Brevet de maths 2027, sujet de référence n° 2 : corrigé détaillé
L’énoncé complet se trouve sur la page Brevet de maths 2027 : sujet de référence n° 2. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé brevet 2027
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé brevet 2027 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 4 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Automatismes » (partie 1). Ensuite, la correction reprend « Probabilités : boules » (l’exercice 1). Puis tu lis la démarche complète pour « Géométrie : cercle et médiatrice » (l’exercice 2). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Programme de calcul et fonction » (l’exercice 3).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé brevet 2027 sont les transformations du plan, le programme Scratch, les probabilités, la trigonométrie et les aires, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de la partie 1 (brevet 2027) : les neuf automatismes
Rappel : dans cette partie, seule la réponse est attendue sur la copie. Les explications t’aident à retrouver le bon réflexe.
Question 1. La multiplication passe avant l’addition et la soustraction : \(3\times4=12\). Il reste \(2{,}5-5{,}5+12=-3+12\), donc \(A=9\).
Question 2. \(100=10^2\), donc \(100^3=(10^2)^3=10^6\). Ensuite \(10^6\times10^{-2}=10^{6-2}\) : \(B=10^4\).
Question 3. L’aire d’un carré de côté \(c\) vaut \(c^2\). On cherche le nombre positif dont le carré est 49 : \(\sqrt{49}=7\). Le côté mesure 7 cm.
Question 4. Un entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Ensuite, on veut 5 chiffres et un 7 à la fin : il suffit que les quatre premiers chiffres aient pour somme 2 (ou 11, ou 20…). Par exemple 10 107 : \(1+0+1+0+7=9\), et en effet \(10\,107=9\times1123\). D’autres réponses conviennent : 11 007, 20 007, 90 027…
Question 5. \(9x^2=(3x)^2\) et \(25=5^2\) : on a une différence de deux carrés, \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Donc \(9x^2-25=(3x-5)(3x+5)\).
Question 6. Puis on regroupe les \(x\) à gauche en retirant \(2x\) des deux côtés : \(x-2=5\). Puis on ajoute 2 : \(x=7\). Vérification : \(3\times7-2=19\) et \(2\times7+5=19\).
Question 7. Quand on déroule la surface latérale d’un cylindre, on obtient un rectangle dont un côté est la hauteur (5 cm) et l’autre fait le tour du disque de base. Sa longueur est donc le périmètre du cercle de rayon 3 cm : \(2\times\pi\times3=6\pi\). La longueur du rectangle est \(6\pi\) cm, soit environ 18,8 cm. Sans calculatrice, la valeur exacte \(6\pi\) cm est la meilleure réponse.
Question 8. Les trois pentagones ont un seul point en commun, le sommet B, et ils remplissent exactement le tour de ce point : chacun y occupe un angle de \(360°\div3=120°\). Les deux rotations ont donc pour centre B.
- Rotation de centre B et d’angle 120° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : elle envoie A sur C, E sur F, D sur G et C sur H. Le pentagone ABCDE devient BCFGH, à gauche.
- Rotation de centre B et d’angle 120° dans le sens des aiguilles d’une montre (ou 240° dans l’autre sens) : elle envoie C sur A, D sur J, E sur I et A sur H. Le pentagone ABCDE devient BAJIH, en bas.
Attention : le pentagone n’est pas régulier (un pentagone régulier a des angles de 108°, et trois d’entre eux ne rempliraient pas le tour d’un point).
Question 9. Suis le lutin : au départ, il regarde vers la droite. Dans la boucle, il avance de 30 (palier bas), tourne à gauche et monte de 10, tourne à droite et avance de 30 (palier haut), tourne à droite et descend de 10, puis tourne à gauche pour repartir vers la droite. Une répétition dessine donc un créneau complet. La frise en compte 6 : il faut remplacer les pointillés par 6.
Corrigé de l’exercice 1 : tirage de boules
Le sac contient \(10+6+4=20\) boules, et toutes ont la même chance d’être tirées : on est dans une situation d’équiprobabilité, et la probabilité d’un événement est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues.
1. 10 boules rouges sur 20 : \(P(\text{rouge})=\dfrac{10}{20}\), donc la probabilité de tirer une boule rouge est \(\dfrac{1}{2}\).
2. Deux méthodes rédigées comme sur une copie.
Méthode 1, par dénombrement : « Les issues favorables à l’événement “La boule tirée est noire ou jaune” sont les boules noires et les boules jaunes. Il y en a \(6+4=10\) parmi les 20 boules du sac. Comme les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées, la probabilité de cet événement est \(\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\). »
Méthode 2, par l’événement contraire : « L’événement contraire de “La boule tirée est noire ou jaune” est “La boule tirée n’est ni noire ni jaune”, c’est-à-dire “La boule tirée est rouge”, puisque le sac ne contient que ces trois couleurs. La somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à 1. D’après la question 1, la probabilité de tirer une boule rouge vaut \(\dfrac{1}{2}\). La probabilité de l’événement cherché est donc \(1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\). »
Les deux méthodes donnent le même résultat : la probabilité que la boule soit noire ou jaune est \(\dfrac{1}{2}\). Une troisième façon de faire, pour aller plus loin : « noire » et « jaune » ne peuvent pas se produire en même temps, on peut donc additionner \(\dfrac{6}{20}+\dfrac{4}{20}\).
3. Appelons \(b\) le nombre de boules bleues ajoutées. Le sac contient alors \(20+b\) boules, dont \(b\) bleues :
\[\dfrac{b}{20+b}=\dfrac{1}{5}\]
Les produits en croix sont égaux : \(5b=20+b\), donc \(4b=20\) et \(b=5\).
Vérification : avec 5 boules bleues, il y a 25 boules et \(\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}\). Alors on a ajouté 5 boules bleues. Autre raisonnement possible : si les bleues représentent un cinquième du sac, les 20 autres boules en représentent les quatre cinquièmes, donc un cinquième correspond à \(20\div4=5\) boules.
Corrigé de l’exercice 2 : triangle isocèle dans un cercle
1. A et B sont deux points du cercle de centre O et de rayon 5 cm, donc \(OA=OB=5\) cm. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle : AOB est un triangle isocèle en O. Son angle au sommet mesure 70°, et ses deux angles à la base mesurent \((180°-70°)\div2=55°\) chacun. Il n’est pas équilatéral, puisque ses angles ne valent pas tous 60°.
2. Réponse modèle :
« La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités de ce segment. Comme \(OA=OB\), le point O est à égale distance de A et de B : il appartient donc à la médiatrice du segment [AB].
Le triangle AOB est isocèle en O. La médiatrice de sa base [AB] passe par le sommet O : c’est l’axe de symétrie du triangle. Cette droite est donc aussi la bissectrice de l’angle \(\widehat{AOB}\), c’est-à-dire qu’elle partage cet angle en deux angles de même mesure. Ainsi \(\widehat{HOB}=\dfrac{70°}{2}=35°\). »
Conclusion : la médiatrice de [AB] passe par O, et \(\widehat{HOB}=35°\). Remarque le choix des mots : « à égale distance », « appartient », « axe de symétrie », « bissectrice ». Chacun porte une partie du raisonnement.
3. La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [AB], donc le triangle OHB est rectangle en H, d’hypoténuse [OB] de longueur 5 cm. Le côté [OH] est adjacent à l’angle \(\widehat{HOB}\) :
\[\cos\widehat{HOB}=\dfrac{OH}{OB}\]
\[OH=5\times\cos35°\approx4{,}096\]
Arrondie au dixième, OH vaut bien 4,1 cm.
4. a. Toujours dans le triangle OHB rectangle en H, le côté [HB] est opposé à l’angle \(\widehat{HOB}\) :
\[\sin\widehat{HOB}=\dfrac{HB}{OB}\]
\[HB=5\times\sin35°\approx2{,}868\]
HB ≈ 2,9 cm au millimètre près. On pouvait aussi utiliser Pythagore avec la valeur exacte de OH : \(HB^2=OB^2-OH^2\), ce qui redonne 2,868.
b. La médiatrice coupe [AB] en son milieu, donc H est le milieu de [AB] et \(AB=2\times HB\). Avec la valeur non arrondie : \(AB=10\times\sin35°\approx5{,}736\). AB ≈ 5,7 cm au dixième près.
Le piège : doubler l’arrondi 2,9 donnerait 5,8 cm, ce qui est faux. Ensuite, on garde la valeur exacte (ou toutes les décimales de la calculatrice) jusqu’au bout et on arrondit seulement à la fin.
5. [OH] est la hauteur du triangle OAB relative à la base [AB], puisque (OH) est perpendiculaire à (AB) :
\[\mathcal{A}=\dfrac{AB\times OH}{2}=\dfrac{10\sin35°\times5\cos35°}{2}\approx11{,}75\]
L’aire du triangle OAB est d’environ 11,7 cm². Avec les valeurs arrondies 5,7 et 4,1, on trouve 11,685, ce qui donne aussi 11,7 au dixième.
Corrigé de l’exercice 3 : programme de calcul et parabole
1. On déroule le programme avec 3 : \(3+4=7\), puis \(7\times3=21\), puis \(21-5=16\). Le programme donne bien 16.
2. Avec \(x\) au départ : on ajoute 4, ce qui donne \(x+4\) ; on multiplie par \(x\), ce qui donne \((x+4)\times x\) ; on retire 5. Le résultat est \((x+4)x-5\), c’est-à-dire, après développement, \(x^2+4x-5\).
3. a. Développons l’expression proposée :
\[(x+5)(x-1)=x^2-x+5x-5=x^2+4x-5\]
Puis on retrouve l’expression de la question 2 : le résultat du programme s’écrit bien \((x+5)(x-1)\).
b. Ensuite, on veut \((x+5)(x-1)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(x+5=0\) ou \(x-1=0\). Il faut choisir \(-5\) ou \(1\) au départ. Contrôle avec le programme : \(1+4=5\), \(5\times1=5\), \(5-5=0\).
c. Le produit \((x+5)(x-1)\) est négatif quand ses deux facteurs sont de signes contraires, ce qui arrive pour tout nombre strictement compris entre \(-5\) et 1. Le choix le plus simple : \(x=0\), qui donne \(-5\). Tu peux aussi prendre \(x=-1\), qui donne \(4\times(-2)=-8\). Sur la courbe, ces valeurs correspondent à la partie de \(C_f\) située sous l’axe des abscisses.
4. a. Définition à écrire :
« Un antécédent d’un nombre \(a\) par la fonction \(f\) est un nombre \(x\) dont l’image par \(f\) est égale à \(a\), c’est-à-dire un nombre \(x\) tel que \(f(x)=a\). »
Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, alors qu’un nombre n’a jamais qu’une seule image : c’est pourquoi on dit « un antécédent » et « l’image ».
b. Graphiquement, on trace la droite horizontale d’équation \(y=-5\) : elle coupe \(C_f\) en deux points, d’abscisses \(-4\) et \(0\).
Par le calcul, on résout \(f(x)=-5\) :
\[x^2+4x-5=-5\]
\[x^2+4x=0\]
\[x(x+4)=0\]
Produit nul : \(x=0\) ou \(x=-4\). Vérification : \(f(-4)=16-16-5=-5\) et \(f(0)=-5\). Les antécédents de \(-5\) par \(f\) sont \(-4\) et \(0\).
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Bien réviser avec le corrigé corrigé brevet 2027
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
En ce qui concerne les transformations du plan, transforme les sommets un par un, puis relie-les : une symétrie, une translation ou une rotation conserve les longueurs. Quant au programme Scratch, suis les blocs dans l’ordre et note à chaque tour de boucle ce que fait le lutin, car c’est là que se cachent les pièges. Dans les questions sur les probabilités, écris clairement l’expérience et ses issues, ainsi le quotient à calculer apparaît de lui-même. Au besoin, la définition de la notion de translation sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé brevet 2027 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé brevet 2027
Faut-il lire le corrigé corrigé brevet 2027 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2027. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les transformations du plan, le programme Scratch, les probabilités et la trigonométrie. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé brevet 2027
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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