Triangles isométriques
En bref : Des triangles isométriques ont exactement les mêmes dimensions : on peut superposer l’un sur l’autre, éventuellement après l’avoir retourné, donc côtés et angles correspondants sont égaux deux à deux.
3èmeGéométrie plane
Définition : Triangles isométriques
Deux triangles isométriques (on dit aussi égaux ou superposables) ont la même forme et la même taille. En glissant, tournant ou retournant l’un d’eux, on le fait coïncider avec l’autre. Les côtés qui se superposent, comme les angles, sont dits correspondants et sont égaux.
Inutile de mesurer les six éléments pour conclure. Trois renseignements bien choisis suffisent : trois côtés égaux deux à deux (CCC) ; un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux (CAC) ; un côté égal compris entre deux angles égaux deux à deux (ACA). On en déduit alors tous les autres éléments.
Comment le reconnaître
- Deux triangles sont dessinés avec des codages identiques : mêmes traits sur les côtés, mêmes arcs sur les angles.
- Une démonstration demande de montrer que deux longueurs ou deux angles sont égaux sans les mesurer.
- Une figure possède une symétrie qui fait deviner deux triangles superposables.
- L’énoncé fournit trois données sur chaque triangle et demande ce qu’il faut en conclure.
La méthode
- Lister pour chaque triangle les côtés et les angles connus, en les associant par correspondance de sommets.
- Chercher l’un des cas : CCC, CAC ou ACA, en vérifiant que l’angle est bien compris entre les deux côtés (ou le côté entre les deux angles).
- Écrire la conclusion « les triangles \(ABC\) et \(DEF\) sont isométriques » en nommant le cas utilisé.
- Déduire les autres égalités : côtés restants, angles restants, aires, périmètres.
Triangles isométriques : exemple corrigé
Énoncé
Dans les triangles \(ABC\) et \(DEF\), on sait que \(AB = DE = 6\) cm, \(AC = DF = 4{,}5\) cm et \(\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 50^{\circ}\). Les triangles sont-ils isométriques ? Que peut-on dire de \(BC\) et \(EF\) ?
Corrigé
L’angle de \(50^{\circ}\) est compris entre les côtés de \(6\) cm et de \(4{,}5\) cm dans chaque triangle. Deux côtés égaux et l’angle compris égal : c’est le cas CAC.
Les triangles \(ABC\) et \(DEF\) sont donc isométriques.
Les côtés correspondants sont égaux : \(BC = EF\), et de même \(\widehat{ABC} = \widehat{DEF}\) et \(\widehat{ACB} = \widehat{DFE}\).
À toi de jouer
Question 1
Dans deux triangles, \(AB = DE = 5\), \(\widehat{A} = \widehat{D} = 40^{\circ}\) et \(\widehat{B} = \widehat{E} = 60^{\circ}\). Sont-ils isométriques ?
Voir la réponse
Oui, par le cas ACA : le côté de 5 est compris entre les angles de \(40^{\circ}\) et \(60^{\circ}\) dans les deux triangles.
Question 2
Deux triangles ayant leurs trois angles égaux sont-ils forcément isométriques ?
Voir la réponse
Non : ils peuvent avoir des tailles différentes. Ils sont alors semblables, pas superposables.
Ne pas confondre Triangles isométriques et Triangles semblables
Des triangles isométriques ont la même forme et la même taille : leurs côtés correspondants sont égaux. Des triangles semblables ont la même forme mais leurs côtés sont multipliés par un même rapport. Les triangles isométriques sont donc le cas particulier où ce rapport vaut exactement 1.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Géométrie plane
