Corrigé du bac de maths 2024 : France, septembre, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2024, France, septembre, jour 2) 5 points

Géométrie dans l'espace : coordonnées, produit scalaire, vecteur normal, équation de plan, représentation paramétrique, distance à un plan, volume

1. a) Coordonnées de I, J puis N.

Dans le repère \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\), le cube a pour arête 1 et l'on lit : \(\text{A}(0~;~0~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0~;~0)\), \(\text{C}(1~;~1~;~0)\), \(\text{D}(0~;~1~;~0)\), \(\text{E}(0~;~0~;~1)\), \(\text{F}(1~;~0~;~1)\), \(\text{G}(1~;~1~;~1)\), \(\text{H}(0~;~1~;~1)\).

Les coordonnées d'un milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités. Pour I, milieu de [AB] : \(\text{I}\left(\dfrac{0+1}{2}~;~0~;~0\right)\). Pour J, milieu de [CG] : \(\text{J}\left(1~;~1~;~\dfrac{0+1}{2}\right)\). Enfin N est le milieu de [IJ] : \(x_\text{N} = \dfrac{0{,}5+1}{2} = 0{,}75\), \(y_\text{N} = \dfrac{0+1}{2} = 0{,}5\), \(z_\text{N} = \dfrac{0+0{,}5}{2} = 0{,}25\).

En conclusion : \(\text{I}(0{,}5~;~0~;~0)\), \(\text{J}(1~;~1~;~0{,}5)\) et \(\text{N}(0{,}75~;~0{,}5~;~0{,}25)\).

1. b) Coordonnées de \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{NF}}\).

Ensuite, on soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) a pour coordonnées \((1 - 0{,}5~;~1 - 0~;~0{,}5 - 0) = (0{,}5~;~1~;~0{,}5)\) et, avec \(\text{F}(1~;~0~;~1)\), \(\overrightarrow{\text{NF}}\) a pour coordonnées \((1 - 0{,}75~;~0 - 0{,}5~;~1 - 0{,}25) = (0{,}25~;~-0{,}5~;~0{,}75)\).

En conclusion : on retrouve bien \(\overrightarrow{\text{IJ}}(0{,}5~;~1~;~0{,}5)\) et \(\overrightarrow{\text{NF}}(0{,}25~;~-0{,}5~;~0{,}75)\).

1. c) Orthogonalité de \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{NF}}\).

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Ici :

\[\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{NF}} = 0{,}5 \times 0{,}25 + 1 \times (-0{,}5) + 0{,}5 \times 0{,}75 = 0{,}125 - 0{,}5 + 0{,}375 = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{NF}} = 0\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{NF}}\) sont orthogonaux.

Question 1 d

1. d) Aire du triangle FIJ.

Le point N appartient au côté [IJ] et la droite (NF) est perpendiculaire à (IJ) d'après la question précédente : le segment [NF] est donc la hauteur du triangle FIJ issue de F, et [IJ] la base correspondante. Calculons la longueur de la base :

\[\text{IJ} = \sqrt{0{,}5^2 + 1^2 + 0{,}5^2} = \sqrt{1{,}5} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.\]

L'aire d'un triangle vaut la moitié du produit d'une base par la hauteur associée :

\[\mathcal{A}(\text{FIJ}) = \dfrac12 \times \text{IJ} \times \text{NF} = \dfrac12 \times \dfrac{\sqrt{6}}{2} \times \dfrac{\sqrt{14}}{4} = \dfrac{\sqrt{84}}{16} = \dfrac{2\sqrt{21}}{16} = \dfrac{\sqrt{21}}{8},\]

car \(84 = 4 \times 21\), donc \(\sqrt{84} = 2\sqrt{21}\).

En conclusion : l'aire du triangle FIJ est \(\dfrac{\sqrt{21}}{8}\) unité d'aire.

2. a) \(\overrightarrow{u}\) est normal au plan (FIJ).

Un vecteur est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Par ailleurs, on prend \(\overrightarrow{\text{IJ}}(0{,}5~;~1~;~0{,}5)\) et \(\overrightarrow{\text{IF}}(1 - 0{,}5~;~0~;~1) = (0{,}5~;~0~;~1)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de \(\overrightarrow{\text{IF}}\) est nulle alors que celle de \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) ne l'est pas, tandis que leurs premières coordonnées sont égales et non nulles.

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\text{IJ}} = 4 \times 0{,}5 + (-1) \times 1 + (-2) \times 0{,}5 = 2 - 1 - 1 = 0\]

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\text{IF}} = 4 \times 0{,}5 + (-1) \times 0 + (-2) \times 1 = 2 - 0 - 2 = 0\]

En conclusion : \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FIJ), il est donc normal à ce plan.

Question 2 b

2. b) Équation cartésienne de (FIJ).

Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{u}(a~;~b~;~c)\) admet une équation de la forme \(ax + by + cz + d = 0\). Ici le plan (FIJ) a donc une équation du type \(4x - y - 2z + d = 0\). Le point \(\text{F}(1~;~0~;~1)\) lui appartient, donc \(4 \times 1 - 0 - 2 \times 1 + d = 0\), soit \(d = -2\).

Contrôle avec les deux autres points : pour I, \(4 \times 0{,}5 - 0 - 0 - 2 = 0\) ; pour J, \(4 - 1 - 1 - 2 = 0\).

En conclusion : une équation cartésienne du plan (FIJ) est \(4x - y - 2z - 2 = 0\).

2. c) Représentation paramétrique de \(d\).

La droite \(d\) est orthogonale au plan (FIJ) : un vecteur normal de ce plan, par exemple \(\overrightarrow{u}(4~;~-1~;~-2)\), dirige donc \(d\). Elle passe par \(\text{H}(0~;~1~;~1)\). Un point \(M(x~;~y~;~z)\) est sur \(d\) si et seulement s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{\text{H}M} = t\,\overrightarrow{u}\), ce qui s'écrit :

\[\left\{\begin{array}{l} x = 4t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - 2t \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}.\]

En conclusion : \(d\) admet pour représentation paramétrique \(x = 4t\), \(y = 1 - t\), \(z = 1 - 2t\), avec \(t \in \mathbb{R}\).

Question 2 d

2. d) Distance de H au plan (FIJ).

Cette distance est la longueur HK, où K est le projeté orthogonal de H sur le plan (FIJ), c'est-à-dire le point d'intersection de \(d\) avec ce plan. Puis on injecte la représentation paramétrique de \(d\) dans l'équation du plan :

\[4(4t) - (1 - t) - 2(1 - 2t) - 2 = 0 \iff 16t - 1 + t - 2 + 4t - 2 = 0 \iff 21t = 5 \iff t = \dfrac{5}{21}.\]

Le point K correspond donc au paramètre \(t = \dfrac{5}{21}\) et, par construction, \(\overrightarrow{\text{HK}} = \dfrac{5}{21}\,\overrightarrow{u}\). Ainsi, on en déduit directement :

\[\text{HK} = \dfrac{5}{21} \times \|\overrightarrow{u}\| = \dfrac{5}{21} \times \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \dfrac{5\sqrt{21}}{21}.\]

Pour information, \(\text{K}\left(\dfrac{20}{21}~;~\dfrac{16}{21}~;~\dfrac{11}{21}\right)\).

En conclusion : la distance du point H au plan (FIJ) vaut \(\dfrac{5\sqrt{21}}{21}\).

2. e) Volume du tétraèdre HFIJ.

Alors, on choisit comme base le triangle FIJ ; la hauteur associée est la distance de H au plan (FIJ), c'est-à-dire HK.

\[V = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt{21}}{8} \times \dfrac{5\sqrt{21}}{21} = \dfrac{5 \times 21}{3 \times 8 \times 21} = \dfrac{5}{24}.\]

La fraction est irréductible car 5 est premier et ne divise pas 24.

En conclusion : le volume du tétraèdre HFIJ est \(\dfrac{5}{24}\) unité de volume.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2024, France, septembre, jour 2) 5 points

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, suite arithmético-géométrique, récurrence, loi binomiale

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

Par ailleurs, on traduit l'énoncé : \(P(D_1) = \dfrac13\), donc \(P(\overline{D_1}) = \dfrac23\) ; après un pas à droite, \(P_{D_1}(D_2) = \dfrac34\) donc \(P_{D_1}(\overline{D_2}) = \dfrac14\) ; après un pas à gauche, \(P_{\overline{D_1}}(\overline{D_2}) = \dfrac12\) donc \(P_{\overline{D_1}}(D_2) = \dfrac12\). Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1.

• \(D_1\) avec la probabilité \(\dfrac13\)
  • puis \(D_2\) avec la probabilité \(\dfrac34\)
  • puis \(\overline{D_2}\) avec la probabilité \(\dfrac14\)
• \(\overline{D_1}\) avec la probabilité \(\dfrac23\)
  • puis \(D_2\) avec la probabilité \(\dfrac12\)
  • puis \(\overline{D_2}\) avec la probabilité \(\dfrac12\)

En conclusion : branches de premier niveau \(\dfrac13\) et \(\dfrac23\) ; après \(D_1\) : \(\dfrac34\) et \(\dfrac14\) ; après \(\overline{D_1}\) : \(\dfrac12\) et \(\dfrac12\).

2. Probabilité de deux pas à droite.

Ensuite, on cherche \(P(D_1 \cap D_2)\). La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches :

\[P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \times P_{D_1}(D_2) = \dfrac13 \times \dfrac34 = \dfrac{3}{12} = \dfrac14.\]

En conclusion : la probabilité que le robot aille deux fois à droite est \(\dfrac14\).

3. Montrer que \(p_2 = \dfrac{7}{12}\).

Les évènements \(D_1\) et \(\overline{D_1}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\[p_2 = P(D_1 \cap D_2) + P(\overline{D_1} \cap D_2) = \dfrac14 + \dfrac23 \times \dfrac12 = \dfrac14 + \dfrac13 = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}.\]

En conclusion : \(p_2 = \dfrac{7}{12}\).

4. Sachant un pas à gauche au deuxième déplacement, probabilité d'un pas à droite au premier.

Alors, on cherche la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{D_2}}(D_1) = \dfrac{P(D_1 \cap \overline{D_2})}{P(\overline{D_2})}\). D'une part \(P(D_1 \cap \overline{D_2}) = \dfrac13 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{12}\) ; d'autre part \(P(\overline{D_2}) = 1 - p_2 = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}\). Ainsi :

\[P_{\overline{D_2}}(D_1) = \dfrac{1/12}{5/12} = \dfrac15.\]

En conclusion : cette probabilité vaut \(\dfrac15 = 0{,}2\).

Partie B

1. Relation \(p_{n+1} = \dfrac14 p_n + \dfrac12\).

Ensuite, on raisonne sur un arbre à deux niveaux entre les étapes \(n\) et \(n+1\) : \(D_n\) avec la probabilité \(p_n\), suivi de \(D_{n+1}\) avec la probabilité \(\dfrac34\) ; \(\overline{D_n}\) avec la probabilité \(1 - p_n\), suivi de \(D_{n+1}\) avec la probabilité \(1 - \dfrac12 = \dfrac12\). Comme \(D_n\) et \(\overline{D_n}\) forment une partition, la formule des probabilités totales donne :

\[p_{n+1} = P(D_n \cap D_{n+1}) + P(\overline{D_n} \cap D_{n+1}) = \dfrac34 p_n + \dfrac12(1 - p_n) = \dfrac34 p_n - \dfrac12 p_n + \dfrac12 = \dfrac14 p_n + \dfrac12.\]

En conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(p_{n+1} = \dfrac14 p_n + \dfrac12\).

2. a) Récurrence : \(p_n \leqslant p_{n+1} \lt \dfrac23\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(p_n \leqslant p_{n+1} \lt \dfrac23\) ».

Initialisation (\(n = 1\)). Ainsi, on a \(p_1 = \dfrac13 = \dfrac{4}{12}\), \(p_2 = \dfrac{7}{12}\) et \(\dfrac23 = \dfrac{8}{12}\). Comme \(4 \leqslant 7 \lt 8\), la propriété \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geqslant 1\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(p_n \leqslant p_{n+1} \lt \dfrac23\). La fonction \(\varphi : x \mapsto \dfrac14 x + \dfrac12\) est affine de coefficient directeur positif, donc strictement croissante : elle conserve l'ordre. En l'appliquant aux trois membres :

\[\dfrac14 p_n + \dfrac12 \leqslant \dfrac14 p_{n+1} + \dfrac12 \lt \dfrac14 \times \dfrac23 + \dfrac12,\]

c'est-à-dire, avec la relation de la question 1 et \(\dfrac16 + \dfrac12 = \dfrac23\) : \(p_{n+1} \leqslant p_{n+2} \lt \dfrac23\). La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion de la récurrence. \(\mathcal{P}(1)\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier \(n \geqslant 1\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(p_n \leqslant p_{n+1} \lt \dfrac23\).

Question 2 b

2. b) La suite \((p_n)\) converge-t-elle ?

La question précédente montre que \((p_n)\) est croissante et majorée par \(\dfrac23\). D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge.

En conclusion : oui, la suite \((p_n)\) est convergente (vers une limite inférieure ou égale à \(\dfrac23\)).

3. a) Nature de la suite \((u_n)\).

Pour tout \(n \geqslant 1\), on exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) :

\[u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac23 = \dfrac14 p_n + \dfrac12 - \dfrac23 = \dfrac14 p_n - \dfrac16 = \dfrac14\left(p_n - \dfrac23\right) = \dfrac14 u_n.\]

La suite \((u_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac14\) ; son premier terme est \(u_1 = p_1 - \dfrac23 = \dfrac13 - \dfrac23 = -\dfrac13\).

En conclusion : \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac14\) et de premier terme \(u_1 = -\dfrac13\).

3. b) Limite de \((p_n)\) et interprétation.

Pour tout \(n \geqslant 1\), \(u_n = u_1 \times q^{n-1} = -\dfrac13\left(\dfrac14\right)^{n-1}\), donc \(p_n = u_n + \dfrac23 = \dfrac23 - \dfrac13\left(\dfrac14\right)^{n-1}\). Comme \(-1 \lt \dfrac14 \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\left(\dfrac14\right)^{n-1} = 0\), et par opérations sur les limites \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac23\).

Interprétation : après un grand nombre de déplacements, le robot va à droite avec une probabilité proche de \(\dfrac23\) (et à gauche avec une probabilité proche de \(\dfrac13\)), quel que soit le début du trajet.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac23\) : à long terme, environ deux déplacements sur trois se font vers la droite.

Partie C

Probabilité de revenir au point de départ après dix déplacements.

Notons \(X\) le nombre de déplacements vers la droite parmi les dix. Chaque déplacement est une épreuve de Bernoulli de succès « aller à droite », de probabilité \(\dfrac34\), et les dix épreuves sont indépendantes : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\left(10~;~\dfrac34\right)\).

Si le robot fait \(X\) pas à droite et \(10 - X\) pas à gauche, sa position finale est \(X - (10 - X) = 2X - 10\) mètres. Il revient au départ si et seulement si \(2X - 10 = 0\), soit \(X = 5\).

\[P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\dfrac34\right)^5\left(\dfrac14\right)^5 = 252 \times \dfrac{3^5}{4^{10}} = \dfrac{61236}{1048576} \approx 0{,}0584.\]

En conclusion : la probabilité que le robot revienne à son point de départ est environ \(0{,}058\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2024, France, septembre, jour 2) 5 points

Fonction exponentielle, limites et asymptote, dérivées, convexité et point d'inflexion, tangente, primitive et aire, équations différentielles

Partie A

1. Le point \(\text{A}(\ln 5~;~3)\) est sur \(\mathcal{C}_f\).

Il suffit de calculer \(f(\ln 5)\). Comme \(\text{e}^{-\ln 5} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 5}} = \dfrac15\) :

\[f(\ln 5) = \dfrac{6}{1 + 5 \times \dfrac15} = \dfrac{6}{2} = 3.\]

En conclusion : \(f(\ln 5) = 3\), donc le point A appartient à \(\mathcal{C}_f\).

2. Asymptote d'équation \(y = 6\).

Alors, on étudie la limite de \(f\) en \(+\infty\). Donc on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} -x = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{X \to -\infty} \text{e}^{X} = 0\), donc par composition \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\). Il vient \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right) = 1\) et, par quotient, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac61 = 6\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 6\), donc la droite d'équation \(y = 6\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

3. a) Calcul de \(f'(x)\).

Ensuite, on écrit \(f = \dfrac{6}{v}\) avec \(v(x) = 1 + 5\text{e}^{-x}\), qui ne s'annule pas (elle est strictement positive). La dérivée de \(\text{e}^{-x}\) est \(-\text{e}^{-x}\), donc \(v'(x) = -5\text{e}^{-x}\). Avec la formule \(\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}\) :

\[f'(x) = 6 \times \left(-\dfrac{-5\text{e}^{-x}}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^2}\right) = \dfrac{30\text{e}^{-x}}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^2}.\]

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x) = \dfrac{30\text{e}^{-x}}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^2}\).

3. b) Tableau de variations complet de \(f\).

Signe de \(f'\) : pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x} \gt 0\) et le carré \(\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^2\) est strictement positif. Donc \(f'(x) \gt 0\) et \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Limite en \(-\infty\) : par composition, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^{-x} = +\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). La limite en \(+\infty\) vaut 6 (question 2).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), de la limite 0 en \(-\infty\) à la limite 6 en \(+\infty\) (en particulier \(0 \lt f(x) \lt 6\) pour tout \(x\)).

Question 4 a

4. a) Convexité et point d'inflexion.

La convexité se lit sur le signe de \(f''\). Dans \(f''(x) = \dfrac{30\text{e}^{-x}\left(5\text{e}^{-x} - 1\right)}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^3}\), le facteur \(30\text{e}^{-x}\) et le dénominateur (cube d'un nombre strictement positif) sont strictement positifs : \(f''(x)\) a le signe de \(5\text{e}^{-x} - 1\).

Or, la fonction \(\ln\) étant strictement croissante : \(5\text{e}^{-x} - 1 \gt 0 \iff \text{e}^{-x} \gt \dfrac15 \iff -x \gt -\ln 5 \iff x \lt \ln 5\). De même \(5\text{e}^{-x} - 1 = 0 \iff x = \ln 5\).

• Sur \(]-\infty~;~\ln 5]\), \(f'' \geqslant 0\) : \(f\) est convexe.
• Sur \([\ln 5~;~+\infty[\), \(f'' \leqslant 0\) : \(f\) est concave.

La dérivée seconde s'annule en \(\ln 5\) en changeant de signe : la courbe change de convexité en ce point, qui est donc un point d'inflexion. Son ordonnée est \(f(\ln 5) = 3\).

En conclusion : \(f\) est convexe sur \(]-\infty~;~\ln 5]\), concave sur \([\ln 5~;~+\infty[\), et \(\mathcal{C}_f\) admet le point d'inflexion \(\text{A}(\ln 5~;~3)\).

4. b) Justifier \(f(x) \geqslant \dfrac56 x + 1\) sur \(]-\infty~;~\ln 5]\).

Par ailleurs, on reconnaît dans \(y = \dfrac56 x + 1\) une tangente. En effet \(f(0) = \dfrac{6}{1 + 5} = 1\) et \(f'(0) = \dfrac{30}{(1 + 5)^2} = \dfrac{30}{36} = \dfrac56\). La tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 0 a pour équation \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\), soit \(y = \dfrac56 x + 1\).

Sur un intervalle où une fonction est convexe, sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Ici \(f\) est convexe sur \(]-\infty~;~\ln 5]\) et 0 appartient à cet intervalle (car \(\ln 5 \gt 0\)).

En conclusion : sur \(]-\infty~;~\ln 5]\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente en 0, donc \(f(x) \geqslant \dfrac56 x + 1\).

Question 5 a

5. a) Valeur de \(k\) pour que \(F_k\) soit une primitive de \(f\).

Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^x + 5 \gt 0\), donc \(F_k\) est dérivable et, par la formule \((\ln w)' = \dfrac{w'}{w}\) : \(F_k'(x) = k \times \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}\).

Transformons \(f(x)\) en multipliant numérateur et dénominateur par \(\text{e}^x\) : \(f(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)} = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}\).

Ainsi \(F_k' = f\) sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(k\,\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5} = 6\,\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(k = 6\).

En conclusion : \(k = 6\) ; la fonction \(F_6 : x \mapsto 6\ln\left(\text{e}^x + 5\right)\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

5. b) Aire du domaine entre \(\mathcal{C}_f\), les axes et la droite \(x = \ln 5\).

La fonction \(f\) est continue et strictement positive sur \([0~;~\ln 5]\) : l'aire cherchée, en unités d'aire, est l'intégrale de \(f\) sur cet intervalle, que l'on calcule avec la primitive \(F_6\) :

\[\mathcal{A} = \int_0^{\ln 5} f(x)\,\text{d}x = F_6(\ln 5) - F_6(0) = 6\ln(5 + 5) - 6\ln(1 + 5) = 6\ln 10 - 6\ln 6 = 6\ln\left(\dfrac{10}{6}\right) = 6\ln\left(\dfrac53\right).\]

En conclusion : l'aire vaut \(6\ln\left(\dfrac53\right) \approx 3{,}06\) unités d'aire.

Partie B

1. \(f\) est solution de \((E)\).

Posons \(D(x) = 1 + 5\text{e}^{-x}\), de sorte que \(f(x) = \dfrac{6}{D(x)}\). Puis on calcule le second membre de \((E)\) en réduisant au même dénominateur :

\[f(x) - \dfrac16[f(x)]^2 = \dfrac{6}{D(x)} - \dfrac16 \times \dfrac{36}{D(x)^2} = \dfrac{6D(x) - 6}{D(x)^2} = \dfrac{6\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right) - 6}{D(x)^2} = \dfrac{30\text{e}^{-x}}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^2}.\]

Par ailleurs, on retrouve exactement l'expression de \(f'(x)\) obtenue en partie A, question 3. a). De plus \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x) = f(x) - \dfrac16[f(x)]^2\) : \(f\) est solution de \((E)\).

2. Résoudre \(y' = -y + \dfrac16\).

C'est une équation de la forme \(y' = ay + b\) avec \(a = -1\) et \(b = \dfrac16\). Alors, on cherche d'abord une solution constante \(c\) : \(0 = -c + \dfrac16\) donne \(c = \dfrac16\). Les solutions de l'équation homogène \(y' = -y\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\). Les solutions de l'équation complète s'obtiennent en ajoutant la solution constante à ces fonctions.

En conclusion : les solutions sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{-x} + \dfrac16\), où \(C\) est un réel quelconque.

3. a) Si \(h\) est solution de \(y' = -y + \dfrac16\), alors \(g\) est solution de \((E)\).

Comme \(h = \dfrac1g\) avec \(g\) dérivable et ne s'annulant pas, on a \(h' = -\dfrac{g'}{g^2}\). Supposons que pour tout réel \(x\), \(h'(x) = -h(x) + \dfrac16\). En remplaçant :

\[-\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2} = -\dfrac{1}{g(x)} + \dfrac16.\]

Par ailleurs, on multiplie les deux membres par \(-[g(x)]^2\), qui est non nul :

\[g'(x) = g(x) - \dfrac16[g(x)]^2.\]

En conclusion : \(g\), dérivable sur \(\mathbb{R}\), vérifie \(g' = g - \dfrac16 g^2\) : elle est solution de \((E)\).

Question 3 b

3. b) Les fonctions \(g_m\) sont solutions de \((E)\).

Soit \(m \geqslant 0\). Pour tout réel \(x\), \(6m\text{e}^{-x} \geqslant 0\), donc \(1 + 6m\text{e}^{-x} \geqslant 1 \gt 0\) : la fonction \(g_m\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) (quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas) et \(g_m(x) \gt 0\), donc \(g_m\) ne s'annule pas.

Ensuite, on peut alors lui appliquer le résultat de la question 3. a). Son inverse est :

\[h_m(x) = \dfrac{1}{g_m(x)} = \dfrac{1 + 6m\text{e}^{-x}}{6} = m\text{e}^{-x} + \dfrac16.\]

C'est une fonction de la forme \(x \mapsto C\text{e}^{-x} + \dfrac16\) avec \(C = m\) : d'après la question 2, \(h_m\) est solution de \(y' = -y + \dfrac16\). La question 3. a) montre alors que \(g_m\) est solution de \((E)\).

En conclusion : pour tout réel \(m \geqslant 0\), \(g_m\) est solution de \((E)\) (on retrouve \(f\) pour \(m = \dfrac56\)).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2024, France, septembre, jour 2) 5 points

Vrai-faux : algorithme de seuil en Python, somme géométrique, combinaisons, théorème des valeurs intermédiaires, intégration par parties

Affirmation 1. seuil(100) renvoie 18.

Le programme part de \(u = 7\) avec \(n = 0\) ; tant que \(u\) reste strictement inférieur à 100, il augmente le compteur \(n\) de 1 et remplace \(u\) par \(1{,}05u + 3\). Il renvoie donc le rang du premier terme de la suite \(u_0 = 7\), \(u_{n+1} = 1{,}05u_n + 3\) qui atteint ou dépasse 100. Alors, on calcule les termes successifs (valeurs arrondies au centième) :

Pour \(n = 17\), \(u \approx 93{,}57 \lt 100\) : la boucle continue. Pour \(n = 18\), \(u \approx 101{,}24 \geqslant 100\) : la boucle s'arrête et la fonction renvoie 18.

En conclusion : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. \((S_n)\) converge vers \(\dfrac54\).

\(S_n\) est la somme des \(n + 1\) premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(q = \dfrac15 \ne 1\). D'après la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :

\[S_n = \dfrac{1 - \left(\dfrac15\right)^{n+1}}{1 - \dfrac15} = \dfrac54\left(1 - \left(\dfrac15\right)^{n+1}\right).\]

Comme \(0 \lt \dfrac15 \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\left(\dfrac15\right)^{n+1} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac54\).

En conclusion : l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Ensuite, on peut former 870 binômes de délégués.

Un binôme est un ensemble de 2 élèves pris parmi 30, sans ordre : le binôme {Léa, Tom} est le même que {Tom, Léa}. Le nombre de binômes est donc le nombre de combinaisons :

\[\binom{30}{2} = \dfrac{30 \times 29}{2} = 435.\]

Le nombre 870 = 30 × 29 compte les couples ordonnés : il compte chaque binôme deux fois.

En conclusion : on peut former 435 binômes, l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4. \(f(x) = 1\) a une solution unique sur \([1~;~+\infty[\).

La fonction \(f : x \mapsto x(\ln x)^2\) est dérivable sur \([1~;~+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables. Avec \((uv)' = u'v + uv'\) et \(\left((\ln x)^2\right)' = 2 \times \dfrac1x \times \ln x\) :

\[f'(x) = (\ln x)^2 + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = \ln x\,(\ln x + 2).\]

Pour \(x \gt 1\), \(\ln x \gt 0\) et \(\ln x + 2 \gt 0\), donc \(f'(x) \gt 0\) ; \(f'\) ne s'annule qu'en 1. La fonction \(f\) est donc continue et strictement croissante sur \([1~;~+\infty[\). De plus \(f(1) = 1 \times 0^2 = 0\) et, par produit, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x(\ln x)^2 = +\infty\).

Comme \(1 \in [0~;~+\infty[\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction continue strictement monotone) assure que l'équation \(f(x) = 1\) possède une unique solution sur \([1~;~+\infty[\) (elle vaut environ 2,02).

En conclusion : l'affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5. \(\displaystyle\int_0^1 x\text{e}^{-x}\,\text{d}x = \dfrac{\text{e} - 2}{\text{e}}\).

Par ailleurs, on intègre par parties avec \(u(x) = x\), \(v'(x) = \text{e}^{-x}\), d'où \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = -\text{e}^{-x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0~;~1]\).

\[\int_0^1 x\text{e}^{-x}\,\text{d}x = \left[-x\text{e}^{-x}\right]_0^1 - \int_0^1 \left(-\text{e}^{-x}\right)\text{d}x = -\text{e}^{-1} + \left[-\text{e}^{-x}\right]_0^1 = -\text{e}^{-1} - \text{e}^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{2}{\text{e}} = \dfrac{\text{e} - 2}{\text{e}}.\]

Ensuite, on peut aussi le vérifier en dérivant \(G(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}\) : \(G'(x) = -\text{e}^{-x} + (x + 1)\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x}\), et \(G(1) - G(0) = -2\text{e}^{-1} + 1\).

En conclusion : l'affirmation 5 est vraie.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dans l'espace, un produit scalaire nul entre la base et un segment issu du sommet donne directement une hauteur de triangle ; la distance d'un point à un plan s'obtient par le projeté orthogonal, via la droite dirigée par le vecteur normal.
• Pour une suite de probabilités \(p_n\), l'arbre entre les étapes \(n\) et \(n+1\) et la formule des probabilités totales donnent la relation de récurrence ; la suite auxiliaire \(u_n = p_n - \ell\) où \(\ell\) est le point fixe est géométrique.
• « Revenir au point de départ » après 10 pas se traduit par autant de pas à droite qu'à gauche, soit \(X = 5\) pour une loi binomiale.
• Une inégalité du type \(f(x) \geqslant ax + b\) sur un intervalle de convexité cache presque toujours une tangente : cherchez le point où \(f(x_0) = ax_0 + b\) et \(f'(x_0) = a\).
• Le changement de fonction \(h = 1/g\) transforme une équation non linéaire en équation \(y' = ay + b\), que l'on sait résoudre ; n'oubliez pas de vérifier que \(g\) ne s'annule pas.
• Un binôme ne tient pas compte de l'ordre : on compte avec \(\binom{n}{2}\) et non avec \(n(n-1)\).

Revenir à l'énoncé du bac de maths 2024 (France, septembre, jour 2) · Tous les sujets du bac de maths

Ce que contient le corrigé du bac 2024, France, septembre, jour 2

Ce corrigé du bac 2024, France, septembre, jour 2 du 12 septembre 2024 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : coordonnées, produit scalaire, vecteur normal, équation de plan, représentation paramétrique, distance à un plan, volume. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) porte sur : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, suite arithmético-géométrique, récurrence, loi binomiale. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) traite : fonction exponentielle, limites et asymptote, dérivées, convexité et point d'inflexion, tangente, primitive et aire, équations différentielles. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) aborde : vrai-faux : algorithme de seuil en Python, somme géométrique, combinaisons, théorème des valeurs intermédiaires, intégration par parties.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2024, France, septembre, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2024

• Corrigé France, jour 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé Amérique du Nord, jour 1
• Corrigé Amérique du Nord, jour 2
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• Corrigé Centres étrangers, jour 2
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