Corrigé du brevet de maths 2020 : Centres étrangers, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2020 : Centres étrangers, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé étrangers 2020
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé étrangers 2020 est découpé en 5 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Sept questions indépendantes » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Boules de pétanque et statistiques » (exercice 2). Puis la correction reprend « Programme de calcul et fonction » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Téléphérique de Grenoble » (exercice 4). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Triangles équilatéraux en Scratch » (exercice 5).
Ainsi, le corrigé corrigé étrangers 2020 te fait revoir les fractions, le théorème de Pythagore, les probabilités, la médiane et les statistiques et les équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2020) : sept questions indépendantes
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction. Puis on calcule d’abord le produit : \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{24}\). Puis on met au même dénominateur 24 :
\[\dfrac{7}{8} – \dfrac{5}{24} = \dfrac{21}{24} – \dfrac{5}{24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{2}{3}\]
Le résultat sous forme irréductible est \(\dfrac{2}{3}\) (2 et 3 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1).
2. Le plus grand diviseur commun s’obtient en gardant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant. De même, le facteur 2 apparaît une fois dans 342 et deux fois dans 380 : on garde \(2^1\). Le facteur 19 est commun. Les facteurs 3 et 5 ne sont pas communs. D’où :
\[2 \times 19 = 38\]
Vérification : \(342 = 38 \times 9\) et \(380 = 38 \times 10\), et 9 et 10 n’ont plus de diviseur commun. De plus, le plus grand entier qui divise 342 et 380 est 38.
3. Écrivons les deux longueurs avec la même puissance de 10 : \(0{,}9 \times 10^{-5} = 0{,}9 \times 1\,000 \times 10^{-8} = 900 \times 10^{-8}\) m. On compare alors 11 et 900 : comme \(11 \lt 900\), on a \(11 \times 10^{-8}\ \text{m} \lt 0{,}9 \times 10^{-5}\ \text{m}\).
En écriture décimale : \(11 \times 10^{-8} = 0{,}000\,000\,11\) m et \(0{,}9 \times 10^{-5} = 0{,}000\,009\) m, ce qui confirme la comparaison.
4. Le rayon est la moitié du diamètre : \(r = 6 \div 2 = 3\) cm. Donc :
\[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113{,}1\ \text{cm}^3\]
Le volume de la boule est d’environ 113 cm³ au cm³ près.
5. Si le triangle était rectangle, l’hypoténuse serait le plus long côté, 6,4 cm. Ensuite, on compare le carré de ce côté à la somme des carrés des deux autres :
Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2020) : sept questions (suite)
\[6{,}4^2 = 40{,}96 \qquad 3{,}9^2 + 5{,}2^2 = 15{,}21 + 27{,}04 = 42{,}25\]
Comme \(40{,}96 \neq 42{,}25\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n’est pas rectangle.
6. Chaque boule a la même chance d’être tirée. Si l’urne contient \(n\) boules jaunes, la probabilité de tirer une boule jaune vaut \(\dfrac{n}{20}\). On veut \(\dfrac{n}{20} = \dfrac{1}{5}\), donc \(n = 20 \times \dfrac{1}{5} = 4\). Ensuite, l’urne contient 4 boules jaunes.
7. La roue compte 12 secteurs équiprobables. Les secteurs gris portent 2, 5, 8, 13, 15 et 23. Parmi eux, les nombres premiers sont 2, 5, 13 et 23 (8 = 2 × 4 et 15 = 3 × 5 ne le sont pas). Il y a donc 4 cas favorables sur 12 :
\[P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\]
La probabilité cherchée est \(\dfrac{1}{3}\).
Corrigé de l’exercice 2 : les boules de pétanque
1. L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Ici, 12 mm = 1,2 cm et le plus grand diamètre est 8,2 cm. Par ailleurs, le plus petit diamètre vaut donc \(8{,}2 – 1{,}2 = 7\) cm. Or tous les diamètres connus du tableau sont au moins égaux à 7,05 cm : la seule boule qui peut avoir ce diamètre de 7 cm est celle dont le diamètre manque, celle de 620 g. Son diamètre est bien 7 cm.
2. a. L’effectif total est \(1+2+4+5+2+3+4+1+1+2+2+2+1 = 30\) boules (10 joueurs avec 3 boules chacun). La moyenne pondérée est la somme des produits masse × effectif divisée par 30 :
\[620 \times 1 + 626 \times 2 + 633 \times 4 + 655 \times 5 + 678 \times 2 + 725 \times 3 + 758 \times 4 + 767 + 775 + 790 \times 2 + 800 \times 2 + 805 \times 2 + 813 = 21\,387\]
\[\text{moyenne} = \dfrac{21\,387}{30} = 712{,}9\ \text{g}\]
La masse moyenne vaut 712,9 g, qui est bien supérieure à 626 g.
b. Les masses sont rangées dans l’ordre croissant. Avec 30 valeurs (effectif pair), la médiane est la moyenne de la 15e et de la 16e valeur. Cumulons les effectifs : 620 g (1 boule), jusqu’à 626 g (3), jusqu’à 633 g (7), jusqu’à 655 g (12), jusqu’à 678 g (14), jusqu’à 725 g (17). Les 15e et 16e boules pèsent toutes les deux 725 g. Puis la masse médiane est 725 g.
Corrigé de l’exercice 2 : les boules de pétanque (suite)
3. Toutes les boules sont en acier, donc en métal. Puis on repère celles qui ne respectent pas une des deux autres conditions, sans les compter deux fois.
Diamètre hors de l’intervalle de 7,05 cm à 8 cm : la boule de 7 cm (1 boule), les boules de 8,1 cm (2 boules) et de 8,2 cm (2 + 1 = 3 boules). Cela fait 6 boules.
Masse hors de l’intervalle de 650 g à 800 g : la boule de 620 g (déjà comptée), les boules de 626 g (2) et de 633 g (4), soit 6 nouvelles boules ; les boules de 805 g et 813 g sont déjà comptées avec leur diamètre, et 800 g est accepté puisque c’est le maximum autorisé.
Au total, \(6 + 6 = 12\) boules seraient refusées sur 30. Un tiers de 30 vaut 10, et \(12 \geqslant 10\) (autrement dit \(\dfrac{12}{30} = 0{,}4\) et \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\)). Oui, au moins un tiers des boules ne serait pas accepté en compétition officielle.
Corrigé de l’exercice 3 : programme de calcul et fonction
1. a. D’abord, on part de 3. Alors on ajoute 2 : \(3 + 2 = 5\). On met au carré : \(5^2 = 25\). Ensuite, on enlève 9 : \(25 – 9 = 16\). On obtient bien 16.
b. Ensuite, on part de \(-6\). On ajoute 2 : \(-6 + 2 = -4\). Puis on met au carré : \((-4)^2 = 16\) (le carré d’un nombre négatif est positif). Puis on enlève 9 : \(16 – 9 = 7\). Le résultat est 7.
2. En appliquant les étapes à \(x\) : \(x \to x + 2 \to (x+2)^2 \to (x+2)^2 – 9\). Le résultat est \((x+2)^2 – 9\). Attention aux parenthèses : c’est toute la somme \(x + 2\) qui est mise au carré.
3. a. Ensuite, on remarque que \(9 = 3^2\). De plus, L’expression est donc de la forme \(a^2 – b^2\) avec \(a = x + 2\) et \(b = 3\), et on utilise l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) :
\[(x+2)^2 – 3^2 = \big((x+2) + 3\big)\big((x+2) – 3\big) = (x+5)(x-1)\]
Le résultat s’écrit bien \((x+5)(x-1)\).
b. Puis on résout \((x+5)(x-1) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x + 5 = 0\), soit \(x = -5\), ou \(x – 1 = 0\), soit \(x = 1\). Il faut choisir \(-5\) ou \(1\).
c. Essayons \(x = 0\) : \((0 + 5)(0 – 1) = 5 \times (-1) = -5\), qui est négatif. \(x = 0\) convient. (Plus généralement, tout nombre strictement compris entre \(-5\) et \(1\) donne un produit d’un facteur positif et d’un facteur négatif, donc un résultat négatif.)
4. Alors on développe avec l’identité \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :
\[(x+2)^2 – 9 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 – 9 = x^2 + 4x + 4 – 9 = x^2 + 4x – 5\]
Ensuite, on obtient bien \(x^2 + 4x – 5\). Ensuite, on peut aussi développer \((x+5)(x-1) = x^2 – x + 5x – 5 = x^2 + 4x – 5\), ce qui confirme.
5. a. Une fonction affine s’écrit \(f(x) = ax + b\). Ici l’expression contient un terme en \(x^2\) : \(f\) n’est pas une fonction affine. Tu peux aussi le voir avec les valeurs : \(f(0) = -5\), \(f(1) = 0\), \(f(2) = 7\) ; les accroissements (5 puis 7) ne sont pas constants.
b. Puis on cherche les nombres \(x\) tels que \(f(x) = -5\) :
\[x^2 + 4x – 5 = -5 \quad \text{donc} \quad x^2 + 4x = 0 \quad \text{donc} \quad x(x + 4) = 0\]
Produit nul : \(x = 0\) ou \(x + 4 = 0\), c’est-à-dire \(x = -4\). Vérification : \(f(-4) = 16 – 16 – 5 = -5\). Les antécédents de \(-5\) par \(f\) sont 0 et \(-4\).
Corrigé de l’exercice 4 : le téléphérique de Grenoble
1. Le dénivelé est la différence entre l’altitude d’arrivée et l’altitude de départ :
\[AH = 475 – 213 = 262\ \text{m}\]
Ensuite, on a bien AH = 262 m.
2. Le triangle ADH est rectangle en H. Puis on connaît l’hypoténuse AD = 673 m et le côté AH = 262 m, opposé à l’angle \(\widehat{ADH}\). Par ailleurs, on utilise donc le sinus :
\[\sin \widehat{ADH} = \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{262}{673}\]
À la calculatrice (touche \(\sin^{-1}\) ou arcsin), \(\widehat{ADH} \approx 22{,}9°\) au dixième de degré près.
3. Il faut d’abord la distance horizontale DH. Dans le triangle ADH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :
\[DH^2 = AD^2 – AH^2 = 673^2 – 262^2 = 452\,929 – 68\,644 = 384\,285\]
\[DH = \sqrt{384\,285} \approx 619{,}9\ \text{m}\]
La pente vaut alors \(\dfrac{AH}{DH} \approx \dfrac{262}{619{,}9} \approx 0{,}423\), soit environ 42 %. Autre façon : la pente est aussi \(\tan \widehat{ADH} \approx \tan 22{,}9° \approx 0{,}42\). Comme 42 % est inférieur à 50 %, non, la pente n’est pas supérieure à 50 %.
4. a. La cabine parcourt 673 m en 4 min, c’est-à-dire \(4 \times 60 = 240\) s :
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{673}{240} \approx 2{,}80\ \text{m/s}\]
La vitesse est bien d’environ 2,8 m/s.
b. De même, la vitesse est constante et le câble est rectiligne, donc la hauteur gagnée est proportionnelle à la durée. En 3 minutes, le point d’attache a effectué \(\dfrac{3}{4}\) du trajet, donc il a gagné \(\dfrac{3}{4}\) du dénivelé :
\[\dfrac{3}{4} \times 262 = 196{,}5\ \text{m}\]
Son altitude est alors \(213 + 196{,}5 = 409{,}5\) m. Puis le point d’attache se trouve à 409,5 m d’altitude.
5. Les deux parents paient le plein tarif : \(2 \times 5{,}60 = 11{,}20\) €. Il reste \(30{,}20 – 11{,}20 = 19\) € pour les cinq enfants. Notons \(n\) le nombre d’enfants de moins de 15 ans ; les \(5 – n\) autres ont entre 15 et 18 ans.
Corrigé de l’exercice 4 : le téléphérique de Grenoble (suite)
\[3{,}20n + 4{,}20(5 – n) = 19 \quad \text{soit} \quad 3{,}20n + 21 – 4{,}20n = 19 \quad \text{soit} \quad 21 – n = 19\]
Donc \(n = 2\). Vérification : \(2 \times 3{,}20 + 3 \times 4{,}20 = 6{,}40 + 12{,}60 = 19\) €. La famille Dupond compte 2 enfants de moins de 15 ans (et 3 enfants de 15 à 18 ans).
Corrigé de l’exercice 5 : triangles équilatéraux en Scratch
1. a. Chaque passage dans la boucle « répéter » trace un triangle. Sur la figure 1, on compte le grand triangle et cinq triangles plus petits à l’intérieur, soit 6 triangles. Le nombre effacé est 6.
b. Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin avance, puis tourne de l’angle extérieur. Chaque angle intérieur mesure 60°, donc le lutin doit tourner de \(180° – 60° = 120°\). Sur les 3 répétitions, il fait \(3 \times 120° = 360°\), un tour complet, et revient à sa direction de départ. Le nombre effacé est 120.
2. Le premier triangle a des côtés de 125 pixels. Après l’avoir tracé, le programme multiplie la variable côté par k = 0,8 : \(125 \times 0{,}8 = 100\). Le deuxième triangle a donc des côtés de 100 pixels.
3. Affirmation 1 : diminuer une longueur de 20 % revient à la multiplier par \(1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8\). C’est exactement ce que fait le programme (multiplication par k = 0,8). Exemple : de 125 à 100, la baisse est de 25, et \(\dfrac{25}{125} = 0{,}2 = 20\ \%\). L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : quand les longueurs d’une figure sont multipliées par \(k\), son aire est multipliée par \(k^2\). Ici \(k^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64\). L’affirmation 2 est vraie.
4. a. Tous les triangles commencent au point de coordonnées (0 ; 0), avec la même orientation : ils ont ce sommet en commun (en bas à gauche) et leurs côtés sont parallèles. On passe d’un triangle au suivant par une homothétie de centre ce sommet commun et de rapport 0,8 (c’est une réduction).
Corrigé de l’exercice 5 : triangles équilatéraux en Scratch (suite)
b. Pour obtenir un agrandissement, il faut multiplier les longueurs par un nombre plus grand que 1. Par exemple k = 1,2 : les côtés passeraient de 125 à 150 pixels, puis 180, et ainsi de suite. Toute valeur de k strictement supérieure à 1 convient.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé étrangers 2020
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Pour les probabilités, compte les issues favorables et le nombre total d’issues, puis vérifie que ta probabilité reste comprise entre 0 et 1. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé étrangers 2020, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé étrangers 2020
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2020 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2020. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, le théorème de Pythagore, les probabilités et la médiane et les statistiques. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé étrangers 2020
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
Les autres corrigés du brevet 2020
- Corrigé du brevet de maths 2020 : France, septembre
- Corrigé du brevet de maths 2020 : Amérique du Nord, septembre
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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