\) ; 83,2 % des personnes formées sont des femmes.
Question 1 e
1. e) Moins de 10 % des hommes ont suivi le stage.
La proportion d'hommes ayant suivi le stage est \(P_{\overline{F}}(S)\). La formule des probabilités totales, avec la partition \(\{F\,;\,\overline{F}\}\), donne \(P(S) = P(F \cap S) + P(\overline{F} \cap S)\), donc \(P(\overline{F} \cap S) = 0{,}25 - 0{,}208 = 0{,}042\).
\[P_{\overline{F}}(S) = \dfrac{P(\overline{F} \cap S)}{P(\overline{F})} = \dfrac{0{,}042}{0{,}48} = 0{,}0875.\]
En conclusion : \(P_{\overline{F}}(S) = 0{,}0875 \lt 0{,}1\) : seuls 8,75 % des hommes ont suivi le stage, le directeur a raison.
2. a) Loi de \(X\).
Interroger un salarié est une épreuve de Bernoulli : le succès « il a suivi le stage » a pour probabilité \(p = 0{,}25\). Ensuite, on répète cette épreuve 20 fois, de façon identique et indépendante puisque le choix est assimilé à un tirage avec remise. \(X\) compte le nombre de succès parmi ces 20 répétitions.
En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}25)\).
2. b) \(P(X = 5)\) à \(10^{-3}\) près.
Avec la formule de la loi binomiale : \(P(X = 5) = \dbinom{20}{5} \times 0{,}25^5 \times 0{,}75^{15}\), où \(\dbinom{20}{5} = 15\,504\). La calculatrice donne environ \(0{,}20233\).
En conclusion : \(P(X = 5) \approx 0{,}202\).
2. c) Valeur renvoyée par proba(5) et interprétation.
La variable P part de 0 ; la boucle fait prendre à i les valeurs 0, 1, 2, 3, 4 et 5 (range(0, k+1) s'arrête avant k+1) et ajoute à chaque tour \(P(X = i)\). À la sortie, P contient \(P(X = 0) + P(X = 1) + \dots + P(X = 5)\), c'est-à-dire \(P(X \leqslant 5)\). La calculatrice (fonction de répartition binomiale) donne \(P(X \leqslant 5) \approx 0{,}61717\).
En conclusion : proba(5) renvoie environ \(0{,}617\) : dans un échantillon de 20 salariés, la probabilité qu'au plus 5 d'entre eux aient suivi le stage est d'environ \(0{,}617\).
Question 2 d
2. d) Au moins 6 salariés formés.
L'évènement « \(X \geqslant 6\) » est le contraire de « \(X \leqslant 5\) », d'où \(P(X \geqslant 6) = 1 - P(X \leqslant 5) \approx 1 - 0{,}61717 = 0{,}38283\).
En conclusion : \(P(X \geqslant 6) \approx 0{,}383\).
3. Pourcentage moyen d'augmentation.
Chaque salarié reçoit soit 5 % (25 % de l'effectif), soit 2 % (75 % de l'effectif). La moyenne des pourcentages d'augmentation, pondérée par les effectifs, vaut :
\[0{,}25 \times 5 + 0{,}75 \times 2 = 1{,}25 + 1{,}5 = 2{,}75.\]
Remarque importante : ce nombre est l'augmentation moyenne par salarié. La hausse de la masse salariale totale ne vaut exactement 2,75 % que si le salaire moyen est le même dans les deux groupes ; si les salariés formés gagnent en moyenne plus (ou moins) que les autres, la hausse globale est un peu au-dessus (ou au-dessous) de 2,75 %. C'est le sens « moyenne des pourcentages » qu'attend visiblement la question.
En conclusion : le pourcentage moyen d'augmentation est de 2,75 %.
Corrigé de l’exercice 4 7 points
QCM : asymptote horizontale, primitive de \(u'\text{e}^{u}\), convexité lue sur la courbe de \(f'\), signe d'une dérivée, croissances comparées, équation du second degré en \(\text{e}^x\)
1. Asymptote de \(f(x) = \dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}\).
Le dénominateur \(x^2 + 1\) ne s'annule jamais : aucune asymptote verticale, la réponse a est exclue. En \(+\infty\) ou \(-\infty\), on factorise par \(x^2\) en haut et en bas : \(f(x) = \dfrac{-2 + \frac3x - \frac1{x^2}}{1 + \frac1{x^2}}\), qui tend vers \(\dfrac{-2}{1} = -2\).
Réponse c : la droite d'équation \(y = -2\) est asymptote à la courbe.
2. Primitive de \(x\,\text{e}^{x^2}\) valant 1 en 0.
Avec \(u(x) = x^2\), on a \(u'(x) = 2x\), donc \(f(x) = \dfrac12\,u'(x)\,\text{e}^{u(x)}\). Les primitives de \(u'\text{e}^u\) sont les \(\text{e}^u + c\), donc celles de \(f\) sont les \(x \mapsto \dfrac12\text{e}^{x^2} + c\). La condition \(F(0) = 1\) donne \(\dfrac12 + c = 1\), soit \(c = \dfrac12\).
Contrôle : la réponse b vaut \(\dfrac12\) en 0 et non 1 ; les réponses a et c ont une dérivée différente de \(f\) (par exemple la c vaut 1 en 0 mais sa dérivée est \((6x + 4x^3)\text{e}^{x^2}\)).
Réponse d : \(F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2} + \dfrac12\).
3. Convexité de \(f\) lue sur la courbe de \(f'\).
\(f\) est convexe sur un intervalle où \(f'\) est croissante, concave là où \(f'\) est décroissante. Sur le graphique, \(f'\) monte de \(-4\) (en 0) jusqu'à un maximum atteint vers \(x = 4\), puis diminue en se rapprochant de 0. Elle est donc croissante sur \([0\,;\,2]\) (qui est inclus dans la zone de croissance) : \(f\) y est convexe.
Les autres propositions tombent : \(f'\) n'est ni décroissante sur tout \(]0\,;\,+\infty[\) (a), ni croissante sur tout \(]0\,;\,+\infty[\) ou sur tout \([2\,;\,+\infty[\) (b et d), puisqu'elle décroît après son maximum.
Réponse c : \(f\) est convexe sur \([0\,;\,2]\).
Question 4
4. Sens de variation des primitives de \(3\text{e}^{-x^2} + 2\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F' = f\). Or \(3\text{e}^{-x^2} \gt 0\), donc \(f(x) \gt 2 \gt 0\) pour tout réel \(x\). La dérivée de chaque primitive est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : toutes les primitives sont strictement croissantes. La constante ajoutée décale la courbe verticalement mais ne change pas le sens de variation.
Réponse a : toutes les primitives sont croissantes sur \(\mathbb{R}\).
5. Limite en \(+\infty\) de \(\dfrac{2\ln x}{3x^2+1}\).
C'est une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Pour \(x \gt 0\), on met \(x^2\) en facteur au dénominateur : \(f(x) = \dfrac{2\ln x}{x^2} \times \dfrac{1}{3 + \frac{1}{x^2}}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln x}{x^2}\) tend vers 0 ; le second facteur tend vers \(\dfrac13\). Le produit tend donc vers \(2 \times 0 \times \dfrac13 = 0\).
Réponse d : la limite vaut 0.
6. Nombre de solutions de \(\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 12 = 0\).
Comme \(\text{e}^{2x} = \left(\text{e}^x\right)^2\), on pose \(X = \text{e}^x\), avec \(X \gt 0\). L'équation devient \(X^2 + X - 12 = 0\), de discriminant \(\Delta = 1 + 48 = 49\), donc de racines \(X = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4\) et \(X = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3\).
La racine \(-4\) est impossible car une exponentielle est strictement positive. Il reste \(\text{e}^x = 3\), c'est-à-dire \(x = \ln 3\).
Réponse c : l'équation admet une seule solution, \(x = \ln 3\).
Ce qu’il faut retenir de ce sujet
- Pour étudier le signe d'une dérivée du type \((at+b)\text{e}^{w(t)}\), on écarte l'exponentielle, toujours strictement positive, et on ne regarde que le facteur affine.
- « À la minute près » : on calcule d'abord la durée en heures décimales, puis on convertit la partie décimale en multipliant par 60 ; 2,44 h ne vaut pas 2 h 44 min.
- Dans une inéquation \(q^n \leqslant c\) avec \(0 \lt q \lt 1\), le passage au logarithme fait diviser par \(\ln q \lt 0\) : il faut renverser l'inégalité, puis bien compter les injections en incluant celle du rang 0.
- Le projeté orthogonal d'un point sur une droite s'obtient soit en coupant la droite par le plan orthogonal passant par ce point, soit avec \(k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\|\overrightarrow{u}\|^2}\) ; la distance BH sert ensuite de hauteur dans le tétraèdre.
- Ne confonds pas \(P_F(S)\), lue sur l'arbre, avec \(P_S(F)\), qui demande la formule \(\dfrac{P(F \cap S)}{P(S)}\) ; et « au moins 6 » se calcule par \(1 - P(X \leqslant 5)\).
- Pour la convexité, lis les variations de la courbe de \(f'\) (et non son signe, qui renseigne sur les variations de \(f\)).
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Ce que contient le corrigé du bac 2022, France, jour 1
Ce corrigé du bac 2022, France, jour 1 du 11 mai 2022 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (7 points) aborde : dérivée d'un produit avec exponentielle, tableau de variations, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (7 points) porte sur : représentation paramétrique d'une droite, produit scalaire, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal sur une droite, distance, volume d'un tétraèdre. Puis, la correction de l'exercice 3 (7 points) porte sur : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle (Bayes), loi binomiale, fonction de répartition en Python, moyenne pondérée. Enfin, la correction de l'exercice 4 (7 points) traite : qCM : asymptote horizontale, primitive de, convexité lue sur la courbe de, signe d'une dérivée, croissances comparées, équation du second degré en.
Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.
Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2022, France, jour 1
Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.
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