Polygone régulier
En bref : Dans un polygone régulier, rien ne distingue un côté d’un autre ni un angle d’un autre : longueurs égales, angles égaux, sommets placés sur un même cercle.
6èmeGéométrie plane
Définition : Polygone régulier
Un polygone régulier réunit deux égalités : tous ses côtés se ressemblent par la longueur, et tous ses angles par la mesure. Le carré et le triangle équilatéral en sont les exemples les plus connus.
Il possède un centre, point à égale distance de tous ses sommets : ces sommets sont donc sur un même cercle. En reliant le centre à deux sommets voisins, on découpe le polygone en triangles identiques. Pour un polygone à \(n\) côtés, l’angle au centre de chacun de ces triangles vaut \(360 \div n\) degrés.
Comment le reconnaître
- L’énoncé indique « régulier » : tous les côtés et tous les angles sont alors identiques.
- Un seul côté est donné et l’on cherche le tour complet de la figure.
- Des sommets sont régulièrement répartis sur un cercle, comme les heures d’une horloge.
- On demande de construire un hexagone ou un octogone avec un compas et un rapporteur.
La méthode
- Tracer un cercle de centre \(O\), puis calculer l’angle au centre : \(360 \div n\) pour un polygone à \(n\) côtés.
- Placer le premier sommet sur le cercle, puis reporter cet angle au rapporteur autour de \(O\) pour chaque sommet suivant.
- Relier les sommets consécutifs avec la règle.
- Pour le périmètre d’un polygone régulier, multiplier la longueur d’un côté par le nombre de côtés.
Polygone régulier : exemple corrigé
Énoncé
Un pentagone régulier a des côtés de \(6{,}4\) cm. Quel est son périmètre ? Combien mesure l’angle au centre de chacun des triangles obtenus en reliant le centre aux sommets ?
Corrigé
Les cinq côtés sont égaux : \(5 \times 6{,}4 = 32\) cm.
Les cinq triangles sont identiques et se partagent le tour complet de \(360^{\circ}\) autour du centre : \(360 \div 5 = 72\). Le périmètre est de 32 cm et l’angle au centre de 72°.
À toi de jouer
Question 1
Quel est l’angle au centre d’un octogone régulier ?
Voir la réponse
L’octogone a \(8\) côtés : \(360 \div 8 = 45\), soit \(45^{\circ}\).
Question 2
Un hexagone dont les six côtés mesurent \(7{,}2\) cm a-t-il forcément ses angles égaux ?
Voir la réponse
Non : des côtés égaux ne suffisent pas, un hexagone peut être aplati comme un losange. Il faut aussi des angles égaux.
Ne pas confondre Polygone régulier et Polygone
Un polygone quelconque peut avoir des côtés de longueurs différentes et des angles variés, comme une forme tracée à main levée. Pour être un polygone régulier, il doit être aussi parfaitement équilibré qu’un panneau stop ou qu’une étoile à branches identiques. Tout régulier est un polygone, jamais l’inverse.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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