Corrigé du brevet de maths 2014 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2014 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé septembre 2014
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre 2014 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Courbe distance-temps » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Vrai ou faux » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Probabilités » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Trigonométrie et zone éclairée » (exercice 4). En outre, tu lis la démarche complète pour « Nombres impairs et tableur » (exercice 5).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Croix du bûcheron » (exercice 6). Enfin, le corrigé explique « Voyage à Naples » (exercice 7).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre 2014 sont les pourcentages, la trigonométrie, le théorème de Thalès, le tableur et la moyenne, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2014) : lecture de la courbe de Cédric
1. D’abord, on lit l’ordonnée du point d’abscisse 20 : Cédric a parcouru 10 km au bout de 20 minutes.
2. On part de 30 sur l’axe vertical, on rejoint la courbe horizontalement puis on descend sur l’axe du temps : il a mis 50 minutes pour parcourir les 30 premiers kilomètres.
3. Plus un segment est raide, plus Cédric parcourt de kilomètres par minute, donc plus il va vite. Calculons la vitesse sur chaque partie :
- de 0 à 20 min : 10 km en 20 min, soit 30 km/h ;
- de 20 à 28 min : 8 km en 8 min, soit 60 km/h ;
- de 28 à 66 min : environ 20,5 km en 38 min, soit environ 32 km/h ;
- de 66 à 88 min : environ 4,5 km en 22 min, soit environ 12 km/h.
La partie la plus rapide est la descente, la plus lente est la montée, et les deux parties à une trentaine de km/h sont les portions plates. Le trajet est : portion plate, descente, portion plate, montée.
4. Sur la première partie, Cédric parcourt 10 km en 20 min. Comme 60 min = 3 × 20 min, en une heure il parcourrait \(3 \times 10 = 30\) km. Sa vitesse moyenne est de 30 km/h.
Corrigé de l’exercice 2 : quatre affirmations vrai ou faux
Affirmation 1. Le solide est un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés 2 cm et 4 cm, et dont la hauteur (la longueur du prisme) est 7 cm. Aire de la base : \(\dfrac{2 \times 4}{2} = 4\ \text{cm}^2\). Volume : \(4 \times 7 = 28\ \text{cm}^3\). Le nombre 56 correspond au pavé complet de dimensions 2, 4 et 7, qui contient deux fois ce prisme. L’affirmation 1 est fausse : le volume est 28 cm³.
Affirmation 2. En comptant les carreaux : \(\mathrm{KL} = 2\), \(\mathrm{KN} = 7\), \(\mathrm{KM} = 1\), \(\mathrm{KO} = 4\). Les points K, L, N sont alignés, ainsi que K, M, O. Ensuite, on compare \(\dfrac{\mathrm{KL}}{\mathrm{KN}} = \dfrac{2}{7}\) et \(\dfrac{\mathrm{KM}}{\mathrm{KO}} = \dfrac{1}{4}\). Or \(2 \times 4 = 8\) et \(7 \times 1 = 7\), donc ces deux quotients sont différents. Si (ML) et (NO) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces quotients. L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3. Un carré d’aire 36 cm² a un côté de \(\sqrt{36} = 6\) cm. La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côtés 6 cm ; d’après le théorème de Pythagore :
\[d^2 = 6^2 + 6^2 = 72 \quad \text{donc} \quad d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\]
L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4. Chercher les antécédents de 0, c’est résoudre \(3x + 5 = 0\), soit \(3x = -5\), donc \(x = -\dfrac{5}{3}\). Cette équation du premier degré a une unique solution. L’affirmation 4 est vraie : 0 a un seul antécédent, \(-\dfrac{5}{3}\).
Corrigé de l’exercice 3 : probabilités et pourcentage
1. La classe compte \(3 + 15 + 7 + 5 = 30\) élèves, donc 30 fiches, qui ont toutes la même chance d’être ramassées.
a. Il y a 3 filles à lunettes : \(P = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}\). La probabilité est \(\dfrac{1}{10}\), soit 0,1.
b. Il y a \(7 + 5 = 12\) garçons : \(P = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}\). La probabilité est \(\dfrac{2}{5}\), soit 0,4.
2. Dans la classe, \(3 + 7 = 10\) élèves portent des lunettes. En notant \(N\) le nombre d’élèves à lunettes dans le collège : \(\dfrac{12{,}5}{100} \times N = 10\), donc \(N = \dfrac{10 \times 100}{12{,}5} = 80\). Autre façon de voir : 12,5 %, c’est un huitième, donc \(N = 8 \times 10\). 80 élèves portent des lunettes dans le collège.
Corrigé de l’exercice 4 (septembre 2014) : la zone éclairée
1. Dans le triangle HPL rectangle en P, pour l’angle \(\widehat{\mathrm{PHL}}\), le côté opposé est [PL] et le côté adjacent est [HP]. Puis on utilise la tangente :
\[\tan\left(\widehat{\mathrm{PHL}}\right) = \dfrac{\mathrm{PL}}{\mathrm{HP}} \quad \text{donc} \quad \mathrm{PL} = 4 \times \tan(40^\circ) \approx 3{,}356\ \text{m}\]
Au décimètre près, PL ≈ 3,4 m.
2. De même, dans le triangle FCM rectangle en C, pour l’angle \(\widehat{\mathrm{MFC}}\) : côté opposé [CM], côté adjacent [CF].
\[\mathrm{CM} = \mathrm{CF} \times \tan(33^\circ) = 5 \times \tan(33^\circ) \approx 3{,}247\ \text{m}\]
Les points sont dans l’ordre P, M, L, C. Les segments [PL] et [MC] se chevauchent exactement sur [ML], donc \(\mathrm{PL} + \mathrm{MC} = \mathrm{PC} + \mathrm{ML}\) :
\[\mathrm{ML} = \mathrm{PL} + \mathrm{MC} – \mathrm{PC} \approx 3{,}356 + 3{,}247 – 5{,}5 \approx 1{,}103\]
La zone éclairée par les deux sources mesure environ 1,1 m.
3. Si M et L sont confondus, alors \(\mathrm{CM} = \mathrm{CL} = \mathrm{PC} – \mathrm{PL} \approx 5{,}5 – 3{,}356 = 2{,}144\) m. Dans le triangle FCM rectangle en C :
\[\tan\left(\widehat{\mathrm{CFM}}\right) = \dfrac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CF}} \approx \dfrac{2{,}144}{5} \approx 0{,}429 \quad \text{donc} \quad \widehat{\mathrm{CFM}} \approx 23{,}2^\circ\]
(Avec la valeur arrondie PL = 3,4 m, on trouve \(\tan\left(\widehat{\mathrm{CFM}}\right) = 0{,}42\) et un angle d’environ 22,8°, ce qui donne le même arrondi.) L’angle \(\widehat{\mathrm{CFM}}\) mesure environ 23°.
Corrigé de l’exercice 5 : la conjecture de Léa
1. a. \(5 \times 7 + 1 = 35 + 1 = 36\). Tout d’abord, on obtient 36.
b. \(36 = 4 \times 9\), c’est bien un multiple de 4. Oui, Léa a raison pour cet exemple.
2. a. Le nombre impair 17 se trouve en colonne B à la ligne 11 ; le résultat correspondant en colonne E est 324 (en effet \(17 \times 19 + 1 = 324\)). Alors on obtient 324.
b. \(324 = 4 \times 81\), avec 81 entier. 324 est donc un multiple de 4.
c. La cellule D3 doit contenir le produit du nombre impair (B3) par le suivant (C3).
- Formule 1 : elle recalcule ces deux nombres à partir de A3 (\(2x+1\) et \(2x+3\)) et les multiplie : elle convient.
- Formule 2 : elle transforme encore B3 et C3, ce qui donne \((2 \times 1 + 1)(2 \times 3 + 3) = 27\) au lieu de 3 : elle ne convient pas.
- De même, formule 3 : elle multiplie directement B3 par C3 : elle convient.
- Formule 4 : elle utilise D3, la cellule où on l’écrit (référence circulaire) : elle ne convient pas.
Les formules 1 et 3 conviennent.
3. a. Ensuite, on développe avec la double distributivité :
\[(2x+1)(2x+3) + 1 = 4x^2 + 6x + 2x + 3 + 1 = 4x^2 + 8x + 4\]
L’expression réduite est \(4x^2 + 8x + 4\).
b. Puis on factorise par 4 : \(4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1) = 4(x+1)^2\). Quand \(x\) est un entier, \((x+1)^2\) est aussi un entier, donc le résultat est 4 fois un entier. Le résultat est toujours un multiple de 4 : Léa avait raison. Ensuite, on voit même que c’est toujours 4 fois un carré (4, 16, 36, 64… comme dans le tableau).
Corrigé de l’exercice 6 : la croix du bûcheron
1. Appelons G le point de l’arbre situé à la hauteur de l’œil, c’est-à-dire l’endroit où la droite horizontale (OF) rencontre (AB). La distance de O à l’arbre est \(\mathrm{OG} = \mathrm{BC} = 7{,}7\ \text{m} = 770\) cm. Les droites (DE) et (AB) sont toutes deux verticales, donc parallèles ; O, D, A sont alignés et O, E, B aussi, et O, F, G sont alignés. D’après le théorème de Thalès, les longueurs du triangle OAB sont celles du triangle ODE multipliées par \(\dfrac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OF}}\) :
\[k = \dfrac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OF}} = \dfrac{770}{35} = 22\]
Le coefficient d’agrandissement est bien 22.
2. La hauteur AB de l’arbre correspond au côté DE agrandi 22 fois : \(\mathrm{AB} = 22 \times 20 = 440\) cm. L’arbre mesure 4,4 m.
3. Si DE = OF, le coefficient d’agrandissement vaut \(\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OF}}\) et la hauteur de l’arbre vaut \(\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OF}} \times \mathrm{DE} = \mathrm{BC}\). Avec ce type de croix, la hauteur de l’arbre est égale à la distance BC mesurée au sol : aucun calcul n’est nécessaire.
4. En assimilant la section du tronc à un cercle, sa circonférence vaut \(\pi \times d\), donc :
\[d = \dfrac{138}{\pi} \approx 43{,}93\ \text{cm}\]
Le diamètre de l’arbre est d’environ 44 cm.
Corrigé de l’exercice 7 : le voyage à Naples
1. Le couple, c’est deux personnes. Pour chacune, le billet depuis Nantes coûte \(530 – 350 = 180\) € de plus que depuis Paris. Pour deux : \(2 \times 180 = 360\) €, ou encore \(2 \times 530 – 2 \times 350 = 1\,060 – 700 = 360\). La différence est bien de 360 € pour le couple.
2. a. L’avion décolle de Paris à 11 h 55, et il faut être présent 2 h avant, donc à 9 h 55 au plus tard. Le trajet en voiture dure 4 h 24 min : 9 h 55 − 4 h 24 min = 5 h 31. Le couple doit partir de Nantes avant 5 h 31.
b. La voiture consomme 6 L pour 100 km ; pour 409 km : \(\dfrac{409 \times 6}{100} = 24{,}54\) L. Coût : \(24{,}54 \times 1{,}30 = 31{,}902\) €. Le carburant de l’aller coûte bien environ 31,90 €.
3. Comparons les trois organisations pour le couple, en allers et retours.
- Avion depuis Nantes : \(2 \times 530 = 1\,060\) €.
- Train jusqu’à Paris puis avion : billets d’avion \(2 \times 350 = 700\) €, train aller \(2 \times 51 = 102\) €, train retour \(2 \times 42 = 84\) €, soit \(700 + 102 + 84 = 886\) €. Les horaires conviennent : le train part à 6 h 22 et arrive à 9 h 38, avant 9 h 55 ; au retour, l’avion atterrit à 15 h 30 et le train part à 18 h 20.
- Voiture jusqu’à Paris puis avion : billets 700 €, péage aller et retour \(2 \times 35{,}90 = 71{,}80\) €, carburant aller et retour \(2 \times 31{,}90 = 63{,}80\) €, parking 58 €, soit \(700 + 71{,}80 + 63{,}80 + 58 = 893{,}60\) €. Ici le péage, le carburant et le parking sont payés une seule fois pour les deux passagers.
Comme \(886 \lt 893{,}60 \lt 1\,060\), l’organisation la plus économique est de prendre le train jusqu’à l’aéroport de Paris puis l’avion depuis Paris (886 €).
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Comment utiliser le corrigé corrigé septembre 2014
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Dans les questions sur les pourcentages, traduis une hausse de t % par une multiplication par 1 + t/100, donc une baisse par 1 − t/100. Pour la trigonométrie, choisis le rapport (cosinus, sinus ou tangente) qui relie le côté connu et le côté cherché, puis contrôle que ta calculatrice est en degrés. En ce qui concerne le théorème de Thalès, écris les points alignés dans le même ordre, puis vérifie que les droites sont bien parallèles avant de poser les rapports. Au besoin, la définition de la notion de pourcentage sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé septembre 2014 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre 2014
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2014 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2014. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les pourcentages, la trigonométrie, le théorème de Thalès et le tableur. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre 2014
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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