Coefficient binomial
En bref : Le coefficient binomial, noté \(\binom{n}{k}\) et lu « k parmi n », est le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble de n ; il vaut n! divisé par k!(n-k)!.
TerminaleProbabilités
Définition : Coefficient binomial
Un coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) compte les parties à \(k\) éléments d’un ensemble qui en possède \(n\), avec \(0\le k\le n\).
On le calcule par \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Il vérifie la symétrie \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) et la relation de Pascal \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\), qui construit le triangle de Pascal ligne après ligne.
Comment le reconnaître
- On doit choisir un sous-groupe sans se soucier de l’ordre : comité, main de cartes, équipe.
- Une formule de probabilité fait apparaître \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
- La notation \(\binom{n}{k}\) ou la touche « nCr » de la calculatrice est mentionnée.
- On développe une puissance comme \((a+b)^n\).
La méthode
- Identifier \(n\), le nombre total d’éléments, et \(k\), le nombre à choisir.
- Utiliser la symétrie pour prendre le plus petit des deux nombres \(k\) et \(n-k\).
- Calculer \(\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) en simplifiant avant de multiplier.
- Contrôler avec le triangle de Pascal : chaque valeur est la somme des deux placées au-dessus.
Coefficient binomial : exemple corrigé
Énoncé
Un jury de \(3\) personnes doit être choisi parmi \(7\) candidats volontaires, sans distinguer de rôle. Combien de jurys sont possibles ?
Corrigé
L’ordre ne compte pas : on calcule \(\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=\frac{210}{6}=\) \(35\).
Contrôle avec Pascal : \(\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=15+20=35\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\binom{5}{2}\).
Voir la réponse
\(\frac{5\times 4}{2}=10\).
Question 2
Sans calcul long, donner \(\binom{9}{7}\).
Voir la réponse
Par symétrie, \(\binom{9}{7}=\binom{9}{2}=\frac{9\times 8}{2}=36\).
Ne pas confondre Coefficient binomial et Combinaison
Une combinaison est un groupe choisi (par exemple l’équipe Alix, Ben, Chloé). Le coefficient binomial est le nombre de tels groupes possibles. On dit « il y a 35 combinaisons » et \(\binom{7}{3}=35\) : l’un est l’objet, l’autre le décompte.
Pour aller plus loin
Cours
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