Corrigé du bac de maths 2024 : Centres étrangers, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2024, Centres étrangers, jour 2) 5 points

Dénombrement (listes, arrangements), loi uniforme, espérance, linéarité de l'espérance

1. Nombre de tirages possibles.

Un tirage est une liste ordonnée de trois numéros pris parmi 8. Comme le jeton est remis après chaque pioche, chacun des trois numéros peut prendre les 8 valeurs, indépendamment des autres. Par le principe multiplicatif, on obtient \(8 \times 8 \times 8 = 8^3\) tirages : ce sont les 3-uplets d'un ensemble à 8 éléments.

En conclusion : il y a \(8^3 = 512\) tirages possibles.

2. a) Tirages sans répétition.

Ensuite, on veut trois numéros deux à deux distincts. Alors, on a 8 possibilités pour le premier numéro, puis 7 pour le deuxième (il doit différer du premier), puis 6 pour le troisième (il doit différer des deux précédents). Il s'agit du nombre d'arrangements de 3 éléments parmi 8 : \(\dfrac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6\).

En conclusion : il y a \(336\) tirages sans répétition de numéro.

2. b) Tirages avec au moins une répétition.

« Contenir au moins une répétition » est le contraire de « n'avoir aucune répétition ». Les 512 tirages se répartissent donc entre ces deux catégories, qui ne se chevauchent pas. Ensuite, on passe par le complémentaire : \(512 - 336 = 176\).

Contrôle : il y a 8 tirages formés de trois numéros identiques, et \(8 \times 3 \times 7 = 168\) tirages formés exactement d'une paire (numéro doublé, place de l'intrus, valeur de l'intrus) ; on retrouve bien \(8 + 168 = 176\).

En conclusion : \(176\) tirages contiennent au moins une répétition.

Question 3

3. Loi de probabilité de \(X_1\).

Les jetons sont indiscernables au toucher : chacun des huit jetons a la même chance d'être pioché. \(X_1\) prend donc les valeurs entières de 1 à 8, chacune avec la probabilité \(\dfrac{1}{8}\) : \(X_1\) suit la loi uniforme sur \(\{1~;~2~;~\dots~;~8\}\).

En conclusion : pour tout entier \(k\) de 1 à 8, \(P(X_1 = k) = \dfrac{1}{8}\).

4. Espérance de \(X_1\).

Par définition, \(E(X_1) = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} k \times \frac{1}{8} = \frac{1}{8}(1 + 2 + \dots + 8)\). La somme des entiers de 1 à 8 vaut \(\dfrac{8 \times 9}{2} = 36\), donc \(E(X_1) = \dfrac{36}{8}\).

En conclusion : \(E(X_1) = 4{,}5\).

5. Espérance de \(S\).

L'espérance est linéaire : l'espérance d'une somme de variables aléatoires est la somme de leurs espérances (cette propriété ne demande même pas l'indépendance). Comme \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) ont la même loi, elles ont la même espérance 4,5 : \(E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3 \times 4{,}5\).

En conclusion : \(E(S) = 13{,}5\).

6. Calcul de \(P(S = 24)\).

Chaque numéro vaut au plus 8, donc \(S \leqslant 24\) et l'égalité \(S = 24\) impose \(X_1 = X_2 = X_3 = 8\). Par indépendance des trois variables : \(P(S = 24) = P(X_1 = 8) \times P(X_2 = 8) \times P(X_3 = 8) = \left(\dfrac{1}{8}\right)^3\). Par ailleurs, on peut aussi dire que seul le tirage \((8~;~8~;~8)\) convient parmi 512 tirages équiprobables.

En conclusion : \(P(S = 24) = \dfrac{1}{512}\).

Question 7 a

7. a) Il y a exactement 10 tirages gagnants.

Gagner signifie \(S \in \{22~;~23~;~24\}\). Écrivons \(S = 24 - d\), où \(d\) est le « déficit » total par rapport à trois 8 : chaque jeton contribue un déficit \(8 - X_i \geqslant 0\), et on cherche les tirages de déficit total 0, 1 ou 2.

Déficit 0 : les trois numéros valent 8, soit le seul tirage \((8~;~8~;~8)\), donc 1 tirage.

Déficit 1 : un seul jeton vaut 7, les deux autres 8. Le 7 peut être en première, deuxième ou troisième position : \((7~;~8~;~8)\), \((8~;~7~;~8)\), \((8~;~8~;~7)\), soit 3 tirages.

Déficit 2 : soit un jeton vaut 6 et les deux autres 8 (3 positions pour le 6 : \((6~;~8~;~8)\), \((8~;~6~;~8)\), \((8~;~8~;~6)\)), soit deux jetons valent 7 et le troisième 8 (3 positions pour le 8 : \((8~;~7~;~7)\), \((7~;~8~;~7)\), \((7~;~7~;~8)\)), soit 6 tirages.

En conclusion : \(1 + 3 + 6 = 10\) tirages permettent de gagner un lot.

7. b) Probabilité de gagner un lot.

Les 512 tirages sont équiprobables (jetons indiscernables, tirages avec remise). La probabilité de gagner est donc le quotient du nombre de tirages favorables par le nombre total de tirages : \(\dfrac{10}{512} = \dfrac{5}{256}\).

En conclusion : \(P(S \geqslant 22) = \dfrac{5}{256} \approx 0{,}0195\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2024, Centres étrangers, jour 2) 6 points

Fonction exponentielle, limites et asymptotes, dérivée d'un quotient, convexité, tangente, théorème des valeurs intermédiaires

1. a) Limite de \(f\) en 1.

Le numérateur tend vers \(\text{e}^1 = \text{e}\), nombre strictement positif, car la fonction exponentielle est continue. Le dénominateur \(x - 1\) tend vers 0 et, puisque \(x \lt 1\) sur l'intervalle d'étude, il reste strictement négatif : il tend vers \(0^-\). Un quotient dont le numérateur tend vers un réel strictement positif et le dénominateur vers \(0^-\) tend vers \(-\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\).

1. b) Interprétation graphique.

Une limite infinie en un réel fini traduit l'existence d'une asymptote verticale.

En conclusion : la droite d'équation \(x = 1\) est asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}\).

2. Limite de \(f\) en \(-\infty\).

Alors, on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x - 1) = -\infty\). Un numérateur qui tend vers 0 divisé par un dénominateur dont la valeur absolue devient infinie donne un quotient qui tend vers 0 (ce n'est pas une forme indéterminée). Graphiquement, l'axe des abscisses (droite d'équation \(y = 0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\).

3. a) Calcul de \(f'(x)\).

Par ailleurs, on écrit \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \text{e}^x\), \(u'(x) = \text{e}^x\), \(v(x) = x - 1\), \(v'(x) = 1\), et \(v\) ne s'annule pas sur \(]-\infty~;~1[\). La formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) donne :

\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^x (x - 1) - \text{e}^x \times 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{\text{e}^x (x - 1 - 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 2)\text{e}^x}{(x - 1)^2}.\]

En conclusion : pour tout \(x \lt 1\), \(f'(x) = \dfrac{(x - 2)\text{e}^x}{(x - 1)^2}\).

Question 3 b

3. b) Tableau de variations de \(f\).

Sur \(]-\infty~;~1[\), \(\text{e}^x \gt 0\) et \((x - 1)^2 \gt 0\) : \(f'(x)\) a le signe de \(x - 2\). Or \(x \lt 1 \lt 2\), donc \(x - 2 \lt 0\). La dérivée est strictement négative sur tout l'intervalle, et \(f\) y est strictement décroissante. Les limites aux bornes viennent des questions 1. a) et 2.

En conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty~;~1[\), de la limite 0 en \(-\infty\) à la limite \(-\infty\) en 1.

4. a) Convexité de \(f\).

Ensuite, on étudie le signe de \(f''(x) = \dfrac{\left(x^2 - 4x + 5\right)\text{e}^x}{(x - 1)^3}\). Le trinôme se met sous forme canonique : \(x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \geqslant 1\), il est donc toujours strictement positif (son discriminant \(16 - 20 = -4\) est négatif). L'exponentielle est strictement positive. Enfin, pour \(x \lt 1\), \(x - 1 \lt 0\) donc son cube \((x - 1)^3\) est strictement négatif. Ainsi \(f''(x) \lt 0\) sur tout l'intervalle.

En conclusion : \(f''\) est strictement négative, donc \(f\) est concave sur \(]-\infty~;~1[\).

4. b) Équation réduite de la tangente \(T\) en 0.

La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\). Alors, on calcule \(f(0) = \dfrac{\text{e}^0}{0 - 1} = -1\) et \(f'(0) = \dfrac{(0 - 2)\text{e}^0}{(0 - 1)^2} = -2\).

En conclusion : \(T : y = -2x - 1\).

Question 4 c

4. c) Démontrer que \(\text{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1)\).

Une fonction concave sur un intervalle a sa courbe entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. En particulier, pour tout \(x \lt 1\), \(f(x) \leqslant -2x - 1\), c'est-à-dire \(\dfrac{\text{e}^x}{x - 1} \leqslant -2x - 1\).

Ensuite, on multiplie les deux membres par \(x - 1\), qui est strictement négatif : le sens de l'inégalité s'inverse, et l'on obtient \(\text{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1)\).

En conclusion : pour tout \(x\) de \(]-\infty~;~1[\), \(\text{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1)\).

5. a) Unicité de la solution \(\alpha\) de \(f(x) = -2\).

Ensuite, on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection). La fonction \(f\) est continue sur \(]-\infty~;~1[\) car elle y est dérivable ; elle y est strictement décroissante (question 3. b) ; ses limites aux bornes sont 0 en \(-\infty\) et \(-\infty\) en 1. L'image de l'intervalle est donc \(]-\infty~;~0[\), qui contient \(-2\). Tout réel de cet intervalle image a exactement un antécédent.

En conclusion : l'équation \(f(x) = -2\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]-\infty~;~1[\).

5. b) Encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\).

Comme \(f(0) = -1 \gt -2\) et que \(f\) décroît vers \(-\infty\) en 1, on a \(0 \lt \alpha \lt 1\). Avec le tableau de valeurs de la calculatrice (pas de 0,01) : \(f(0{,}31) \approx -1{,}976\), qui est supérieur à \(-2\), et \(f(0{,}32) \approx -2{,}025\), qui est inférieur à \(-2\). Comme \(f\) est décroissante, \(\alpha\) est compris entre ces deux abscisses.

En conclusion : \(0{,}31 \lt \alpha \lt 0{,}32\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2024, Centres étrangers, jour 2) 5 points

Géométrie dans l'espace : coordonnées, produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'une pyramide

1. Coordonnées de I et J.

Dans le repère \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\), on lit A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1). Les coordonnées d'un milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.

En conclusion : \(\text{I}\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~0\right)\) et \(\text{J}\left(1~;~1~;~\dfrac{1}{2}\right)\).

2. \(\overrightarrow{\text{EJ}}\) est normal au plan (FHI).

Il suffit de montrer que \(\overrightarrow{\text{EJ}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Alors, on a \(\overrightarrow{\text{EJ}}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)\), \(\overrightarrow{\text{FH}}(-1~;~1~;~0)\) et \(\overrightarrow{\text{FI}}\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~-1\right)\). Ces deux derniers vecteurs ne sont pas colinéaires : le premier a une troisième coordonnée nulle, pas le second.

\[\overrightarrow{\text{EJ}} \cdot \overrightarrow{\text{FH}} = 1 \times (-1) + 1 \times 1 + \left(-\tfrac{1}{2}\right) \times 0 = 0\]

\[\overrightarrow{\text{EJ}} \cdot \overrightarrow{\text{FI}} = 1 \times \left(-\tfrac{1}{2}\right) + 1 \times 0 + \left(-\tfrac{1}{2}\right) \times (-1) = 0\]

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{EJ}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{FH}}\) et à \(\overrightarrow{\text{FI}}\), il est donc normal au plan (FHI).

3. Équation cartésienne de (FHI).

Le vecteur \(\vec{n} = -2\,\overrightarrow{\text{EJ}}\), de coordonnées \((-2~;~-2~;~1)\), est lui aussi normal au plan. Le plan admet donc une équation de la forme \(-2x - 2y + z + d = 0\). Le point F(1 ; 0 ; 1) lui appartient : \(-2 - 0 + 1 + d = 0\), d'où \(d = 1\). Vérification avec les autres points : pour H, \(0 - 2 + 1 + 1 = 0\) ; pour I, \(-1 - 0 + 0 + 1 = 0\).

En conclusion : une équation cartésienne de (FHI) est \(-2x - 2y + z + 1 = 0\).

Question 4

4. Représentation paramétrique de (EJ).

La droite (EJ) passe par E(0 ; 0 ; 1) et est dirigée par \(\overrightarrow{\text{EJ}}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)\). Un point \(M(x~;~y~;~z)\) est sur (EJ) si et seulement si \(\overrightarrow{\text{E}M} = t\,\overrightarrow{\text{EJ}}\) pour un réel \(t\).

En conclusion : \((\text{EJ}) : \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - \dfrac{1}{2}t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).

5. a) Coordonnées du projeté orthogonal K de E sur (FHI).

La droite (EJ) passe par E et est dirigée par un vecteur normal au plan (FHI) : c'est la perpendiculaire à (FHI) passant par E. Le point K est donc l'intersection de (EJ) et de (FHI). Puis on injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan :

\[-2t - 2t + \left(1 - \tfrac{1}{2}t\right) + 1 = 0 \iff -\tfrac{9}{2}t + 2 = 0 \iff t = \tfrac{4}{9}.\]

Avec \(t = \dfrac{4}{9}\) : \(x = y = \dfrac{4}{9}\) et \(z = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}\).

En conclusion : \(\text{K}\left(\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{7}{9}\right)\).

5. b) Volume de la pyramide EFHI.

Ensuite, on prend pour base le triangle EFH, situé dans la face supérieure du cube. Il est rectangle en E, avec EF = EH = 1, donc son aire vaut \(\dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2}\) cm². La hauteur associée est la distance de I au plan (EFH), c'est-à-dire la longueur IL puisque L est le projeté orthogonal de I sur ce plan.

L, milieu de [EF], a pour coordonnées \(\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)\). Le vecteur \(\overrightarrow{\text{IL}}\) a pour coordonnées \((0~;~0~;~1)\), donc IL = 1 cm (le segment [IL] est vertical, de même longueur qu'une arête du cube).

\[V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{EFH}} \times \text{IL} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}.\]

En conclusion : le volume de la pyramide EFHI est \(\dfrac{1}{6}\) cm\(^3\).

Question 5 c

5. c) Aire du triangle FHI.

Alors, on calcule le même volume en prenant cette fois FHI comme base. La hauteur correspondante est la distance de E au plan (FHI), c'est-à-dire EK. Donc on a \(\overrightarrow{\text{EK}}\left(\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~-\dfrac{2}{9}\right)\), donc \(\text{EK}^2 = \dfrac{16 + 16 + 4}{81} = \dfrac{36}{81}\) et \(\text{EK} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).

En égalant les deux expressions du volume : \(\dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{FHI}} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\), donc \(\dfrac{2}{9}\mathcal{A}_{\text{FHI}} = \dfrac{1}{6}\) et \(\mathcal{A}_{\text{FHI}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\).

En conclusion : l'aire du triangle FHI est \(\dfrac{3}{4}\) cm², soit 0,75 cm².

Corrigé de l’exercice 4 4 points

Fonction racine carrée, quantité conjuguée, équation du second degré, suite récurrente, raisonnement par récurrence, théorème du point fixe, algorithme de seuil en Python

Partie A

1. \(f\) est croissante sur \([0~;~+\infty[\).

La fonction \(f\) est de la forme \(\sqrt{u}\) avec \(u(x) = x + 1\), strictement positive sur \([0~;~+\infty[\), et \(u'(x) = 1\). La dérivée de \(\sqrt{u}\) est \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), d'où \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}\). Une racine carrée non nulle étant strictement positive, \(f'(x) \gt 0\) pour tout \(x \geqslant 0\).

En conclusion : \(f'\) est strictement positive, donc \(f\) est (strictement) croissante sur \([0~;~+\infty[\).

2. Expression de \(f(x) - x\).

Pour \(x \geqslant 0\), le nombre \(\sqrt{x + 1} + x\) est strictement positif (il vaut au moins 1), on peut donc multiplier et diviser par cette « quantité conjuguée » :

\[f(x) - x = \dfrac{\left(\sqrt{x + 1} - x\right)\left(\sqrt{x + 1} + x\right)}{\sqrt{x + 1} + x} = \dfrac{\left(\sqrt{x + 1}\right)^2 - x^2}{\sqrt{x + 1} + x} = \dfrac{x + 1 - x^2}{\sqrt{x + 1} + x}.\]

En conclusion : pour tout \(x \geqslant 0\), \(f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}\).

3. Unique solution de \(f(x) = x\) sur \([0~;~+\infty[\).

D'après la question 2, \(f(x) = x\) équivaut à \(f(x) - x = 0\), c'est-à-dire, le dénominateur étant non nul, à \(-x^2 + x + 1 = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 5 \gt 0\). Les deux racines sont \(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{-2}\), soit \(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618\) et \(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\).

La première est négative, donc hors de l'intervalle d'étude ; seule la seconde convient.

En conclusion : sur \([0~;~+\infty[\), l'équation \(f(x) = x\) a pour unique solution \(\ell = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (le nombre d'or).

Partie B

1. Démontrer par récurrence que \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\).

Ensuite, on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) ».

Initialisation. Alors, on a \(u_0 = 5\) et \(u_1 = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). Comme \(1 \leqslant \sqrt{6} \leqslant 5\), la propriété \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\). Ces trois nombres sont dans \([0~;~+\infty[\), où \(f\) est croissante (partie A, question 1) : appliquer \(f\) conserve donc l'ordre. Donc on obtient \(f(1) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)\), soit \(\sqrt{2} \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\). Comme \(\sqrt{2} \geqslant 1\), on a \(1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\) : c'est \(\mathcal{P}(n + 1)\).

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\).

2. La suite \((u_n)\) converge.

L'inégalité \(u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\) signifie que la suite est décroissante. L'inégalité \(1 \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\), jointe à \(u_0 = 5 \geqslant 1\), montre qu'elle est minorée par 1. D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

En conclusion : la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(L\) telle que \(1 \leqslant L \leqslant 5\).

Question 3

3. La limite est \(\ell\).

La suite converge vers \(L\) et vérifie \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est continue sur \([0~;~+\infty[\) (elle y est dérivable), intervalle qui contient \(L\). En passant à la limite dans la relation de récurrence : \(u_{n+1}\) tend vers \(L\) et, par continuité, \(f(u_n)\) tend vers \(f(L)\). Par unicité de la limite, \(f(L) = L\) : \(L\) est une solution de \(f(x) = x\) dans \([0~;~+\infty[\). La partie A (question 3) affirme qu'il n'y en a qu'une.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\).

4. a) Valeur renvoyée par seuil(2).

Le programme part de u = 5 (le terme \(u_0\)) et d'un compteur i = 0. Tant que l'écart entre u et \(\ell\) vaut au moins \(10^{-n}\), il remplace u par le terme suivant \(\sqrt{u + 1}\) et augmente le compteur de 1. À tout moment, u contient \(u_i\). La fonction renvoie donc le plus petit indice \(i\) tel que \(|u_i - \ell| \lt 10^{-n}\).

Pour \(n = 2\), on calcule les écarts à la calculatrice :

L'écart est encore supérieur à 0,01 pour \(i = 4\) (environ 0,022) et devient inférieur à 0,01 pour \(i = 5\) (environ 0,0068) : la boucle s'arrête alors.

En conclusion : seuil(2) renvoie 5.

Question 4 b

4. b) Interpréter seuil(4) = 9.

D'après l'analyse du programme, 9 est le plus petit indice \(i\) pour lequel \(|u_i - \ell| \lt 10^{-4}\). Autrement dit, \(u_9\) est le premier terme de la suite qui approche le nombre d'or \(\ell\) à moins de \(10^{-4}\) près ; les termes \(u_0\) à \(u_8\) en sont encore à une distance au moins égale à \(10^{-4}\). Comme la suite est décroissante et converge vers \(\ell\), tous les termes suivants \(u_{10}, u_{11}, \dots\) sont eux aussi à moins de \(10^{-4}\) de \(\ell\) (et au-dessus de \(\ell\)).

En conclusion : à partir du rang 9, les termes \(u_n\) sont des valeurs approchées de \(\ell\) à \(10^{-4}\) près, et \(u_9\) est le premier à l'être.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dénombrer des tirages : avec remise, \(n^k\) listes ; sans répétition, \(n(n-1)\cdots(n-k+1)\) ; « au moins une » se calcule par le complémentaire.
• L'espérance d'une somme est la somme des espérances, même sans indépendance ; l'indépendance sert au calcul de probabilités d'intersections comme \(P(S = 24)\).
• Pour une limite de quotient en une borne, préciser le signe du dénominateur (\(0^-\) ou \(0^+\)) ; multiplier une inégalité par un nombre négatif en change le sens.
• Fonction concave : courbe sous ses tangentes ; c'est l'argument clé pour prouver une inégalité à partir d'une tangente.
• Dans l'espace, un volume calculé avec deux bases différentes permet d'obtenir une aire ou une distance inconnue (ici EK et l'aire de FHI).
• Suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) : récurrence avec la croissance de \(f\), convergence monotone, puis point fixe grâce à la continuité de \(f\).

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Présentation du corrigé du bac 2024, Centres étrangers, jour 2

Ce corrigé du bac 2024, Centres étrangers, jour 2 du 6 juin 2024 explique les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) traite : dénombrement (listes, arrangements), loi uniforme, espérance, linéarité de l'espérance. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) porte sur : fonction exponentielle, limites et asymptotes, dérivée d'un quotient, convexité, tangente, théorème des valeurs intermédiaires. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : coordonnées, produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'une pyramide. Enfin, la correction de l'exercice 4 (4 points) traite : fonction racine carrée, quantité conjuguée, équation du second degré, suite récurrente, raisonnement par récurrence, théorème du point fixe, algorithme de seuil en Python.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2024, Centres étrangers, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé. Pour les limites avec l'exponentielle, pensez aux croissances comparées. Ainsi, les formes indéterminées se lèvent en factorisant par le terme dominant.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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