Cinquième · fiche 3 sur 11

Calcul littéral et distributivité

Une lettre désigne un nombre que l'on ne connaît pas encore. Écrire une expression littérale, c'est décrire un calcul sans le faire.

L'essentiel en trois points

On n'écrit plus le signe × devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times x$ s'écrit $3x$.
Réduire, c'est regrouper les termes semblables : $5x + 3x = 8x$.
Distributivité : $k(a + b) = ka + kb$.

Écrire une expression

À savoir — les conventions d'écriture

$3 \times x$ s'écrit $3x$ ; $x \times y$ s'écrit $xy$ ; $x \times x$ s'écrit $x^2$ ; $1 \times x$ s'écrit $x$. Le signe $\times$ se garde entre deux nombres : $3 \times 5$.

Exemple guidé

Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ s'écrit $2(L + \ell)$, son aire $L\ell$.

Réduire

Comment faire — regrouper les termes semblables

Seuls les termes qui contiennent exactement la même partie littérale se regroupent.

$5x + 3 + 2x - 7 = 7x - 4$.

Piège à éviter

$x$ et $x^2$ ne sont pas semblables : $3x + 2x^2$ ne se réduit pas. De même, $5x + 3$ ne fait pas $8x$.

Développer

Règle — distributivité simple

$k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$.

$4(x + 3) = 4x + 12$ et $5(2x - 7) = 10x - 35$.

Piège à éviter

Il faut multiplier chaque terme de la parenthèse : $4(x+3)$ ne vaut pas $4x + 3$.

Astuce

Attention au signe moins devant la parenthèse : $-3(x - 2) = -3x + 6$, car $-3 \times (-2) = +6$.

Factoriser

Comment faire — reconnaître le facteur commun

On repère ce qui apparaît dans tous les termes, et on le met en facteur.

$6x + 15 = 3(2x + 5)$ et $7x + x^2 = x(7 + x)$.

Tester une égalité

Comment faire — substituer une valeur

On remplace la lettre par le nombre, en réécrivant les signes $\times$ effacés.

Pour $x = 4$ : $3x + 5 = 3 \times 4 + 5 = 17$.

Vérifiez que vous savez faire

écrire une expression littérale avec les bonnes conventions
réduire une expression en regroupant les termes semblables
développer avec la distributivité, signes compris
factoriser une expression à facteur commun
calculer la valeur d'une expression pour une valeur donnée

On nous pose souvent ces questions

Que signifie réduire une expression littérale ?

C'est regrouper les termes qui ont exactement la même partie littérale. Ainsi 5x + 3 + 2x − 7 se réduit en 7x − 4, mais 3x + 2x² ne se réduit pas.

Comment développer k(a + b) ?

On multiplie k par chaque terme de la parenthèse : k(a+b) = ka + kb. Multiplier seulement le premier terme est l'erreur la plus fréquente.

Que devient −3(x − 2) ?

Cela donne −3x + 6, car −3 multiplié par −2 vaut +6. Le signe moins porte sur les deux termes de la parenthèse.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Calcul littéral en CinquièmeLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
Les exercices corrigés : Calcul littéral en CinquièmeLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Calcul littéral en CinquièmeDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

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